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基于立方三角插值樣條的數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)路徑的描述和平滑處理
陶建明，宋愛平，易旦萍
(揚(yáng)州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225127)
關(guān)鍵字：樣條曲線，插值，可調(diào)節(jié)形狀，軌道描述，平滑路徑
摘要：為了更好地描述數(shù)控加工的復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)路徑,實(shí)現(xiàn)路徑片段之間的平穩(wěn)過(guò)渡，一種基于一組特殊的基函數(shù)的立方三角插值樣條曲線被提出。有可調(diào)形狀的樣條曲線滿足C 1連續(xù)性并且它可以準(zhǔn)確地描述一些常見工程曲線比如直線，圓弧和自由曲線。根據(jù)給定的控制點(diǎn)信息，不同形狀的插值樣條曲線可以通過(guò)改變調(diào)整系數(shù)獲得認(rèn)可。通過(guò)選擇合適的控制點(diǎn)和形狀調(diào)整系數(shù)附近的拐角，插入樣條曲線可以在相鄰的拐角處實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)過(guò)渡段數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑，這樣可以確保穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)路徑和進(jìn)給速度的連續(xù)，與此同時(shí)，它還可以減少數(shù)控機(jī)床的影響。
引言：高速數(shù)控加工是提高零件加工效率和質(zhì)量的重要方法。機(jī)床在高速運(yùn)行過(guò)程中,需要確保機(jī)床運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性,避免產(chǎn)生更大的將影響零件的加工質(zhì)量的影響,同時(shí)保護(hù)機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)。在實(shí)際加工過(guò)程中，數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑通常由許多直線和圓弧組成。目前，為了處理在相鄰數(shù)控機(jī)床路徑段落的拐角的速度，主要方法是在當(dāng)前加工階段的結(jié)尾減緩速度為零，然后在下個(gè)處理段的起始位置加快命令速度。使用這種方式以零速度來(lái)度過(guò)每一個(gè)拐角可以避免對(duì)數(shù)控機(jī)床更大的影響。然而,這種方式將導(dǎo)致在加工過(guò)程中頻繁啟動(dòng)和停止速度,它會(huì)嚴(yán)重影響零件加工效率的提高。因此,需要研究新的在拐角處的運(yùn)動(dòng)控制方法,從而使傳輸速度不降至零,并達(dá)到目的的實(shí)現(xiàn)兩個(gè)相鄰路徑之間的高速平穩(wěn)過(guò)渡段。從而提高加工效率和限制載荷的影響。
處理在拐角處的相鄰加工路徑段的速度時(shí)，文獻(xiàn)提出了在拐角處添加圓弧或二次曲線過(guò)渡,來(lái)使速度不降至零。在某種程度上,這種方法提高了加工效率,降低了機(jī)床的影響。但它缺乏加速控制并且錯(cuò)誤控制不嚴(yán)格，當(dāng)拐角很大時(shí)，傳輸速度的提高將是有限的，所以這個(gè)方法不滿足高速加工的需要。文獻(xiàn)提出了在拐角處速度與預(yù)見性控制方法，該方法有限速度矢量的變化形成的影響，通過(guò)在拐角處的有限的速度下降追求最大的加工效率。但它需要大量的預(yù)計(jì)算，它需要更高的數(shù)控控制系統(tǒng)。文獻(xiàn)提出了一種向量法來(lái)實(shí)現(xiàn)兩個(gè)路徑之間的平穩(wěn)過(guò)渡。通過(guò)預(yù)期的運(yùn)動(dòng)參數(shù)的分析，該方法可以在拐角更大時(shí)提高傳輸速度，但當(dāng)拐角較小時(shí)，傳輸速度仍不夠光滑。
