第75煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換

a = (x , y ), b = (x , y ) ，則 a, b 共線 Û x y  = x y ； a  b Û x x  + y y  = 0第九章第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換解析幾何第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換一、基礎(chǔ)知識(shí)：在圓錐曲線問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到幾何條件與代數(shù)條件的相互轉(zhuǎn)化，合理的進(jìn)行幾何條件的轉(zhuǎn)化往往可以起到“四兩撥千斤”的作用，極大的簡(jiǎn)化運(yùn)算的復(fù)雜程度，在本節(jié)中，將列舉常見(jiàn)的一些幾何條件的轉(zhuǎn)化。1、在幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化中，向量是一個(gè)重要的橋梁：一方面，幾何圖形中的線段變?yōu)橛邢蚓€段后可以承載向量；另一方面，向量在坐標(biāo)系中能夠坐標(biāo)化，從而將幾何圖形的要素轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算，與方程和變量找到聯(lián)系2、常見(jiàn)幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：（1）角度問(wèn)題： 若與直線傾斜角有關(guān)，則可以考慮轉(zhuǎn)化為斜率k 若需要判斷角是銳角還是鈍角，則可將此角作為向量的夾角，從而利用向量數(shù)量積的符號(hào)進(jìn)行判定（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 可以利用圓的定義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心距離與半徑的聯(lián)系，但需要解出圓的方程，在有些題目中計(jì)算量較大 若給出圓的一條直徑，則可根據(jù)該點(diǎn)與直徑端點(diǎn)連線的夾角進(jìn)行判定：若點(diǎn)在圓內(nèi)，uuuur uuruur uurÐACB 為鈍角（再轉(zhuǎn)為向量：CA × CB < 0 ；若點(diǎn)在圓上，則 ÐACB 為直角（ CA × CB = 0 ）；uuur uur若點(diǎn)在圓外，則 ÐACB 為銳角（ CA × CB > 0 ）（3）三點(diǎn)共線問(wèn)題 通過(guò)斜率：任取兩點(diǎn)求出斜率，若斜率相等，則三點(diǎn)共線 通過(guò)向量：任取兩點(diǎn)確定向量，若向量共線，則三點(diǎn)共線（4）直線的平行垂直關(guān)系：可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)向量的平行與垂直問(wèn)題，從而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)運(yùn)算：rrr rrr112212211 212（5）平行（共線）線段的比例問(wèn)題：可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)乘關(guān)系（6）平行（共線）線段的乘積問(wèn)題：可將線段變?yōu)橄蛄浚瑥亩D(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問(wèn)題（注意向量的方向是同向還是反向）第九章第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換解析幾何3、常見(jiàn)幾何圖形問(wèn)題的轉(zhuǎn)化（1）三角形的“重心”：設(shè)不共線的三點(diǎn) A(x , y ), B (x , y ),C (x , y112233) ，則 V ABC 的重心 G çæ x  + x  + xy  + y  + y  ö123 ,1233         3圖）： IP  AC , IQ  AQ                                             Q÷èø：（2）三角形的“垂心” 伴隨著垂直關(guān)系，即頂點(diǎn)與垂心的連線與底邊垂直，從而可轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為零B：（3）三角形的“內(nèi)心” 伴隨著角平分線，由角平分線性質(zhì)可知（如II 在 ÐBAC 的角平分線上 Þ  AP =  AQ Þ  uuur  =  uuuruur uuuruur uuurAI × ACAI × ABACABCPA（4） P 是以 DA, DB 為鄰邊的平行四邊形的頂點(diǎn)uuuruuuruuurÞ DP = DA + DBAPD（5） P 是以 DA, DB 為鄰邊的菱形的頂點(diǎn)： P 在 AB 垂直平分線上BAPDB（6）共線線段長(zhǎng)度的乘積：若 A, B, C 共線，則線段的乘積AC           B(可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算，要注意向量的夾角）uuur uuuruuur uuur例如： AC × AB = AC × AB ， AC × BC = - AC × BC第九章第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換解析幾何二、典型例題：例 1：如圖：A, B 分別是橢圓 C :x 2  y 2+a 2 b2= 1(a > b > 0)的左右頂點(diǎn)，F(xiàn) 為其右焦點(diǎn)，2 是AF , FB 的等差中項(xiàng)，3 是 AF , FB 的等比中項(xiàng)（1）求橢圓 C 的方程（2）已知 P 是橢圓 C 上異于 A, B 的動(dòng)點(diǎn)，直線 l 過(guò)點(diǎn) A 且垂直于 x 軸，若過(guò) F 作直線 FQ  AP ，并交直線 l 于點(diǎn) Q 。證明：Q, P, B 三點(diǎn)共線解：（1）依題意可得： A(-a,0 ), B (a,0 ), F (c,0 ) AF = c + a, BF = a - cQ 2 是 AF , FB 的等差中項(xiàng) 4 = AF + FB = a + c + a - c = 2a a = 2(  3 ) =  AF × FB = (a + c )(a - c ) = aQ 3 是 AF , FB 的等比中項(xiàng) b2 = 3x 2y 2= 1Q 橢圓方程為：+4322- c2 = b2（2）由（1）可得： A(-2,0 ), B (2,0 ), F (1,0 )設(shè) AP : y = k (x + 2)，設(shè) P (x , y11) ，聯(lián)立直線與橢圓方程可得：4k 2 + 3       4k 2 + 3íìï3x 2 + 4 y 2 = 12 Þ (4k 2 + 3)x 2 + 16k 2 x + 16k 2 - 12 = 0ïî y = k (x + 2 )16k 2 - 126 - 8k 2 x x =Þ x =A 11 P ç,4k 2 + 3         4k 2 + 3  4k 2 + 3 ø y = k (x + 2 ) =1112k æ 6 - 8k 2  12k ö÷è另一方面，因?yàn)?#160;FQ  AP kkFQ =- 1第九章第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換解析幾何ì  y = -  (x - 1) FQ : y = -   (x - 1) ，聯(lián)立方程： í   kïî x = -2Þ Q ç -2,   ÷Q B (2,0 )1 ïk1æ 3 öè k ø=-   3 k4k 2 + 3 = -12k = -  3k2 - (-2 )  4k        6 - 8k 2  16k 2   4k kBQ=3                  12k0 - 0 -=BP2 -4k 2 + 3 kBQ= kBP B, Q, P 三點(diǎn)共線例 2：已知橢圓x 2  y 2+2a   b 2= 1(a > b > 0) 的右焦點(diǎn)為 F ， M 為上頂點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 OMF 的面積為  12，且橢圓的離心率為22（1）求橢圓的方程；（2）是否存在直線 l 交橢圓于 P ， Q 兩點(diǎn)， 且使點(diǎn) F 為 PQM 的垂心？若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由VOMF  =  1解：（1） S1    1× OM × OF = bc =2            2    2e =  c2=Þ a : b : c =2 :1:1a22 b = c = 1 a 2 = b2 + c2 =x 2 橢圓方程為：+ y 2 = 12（2）設(shè) P( x , y ) ， Q( x , y ), 由（1）可得： M (0,1), F (1,0)1122 kMF = -1 Q F 為 PQM 的垂心 MF  PQ kPQ =-k1MF= 1設(shè) PQ : y = x + m第九章第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換解析幾何由 F 為 PQM 的垂心可得： MP  FQ(x , y  - 1), uFQur = (x  - 1, yuuurMP =1 1 2u2) MP × FQ = x (x  - 1) + ( y  - 1) y  = 0 uuur uuur1212因?yàn)?