在立方埃米爾函數(shù)功能基礎(chǔ)上，這篇論文提出了一種可調(diào)形立方三角多項(xiàng)式插值樣條曲線，它可以用來(lái)描述數(shù)控加工路徑，如直線、圓弧和自由曲線段，并且它有簡(jiǎn)單的計(jì)算性能,靈活的結(jié)構(gòu),等等。樣條也可以在拐角處用來(lái)描述平穩(wěn)過(guò)渡曲線，實(shí)現(xiàn)高速數(shù)控加工路徑段之間的平穩(wěn)過(guò)渡，滿足現(xiàn)代數(shù)控系統(tǒng)的需求高速、穩(wěn)定性和靈活性。
立方三角插值樣條曲線
樣條的基礎(chǔ)功能 一些變量的給定值λ和κ，參數(shù)υ滿足0≤υ≤1，下面的公式稱為立方三角樣條基函數(shù)集。
在公式中，s代表 ，c代表
插值樣條曲線 假設(shè)一組給定的控制點(diǎn)是 那么樣條曲線段可以被定義為
由許多小的曲線段組成的曲線P(u)被稱為立方樣條插值曲線。
從表達(dá)式（2）中知道整個(gè)曲線P(u)由n-2個(gè)小曲線段組成，第i個(gè)曲線段pi(u)存在
(3)
第i+1個(gè)曲線段pi+1(u)存在
(4)
比較（3）（4）兩式，很明顯知道臨近的曲線段pi(u)和pi+1(u)有以下聯(lián)系
(5)
由式子（3）（4）（5），一個(gè)定理可以得到，即樣條曲線篡改這組給定的控制點(diǎn)從qn到qn-2 ,它也滿足C1的連續(xù)性。
展開樣條曲線公式（2）變成多項(xiàng)式形式，然后可以得到(6)
(7)
在式子（7）（8）中s代表 ，c代表
圖一 可調(diào)樣值插條曲線
從上面可以知道,任何四個(gè)控制點(diǎn)完全確定一段可調(diào)形立方三角插值樣條曲線。曲線篡改前兩個(gè)控制點(diǎn),后兩個(gè)控制點(diǎn)是用來(lái)計(jì)算曲線的端點(diǎn)斜坡段。設(shè)qi qi+1 qi+2 qi+3 分別為A B C D四個(gè)確定的點(diǎn)，采用AutoCAD中的AutoLISP程序能畫一個(gè)立方三角插值樣條曲線段可調(diào)的形狀，如圖1。改變?chǔ)撕蚹的值可以實(shí)現(xiàn)曲線段的形狀調(diào)整。當(dāng)k取值0.5，λ=0.5,0.5,1和0.5時(shí)，圖一中的四條曲線分別插值樣條曲線段一致。然而當(dāng)λ取值1，k=0.3，0.5,0.6和0.7時(shí)，四條曲線在圖1b中分別和樣條曲線段一致。
圖二 環(huán)形插值樣條
圖三 直線插值樣條
此外,當(dāng)控制點(diǎn)被重用時(shí)環(huán)形插值樣條曲線段可以生成。如圖2所示，當(dāng)控制點(diǎn)序列式（B,B,C,D）S時(shí)，即B點(diǎn)被重用，然后通過(guò)編程可以生成環(huán)型樣條曲線段。當(dāng)k取值-1，λ=-1,0和1，圖2中的兩條環(huán)形曲線段分別和樣條曲線段對(duì)應(yīng)。保持A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，然后樣條起點(diǎn)向量和AB同向，向量結(jié)束點(diǎn)和BD同向。這個(gè)特性可以用來(lái)處理在數(shù)控加工中的相鄰路徑之間的拐角平穩(wěn)過(guò)渡段。
三角立方插值樣條曲線的工程應(yīng)用
貝塞爾曲線和b樣條曲線與傳統(tǒng)的弗格森曲線相比,可調(diào)形狀立方三角插值樣條曲線具有更好的性能。它不僅具有可調(diào)的屬性插值和形狀,還因?yàn)闃訔l曲線包含的三角多項(xiàng)式,通過(guò)選擇合適的控制點(diǎn)和形狀調(diào)整系數(shù)。樣條曲線可以準(zhǔn)確地描述常見的工程曲線如直線、圓弧和自由曲線等。因此,樣條曲線可以用來(lái)描述復(fù)雜的數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑。與此同時(shí),通過(guò)選擇合適的附近角落里的控制點(diǎn)相鄰加工路徑段和形狀調(diào)整系數(shù),可以生成可實(shí)現(xiàn)高速平穩(wěn)過(guò)渡街角環(huán)形式或圓弧樣條曲線。