#160;P,Q 在直線 y = x + m 上í1î2ì y = x + m1y = x + m2，代入可得：x (x - 1) + (x + m - 1)(x + m ) = 01212即 2 x x + ( x + x )(m - 1) + m 2 - m = 0 1212考慮聯(lián)立方程：î x2 + 2 y 2 = 2ì y = x + mí得 3x 2 + 4mx + 2m 2 - 2 = 0 3           3D = 16m 2 - 12 (2m 2 - 2 )> 0 Þ m 2 < 34m2m 2 - 2 x + x = -, x x =代入可得：1212+ (m - 1)× ç -  ÷ + m2 - m = 02 ×2m2 - 2        æ 4m ö3           è  3 ø解得： m = - 4 或 m = 13當(dāng) m = 1時(shí)， PQM 不存在，故舍去時(shí)，所求直線  l 存在，直線 l 的方程為 y = x -當(dāng) m = -4 43                                    3小 煉 有 話 說(shuō) ：在高中階段涉及到三角形垂心的性質(zhì)，為垂心與三角形頂點(diǎn)的連線垂直底邊，所以對(duì)垂心的利用通常伴隨著垂直條件，在解析幾何中即可轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算（或是斜率關(guān)系）例 3 ：如圖，橢圓x 2  y 2+a 2 b 2= 1(a > b > 0) 的 一 個(gè) 焦 點(diǎn) 是)F (1, 0 ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求第九章第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換解析幾何橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn) F 且不垂直 x 軸的直線 l 交橢圓于 A, B 兩點(diǎn)，若直線 l 繞點(diǎn) F 任意轉(zhuǎn)動(dòng)，恒有OA 2 + OB 2 < AB 2 , 求 a 的取值范圍.解：（1）由圖可得：  M ç 0,   b ÷  由正三角形性質(zhì)可得： ÐMFO =æ1 öè3 øp6 , k3MF =- 3b - 03 kMF13=       =-0 - 1     3 b = 3 a 2 = b2 + c2 = 4x 2y 2= 1 橢圓方程為：+43（2）設(shè) l : y = k (x - 1) ， A(x , y ), B (x , y112Q OA 2 + OB 2 < AB 2 cos ÐAOB = OA 2 + OB 2 - AB 2< 02 OA OBРAOB 為鈍角uuur uuurOA × OB = x x + y y < 01 2122)ìï聯(lián)立直線與橢圓方程： í y = k (x - 1)ïîb2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b2Þ b2 x 2 + a 2k 2 (x - 1)2 = a 2b2 ，整理可得：k(a 2  2+ b2 )x 2 - 2a 2k 2 x + a 2k 2 - a 2b2 = 0a 2k 2 + b2a 2k 2 + b2 x + x =122a 2k 2        a 2k 2 - a 2b2, x x =1 2 y y = k 2 (x - 1)(x - 1) = k 2 x x - k 2 (x + x ) + k 212121 212= k 2 ×a 2k 2 - a 2b2      2a 2k 2       k 2b2 - a 2b2k 2- k 2 × + k 2 =             =a 2k 2 + b2      a 2k 2 + b2          a 2a 2k 2 + b2a 2k 2 - a 2b2 + k 2b2 - a 2b2k 2 x x + y y =< 01 212a 2k 2 - a 2b2 + k 2b2 - a 2b2k 2 < 0 恒成立 a 的取值范圍是 ç第九章第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換解析幾何即 k 2 (a 2 + b2 - a 2b2 )< a 2b2 恒成立 a 2 + b2 - a 2b2 < 0Q b2 = a 2 - 1 2a 2 - 1 - a 2 (a 2 - 1)< 0 解得： a > 1 + 52æ 1 + 5ö, +¥ ÷è2ø例 4：設(shè) A, B 分別為橢圓x 2  y 2+a 2 b2= 1(a > b > 0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為1y（1）求橢圓的方程；M          PAoB    (4,0)     x（2）設(shè) P 為直線 x = 4 上不同于點(diǎn) (4,0 ) 的任意一點(diǎn)， 若N直線 AP, BP 分別與橢圓相交于異于 A, B 的點(diǎn) M , N ，證明：點(diǎn) B 在以 MN 為直徑的圓內(nèi)解：（1）依題意可得 a = 2c ，且到右焦點(diǎn)距離的最小值為 a - c = 1可解得： a = 2, c = 1 b = 3x 2y 2 橢圓方程為+43= 1（2）思路：若要證 B 在以 MN 為直徑的圓內(nèi)，只需證明 ÐMBN 為鈍角，即 ÐMBP 為銳uuuuur uur角，從而只需證明 BM × BP > 0 ，因?yàn)?#160;A, B 坐標(biāo)可求，所以只要設(shè)出 AM 直線（斜率為 k ） ，uuuur uuur聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理即可用 k 表示出 M 的坐標(biāo)，從而 BM × BP 可用 k 表示。即可判斷1uuuur uuurBM × BP 的符號(hào)，進(jìn)而完成證明解：由（1）可得 A(-2,0 ), B (2,0 ) ，設(shè)直線 AM , BN 的斜率分別為 k ， M (x , y11AM : y = k (x + 2)聯(lián)立 AM 與橢圓方程可得：) ，則ìï y = k (x + 2 )íïî3x 2 + 4 y 2 = 12，消去 y 可得： (4k 2 + 3)x 2 + 16k 2 x + 16k 2 - 12 = 04k 2 + 3       4k 2 + 316k 2 - 126 - 8k 2 x x =Þ x =A 11第九章第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換解析幾何，即 M ç,4k 2 + 3       4k 2 + 3  4k 2 + 3 ø y = kx + 2k =1112k æ 6 - 8k 2  12k ö÷è設(shè) P (4, y0) ，因?yàn)?#160;P 在直線 AM 上，所以 y0= k (4 + 2) = 6k ，即 P (4,6k )(2,6k ), uBMuru = æç -16k 2 ,   12kö÷uuur BP =uè 4k 2 + 3 4k 2 + 3 øuuuur uuur BP × BM =-32k 2       12k    40k 2+ 6k × =       > 04k 2 + 3     4k 2 + 3  4k 2 + 3線相交于 A, B 兩點(diǎn)，與橢圓  3РMBP 為銳角， Ð MBN 為鈍角 M 在以 MN 為直徑的圓內(nèi)例 5：如圖所示，已知過(guò)拋物線 x2 = 4 y 的焦點(diǎn) F 的直線 l 與拋物3y 2 +x 2 = 1 的交點(diǎn)為 C , D ，是否42存在直線 l 使得 AF × CF = BF × DF ？若存在，求出直線 l 的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：依題意可知拋物線焦點(diǎn) F (0,1)，設(shè) l : y = kx + 1Q AF × CF = BF × DF  AFCF   ，不妨設(shè)   AFBF =DFBF =DFCF = l(- x ,1 - y ), uFBru = (x , y  - 1)(- x ,1 - y ), uFDur = (x , y  - 1)uuuuruur uuuruuur則 AF = l FB, DF = l FC設(shè) A(x , y ), B (x , y ), C (x , y ), D (x , y1122334uuuru AF =1122uuuruCF =33444)í         考慮聯(lián)立直線與拋物線方程： íì- x = l xì y = kx + 112î- x3 = l x4î x2 = 4 yÞ x2 - 4kx - 4 = 0í                   ，消去 x  可得：ïî x x  = -l x 2 = -4ïì x + x = (1 - l ) x = -4k1221 222(1 - l )2-l= -4k 2î6x2 + 3 y 2 = 4  Þ 6x2 - 3(kx + 1)2 = 4 ，整理可得：第九章第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換解析幾何ì聯(lián)立直線與橢圓方程： í y = kx + 1(3k2+ 6 )x 2 + 6kx - 1 = 0ì  x  + x  = (1 - l ) x  = -ïï   3             3k 2 + 6íï x x  = -l x 2 = -ïî   3   4         3k 2 + 66k4414 (1 - l )2-l=-36k 23k 2 + 6由可得：-4k 2 = -36k 23k 2 + 6，解得： k 2 = 1 Þ k = ±1所以存在滿足條件的直線，其方程為： y = ± x + 1例 6：在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知拋物線 x2 = 2 py ( p > 0)的準(zhǔn)線方程為 y = -點(diǎn) M (4,0 )作拋物線的切線 MA ，切點(diǎn)為 A（異于點(diǎn) O ），直線 l 過(guò)點(diǎn) M 與拋物線交于兩點(diǎn) P,Q ，與直線 OA 交于點(diǎn) N（1）求拋物線的方程12，過(guò)（2）試問(wèn)MNMP +MNMQ 的值是否為定值？若是，求出定值；若不解：（1）由準(zhǔn)線方程可得： -  p是，請(qǐng)說(shuō)明理由1=-Þ p = 122拋物線方程： x2 = 2 y（2）設(shè)切點(diǎn) A(x , y00) ，拋物線為 y = 1 x 22 y ' = x 切線斜率為 k = x0 切線方程為： y - y = x (x - x )，代入 M (4,0 )及 y =00001x 22 0x 2 = x (4 - x ) ，解得： x  = 0 （舍）或 x  = 820可得： -10 0 0 0第九章第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換解析幾何 A(8,32 )OA : y = 4 x設(shè) PQ : x = my + 4Q M , P, N ,Q 共線且 M 在 x 軸上  MNMQ   =N +N  = y   ç÷ = y   ×P+èP  y   øyyN ç yy  yMP +P Q Q P QNMN y y æ 1 1 ö y + yQ y   + y   =  2 - 8mm2          m2ì x 2 = 2 y聯(lián)立 PQ 和拋物線方程： íî x = my + 4m2 y 2 + (8m - 2) y + 16 = 016, y × y =PQPQÞ (my + 4 )2 = 2 y ，整理可得：ì再聯(lián)立 OA, PQ 直線方程： í y = 4 xî x = my + 4Þ y =N161 - 4mMN   MN                16     +     = y   ×P×       = 2m216MP   MQ       y  y1 - 4mm2G ç   ,÷   由  y 軸上一點(diǎn) M 滿足平行關(guān)系，可得 M ç 0,   ÷2 - 8mQ =NPQ   ,例 7：在V ABC 中， A, B 的坐標(biāo)分別是 (- 2,0 ) ( 2,0 )，點(diǎn)G 是 V ABC 的重心， y 軸上一點(diǎn) M 滿足 GM  AB ，且 MC = MB（1）求 V ABC 的頂點(diǎn) C 的軌跡 E 的方程（2）直線 l : y = kx + m 與軌跡 E 相交于 P,Q 兩點(diǎn)，若在軌跡 E 上存在點(diǎn) R ，使得四邊形OPRQ 為平行四邊形（其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），求 m 的取值范圍解：（1）設(shè) C (x, y )由 G 是 V ABC 的重心可得：æ x y öæy öè 3 3 øè3 ø由 MC = MB 可得：   x  + ç y - y ÷   =(0 -   2 ) + y+   = 1( y ¹ 0)化簡(jiǎn)可得：x 2  y 22   62æ 1 ö2è 3 ø22 C 的軌跡 E 的方程為：  +   = 1( y ¹ 0)第九章第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換解析幾何x 2y 226（2）Q 四邊形 OPRQ 為平行四邊形uuuruuuruuurOR = OP + OQ設(shè) P (x , y ),Q (x , y1122)   R (x + x , y + y1 2 12)Q R 在橢圓上 3(x + x12)2 + ( y1+ y2)2 = 6(3x 21+ y 2 )+ (3x 2 + y 2 )+ 6 x x + 2 y y = 61 2 2 1 2 1 2因?yàn)?