數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑的直線描述
假設(shè)一個(gè)線段的兩個(gè)端點(diǎn)B和C,以四個(gè)控制點(diǎn)順序?yàn)?B,C,B,C),然后從B到C一條直線可以構(gòu)造如圖3所示。
分析公式7當(dāng)和k=1的時(shí)候，公式7變成了線性參數(shù)方程（8）
在公式中：C是代表。
圓弧數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑的描述
通過(guò)樣條曲線的四個(gè)特殊控制點(diǎn)和形狀調(diào)整系數(shù)可以準(zhǔn)確的描述圓弧。假設(shè)兩個(gè)端點(diǎn)的圓弧段是a和B,以四個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)為A(a,0) ,B(0, a) , C(a,πa/2) and D(?πa/2, a),形狀調(diào)整系數(shù)λ= 1,k =?1,然后從一個(gè)圓弧從A到B可以構(gòu)造。把以上四個(gè)控制點(diǎn)的坐標(biāo)和形狀調(diào)整系數(shù)代入公式(7),可以得到圓弧的參數(shù)方程: （9）
在公式中：s代表，c代表
圖4顯示了角圓弧段與中心的角為90°,相應(yīng)的改變了從0到1的參數(shù)u。當(dāng)使用樣條曲線來(lái)描述圓弧角和中心小于90°時(shí),它可以通過(guò)控制參數(shù)u的數(shù)值;當(dāng)描述圓弧角與中心超過(guò)90°時(shí),使用一些圓弧段拼接去理解。
描述數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑的自由曲線
使用這個(gè)立方三角插值樣條可以很容易地描述自由曲線。從上面我們知道給定的控制點(diǎn)可以構(gòu)造n?3樣條曲線段。如圖5所示,通過(guò)(A,B,C,D,E,F,G,H，I,J)十控制點(diǎn)可以產(chǎn)生一個(gè)由七個(gè)小段樣條曲線組成的自由曲線段。整個(gè)自由曲線滿足C1的連續(xù)性,這保證了樣條曲線的平滑度。
應(yīng)用力學(xué)和材料波動(dòng)率365-366 519
圖4.圓弧插值樣條 圖5.自由曲線插值樣條
數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑的規(guī)劃
圖6顯示了當(dāng)前常用數(shù)控加工運(yùn)動(dòng)路徑的一部分。工具中心的移動(dòng)路徑為A→B→C→D。在運(yùn)動(dòng)路徑中,點(diǎn)B和C是明顯的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。當(dāng)相鄰加工路徑段形成的角比較大時(shí),它將引起過(guò)大的運(yùn)動(dòng)速度矢量的變化,這將更容易對(duì)數(shù)控機(jī)床引起更大的影響。這種現(xiàn)象對(duì)高速情況下的高速加工更加明顯。根據(jù)樣條曲線的性質(zhì),插入樣條在拐角處的相鄰段加工路徑,可以生成的軌跡過(guò)渡段之間的平穩(wěn)過(guò)渡,實(shí)現(xiàn)加工路徑,以實(shí)現(xiàn)角落平滑過(guò)渡的速度的目的。
圖6.潤(rùn)滑前的數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑 圖7.潤(rùn)滑后的數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑
圖7顯示了描述數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑基于可調(diào)鋒利的立方三角插值樣條曲線。其中,分C1和C2的十字路口外輪廓的工具根據(jù)公元前段和CD當(dāng)工具中心是在C點(diǎn)。段AB、BC1和C2D匯集直線、插入外花鍵環(huán)形式過(guò)渡曲線拐角點(diǎn)B和圓弧內(nèi)花鍵過(guò)渡曲線拐角點(diǎn)C。這樣計(jì)劃數(shù)控加工運(yùn)動(dòng)路徑平滑,沒(méi)有速度下降和上升角過(guò)渡期間,可以保證順利在拐角處轉(zhuǎn)移,容易實(shí)現(xiàn)高速加工數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑段之間的關(guān)系。
外部角落的平滑度
如圖8所示,為了順利轉(zhuǎn)移加工m l和n l之間的片段,樣條曲線環(huán)形式插入外部角落B點(diǎn),
由四個(gè)控制點(diǎn)生成序列(B,B,B1、B2)和形狀調(diào)整系數(shù)k =?1。其中,點(diǎn)B1的延長(zhǎng)線上段m l和點(diǎn)B2段n l。選擇控制點(diǎn),這種方式可以確保矢量的起點(diǎn)樣條曲線轉(zhuǎn)移與段m l在同一個(gè)方向,和結(jié)束點(diǎn)向量是相同的段n l方向,可以實(shí)現(xiàn)外部角落數(shù)控運(yùn)動(dòng)之間的平穩(wěn)過(guò)渡路徑段。改變形狀調(diào)整系數(shù)λ的值可以產(chǎn)生不同大小的樣條曲線,通過(guò)選擇合適的λ值可以控制角落里的運(yùn)動(dòng)過(guò)程加速度的變化。
機(jī)械設(shè)計(jì)和制造工程 520
圖8 外部角落平穩(wěn)過(guò)渡 圖9 內(nèi)角平穩(wěn)過(guò)渡
平滑的內(nèi)角
如圖9所示,插入在圓弧樣條曲線內(nèi)角點(diǎn)C平滑轉(zhuǎn)移n l和o l之間的部分。四個(gè)連續(xù)的控制點(diǎn)是(C1,C2,C3,C4)和形狀調(diào)整系數(shù)k =?1。其中,點(diǎn)C1和C2是工具外輪廓線的路口段l n和o l當(dāng)工具中心在C點(diǎn),點(diǎn)C3的延長(zhǎng)線上段n l,點(diǎn)C4段o l,和他們的坐標(biāo)是由點(diǎn)C1和C2。同樣,這條曲線的起點(diǎn)向量同一個(gè)方向段n l和終點(diǎn)向量與段o l在同一個(gè)方向,可實(shí)現(xiàn)數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑的內(nèi)部角平穩(wěn)過(guò)渡段。改變形狀的價(jià)值調(diào)整系數(shù)λ可以改變傳輸曲線的大小,所以通過(guò)選擇合適的λ值可以控制在角落運(yùn)動(dòng)加速度的變化的過(guò)程,與此同時(shí),它還可以控制加工誤差。
結(jié)論
本文給出了一組特殊的基函數(shù),并根據(jù)它所構(gòu)造的曲線立方三角插值樣條曲線滿足1 C連續(xù)性。曲線有以下優(yōu)點(diǎn):1)改變控制點(diǎn)只有四段曲線的相關(guān)影響,并沒(méi)有影響其他地區(qū)的整個(gè)曲線,曲線具有良好的性能位置。2)每段樣條有兩個(gè)形狀調(diào)整系數(shù)λ和k,和的形狀曲線可以很容易地控制通過(guò)改變?chǔ)说闹岛蚹,所以曲線的性質(zhì)形狀可調(diào)。3)選擇合適的控制點(diǎn)和形狀調(diào)整系數(shù),樣條精確地描述一些常見工程曲線如直線、圓弧和自由曲線,所以樣條曲線構(gòu)造的靈活性。4)使用樣條多項(xiàng)式的形式表達(dá)式來(lái)避免理性形式,因此需要減少大量的計(jì)算和存儲(chǔ)空間。
因此,使用這個(gè)樣條描述復(fù)雜數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑具有明顯的優(yōu)勢(shì),它也可以用來(lái)處理相鄰數(shù)控運(yùn)動(dòng)路徑之間的角落平穩(wěn)過(guò)渡段。通過(guò)插入可調(diào)鋒利的樣條在拐角處可以很容易地實(shí)現(xiàn)高速數(shù)控路徑之間的平穩(wěn)過(guò)渡段,可以滿足現(xiàn)代數(shù)控需要的系統(tǒng)高速、穩(wěn)定性和靈活性。