#160;P,Q 在橢圓上，所以 íïî 3x 2 + y 2 = 6ìï3x 2 + y 2 = 61122，代入可得：6 x x + 2 y y + 12 = 6 Þ 3x x + y y = -31 2121 212聯(lián)立方程可得：î3x2 + y 2 = 6ì y = kx + míÞ (k 2 + 3)x2 + 2kmx + m2 - 6 = 03 + k 2k 2 + 32kmm2 - 6 x + x = -, x x =121 2 y y = (kx + m )(kx + m ) = k 2 x x + km (x + x ) + m 2 =12121 212代入可得：3m2 - 6k 2k 2 + 33 ×m2 - 6  3m2 - 6k 2+          = -3 Þ 2m2 = k 2 + 3k 2 + 3 k 2 + 3(k2+ 3)x 2 + 2kmx + m 2 - 6 = 0 有兩不等實(shí)根可得：D = 4k 2m 2 - 4 (k 2 + 3)(m 2 - 6 )> 0 ，即 -3m2 + 6k 2 + 18 > 0 ，代入 k 2 = 2m2 - 3- 3m 2 + 6 (2m 2 - 3)+ 18 > 0 Þ m 2 > 0另一方面： 2m2 - 3 = k 2 ³ 0 m2 ³3       6        6Þ m ³   或 m £ -2       2        2第九章第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換解析幾何æ6 ùé 6ö m Î ç -¥, -ú U ê, +¥ ÷2  ûë  2èø= 1(a > b > 0) 的離心率為 ，直線 l 過(guò)點(diǎn) A(4,0 ), B (0,2 ) ，例 8：已知橢圓 C :x2  y 2+a 2 b212且與橢圓 C 相切于點(diǎn) P（1）求橢圓 C 的方程（ 2 ） 是 否 存 在 過(guò) 點(diǎn) A(4,0 ) 的 直 線 m 與 橢 圓 交 于 不 同 的 兩 點(diǎn) M , N ， 使 得36 AP 2 = 35 AM × AN ？若存在，求出直線 m 的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解（1） e =c  1=       a : b : c = 2 : 3 :1a  2 橢圓方程化為：x2   y 2+4c2 3c2= 1 Þ 3x2 + 4 y 2 = 12c2設(shè)直線 l :  x消去 y 可得： 3x2 + 4 ç -    x + 2 ÷  = 12c2= 1 ，且可解得 P ç1,   ÷Q l 過(guò) A(4,0 ), B (0,2 )y1+= 1 Þ y = -x + 2422ì3x2 + 4 y 2 = 12c2ïæ 1ö2聯(lián)立直線與橢圓方程： í1ï y = - x + 2è 2øî2整理可得： x2 - 2 x + 4 - 3c2 = 0Q l 與橢圓相切于 PD = 4 - 4 (4 - 3c 2 )= 0 Þ c = 1x2y 2æ 3 ö橢圓方程為：+43è 2 ø) ，由（1）可得： P æç1, 3 ö÷ ，（2）思路：設(shè)直線 m 為 y = k (x - 4)， M (x , y ), N (x , y1122è 2 ø再由 A(4,0 ) 可知 AP 2 =454，若要求得 k （或證明不存在滿足條件的 k ），則可通過(guò)等式36 AP 2 = 35 AM × AN 列出關(guān)于 k 的方程。對(duì)于 AM × AN ，盡管可以用兩點(diǎn)間距離公式表示出 AM , AN ，但運(yùn)算較為復(fù)雜。觀察圖形特點(diǎn)可知 A, M , N 共線，從而可想到利uuuuur uuuruuur uuur用向量數(shù)量積表示線段的乘積。因?yàn)?#160;AM , AN 同向，所以 AM × AN = AM × AN 。寫出第九章第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換解析幾何uuuur uuurAM , AN 的坐標(biāo)即可進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，然后再聯(lián)立m 與橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理整體代入即可得到關(guān)于 k 的方程，求解即可由（1）可得： P ç1,   ÷æ   3 ö解：由題意可知直線 m 斜率存在，所以設(shè)直線 m : y = k (x - 4), M (x , y ), N (x , y112è 2 ø2)= (1 - 4)2 + ç- 0 ÷ AP2æ 3  öè 2  ø2=454uuuuur uuuruuur uuurQ A, M , N 共線且 AM , AN 同向 AM × AN = AM × AN(x - 4, y ), uANur = (x  - 4, yuuuurAM =1 1 2u2) AM × AN = (x - 4)(x  - 4) + y y  = x x  + y y  - 4 (x + x ) + 16uuuur uuur121 21 21 212聯(lián)立直線 m 與橢圓方程：ïî y = k (x - 4 )ìï3x2 + 4 y 2 = 12í消去 y 并整理可得： (4k 2 + 3)x 2 - 32k 2 x + 64k 2 - 12 = 0 x + x =1232k 2       64k 2 - 12, x x =4k 2 + 3 1 2 4k 2 + 3 y × y = k 2 (x - 4)(x - 4) =121236k 24k 2 + 3uuuur uuur64k 2 - 1236k 232k 236 (k 2 + 1) AM × AN =+- 4 ×+ 16 =4k 2 + 34k 2 + 34k 2 + 34k 2 + 3Q 36 AP2 = 35 AM × AN，代入 AP  uuuur uuur 36 (k 2 + 1)2 = 45 ， AM × AN =4              4k 2 + 3可得：4536 (k 2 + 1)36 ×= 35 ×44k 2 + 3可解得： k 2 =1        2Þ k =±   ，另一方面，8        4若方程 (4k 2 + 3)x 2 - 32k 2 x + 64k 2 - 12 = 0 有兩不等實(shí)根) - 4 (4k則 D = (32k 222+ 3)(64k 2 - 12 )> 0解得: -  1y = 2第九章第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換解析幾何12< k < k = ±符合題意224 直線 m 的方程為： y =±2 ( x - 4) ，即：42x - 2 或 y =-x + 244例 9：設(shè)橢圓C :x 2  y 2+a 2 b2= 1(a > b > 0)的左，右焦點(diǎn)分別為 F , F ，上頂點(diǎn)為 A ，過(guò)點(diǎn) A1 2uuuuruuuurr與 AF 垂直的直線交 x 軸負(fù)半軸與點(diǎn) Q，且 2F F + F Q = 02122（1）求橢圓 C 的離心率（2）若過(guò) A,Q, F 三點(diǎn)的圓恰好與直線 l : x - 3 y - 3 = 0 相切，求橢圓 C 的方程2（3）在（2）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn) F 作斜率為 k 的直2線 l 與橢圓 C 交于 M , N 兩點(diǎn)，在 x 軸上是否存在點(diǎn)P (m,0 ) 使得以 PM , PN 為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出 m 的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）依題意設(shè) A(0,b), F (-c,0 ), F (c,0 ),Q (x ,0 )120uuuur F F =12uuuur(2c,0 ), F Q = (x - c,0 )2 0uuuur uuuur  rQ 2F F + F Q = 01 2 2 4c + x - c = 0 Þ x = -3c00Q (-3c,0 )AQ  =   bAF2  =- kb, k3c       c由 AQ  AF 可得：2kAQ× kAF2=-b23c2= -1 Þ b2 = 3c2 a 2 - c2 = 3c2 Þ a 2 = 4c2 e = 12（2）由（1）可得： a : b : c = 2 : 3 :12第九章第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換解析幾何AQ  AF2 A,Q, F 的外接圓的直徑為 QF ，半徑設(shè)為 r22Q (-3c,0 ), F (c,0 )2 r = 1 QF = 2c ，圓心 (-c,0 )2由圓與直線相切可得： d = -c - 32= 2c Þ c + 3 = 4c,解得： c = 1 a = 2 b =3x 2y 2 橢圓方程為+43= 1（3）由（2）得 F (-1,0 ), F (1,0 )：設(shè)直線 l : y = k (x - 1)12設(shè) M (x , y ), N (x , y1122)，若 PM , PN 為鄰邊的平行四邊形是菱形則 P 為 MN 垂直平分線上的點(diǎn)í1ïî3x 2 + 4 y 2 = 12ìï3x 2 + 4 y 2 = 12122Þ 3(x 2 - x 2 )+ 4 (y 2 - y 2 )= 01     2          1      23(x + x12)(x1- x ) + 4 ( y + y2 12)(y1- y2) = 0設(shè) M , N 中點(diǎn) (x , y00)4kk 3x + 4ky = 0 Þ y = - 3x0000 MN 的中垂線方程為： y - y = -01 ( x - x )，即 x + ky - ky - x = 00 0 0代入 P (m,0 ) 可得： m - ky  - x  = 0 Þ m = x  =1408001    x + x2í聯(lián)立方程： ìï3x 2 + 4 y 2 = 12 Þ (4k 2 + 3)x 2 - 8k 2 x + 4k 2 - 12 = 0ïî y = k (x - 1) x + x =128k 24k 2 + 3=      Î ç 0,   ÷4 +   3 m =k 2      1    æ 1 ö4k 2 + 3 è  4 øk 2所以存在滿足題意的 P ，且 m 的取值范圍是 ç 0,   ÷第九章第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換解析幾何æ1 öè4 ø例 10：已知拋物線 C ： y2 = 2 px ( p > 0) 的焦點(diǎn)為 F ，直線 y = 4 與 y 軸的交點(diǎn)為 P ，與拋物線的交點(diǎn)為 Q ，且 QF =54PQ（1）求拋物線 C 的方程（2）過(guò) F 的直線 l 與拋物線 C 相交于 A, B 兩點(diǎn)，若 AB 垂直平分線 l ' 與 C 相交于 M , N 兩點(diǎn)，且 A, M , B, N 四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，求 l 的方程解：（1）設(shè) Q (x ,4 )，可的 42 = 2 px Þ x =0008p Q ç ,4 ÷  P (0 , 4)p              2  p  2æ 8öè pø8              p  8  p PQ =       QF = x +  =  +0且5QF =  PQ4  8p5 8+=×解得 p = 2p24 p 拋物線 C : y 2 = 4x（2）由（1）可得 F (1,0)可設(shè)直線 l : x = my + 1ì y 2 = 4 x聯(lián)立方程 íÞ y 2 - 4my - 4 = 0î x = my + 1設(shè) A(x , y ), B (x , y1122)，則有 y1+ y = 4m, y y = -42 1 2設(shè) l ' : ( y - 2m ) = -m éë x -  2m2 + 1 ùû   整理可得： x = - x + x = m ( y + y ) + 2 = 4m2 + 21212       AB 的中點(diǎn) D (2m2 + 1,2 m )m2 + 1 y - y = 4 (m2 + 1)且 AB =12由直線 l : x = my + 1 可得 l ' 的斜率為 -m()1my + 2m2 + 3與 y 2 = 4x 聯(lián)立消去 x 可得： y 2 +設(shè) M (x , y ), N (x , y)33444my - 4 (2m2 + 3)= 0第九章第 75 煉 幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換解析幾何 y + y =-344m, y y = -4 (2m2 + 3)3 41 (  y  + y ) + 4m2 + 6 =m                  m2 x + x = -343 44+ 4m2 + 6 MN 的中點(diǎn) E çm øæ 2è m2+ 2m2 + 3, -2 ö÷MN = 4 (m2 + 1) 2m2 + 1m2，因?yàn)?#160;A, M , B, N 共圓，所以 DE  2 +  AD    = r 2 =  ME22Þ DE 2 +1      1AB 2 =  MN4      42()Þ ç 2m + ÷  + ç2 + 2 ÷  + 4  m2 + 1=2 ö2æ  2m øè mæö2èø整理后可得： m2 - 1 = 0 Þ m = ±1 l 的方程為： x - y - 1 = 0 或 x + y - 1 = 024 (m2 + 1) (2m2 + 1)m4