中英文文獻(xiàn)翻譯-載荷擺動引起的塔式起重機的動力響應(yīng)
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載荷擺動引起的塔式起重機的動力響應(yīng)
作者：F. Ju a, Y.S. Choo a,*, F.S. Cui b
起止頁碼：557–574
出版日期（期刊號）：International Journal of Solids and Structures, 2005,43(2); doi:10.1016/j.ijsolstr.2005.03.078
文章來源：國際固體與結(jié)構(gòu)雜志
摘要:
本文研究了塔吊的動力響應(yīng)與載荷擺動運動的關(guān)系。應(yīng)用一個簡單的擾動方案和小擺角的假設(shè)來簡化控制方程。采用有限元法對塔式起重機進行建模，擺動運動采用剛體動力學(xué)方法?；诎x散函數(shù)的拉格朗日方程，推導(dǎo)出耦合動力學(xué)問題的積分控制方程。利用所提出的公式和計算方法，對具有球面和平面擺動運動的變幅起重機模型進行了動力學(xué)分析。研究發(fā)現(xiàn)，塔式起重機的動力響應(yīng)主要受起重機結(jié)構(gòu)的低階固有頻率和載荷的擺動運動控制。動態(tài)放大系數(shù)一般隨初始擺角的增大而增大，其對平面擺動運動的影響略呈非線性。
關(guān)鍵詞: 塔式起重機;有限元;擺;結(jié)構(gòu)動力學(xué)
1. 介紹
在高層建筑施工中，塔式起重機被用來提升和移動沉重的有效載荷。在內(nèi)部或外部力的作用下，負(fù)載總是有在它垂直位置振蕩的趨勢，導(dǎo)致起重機結(jié)構(gòu)振動和有效載荷鐘擺運動的耦合動力學(xué)問題。這種鐘擺引起的振動可能會造成塔機系統(tǒng)的不穩(wěn)定或嚴(yán)重的破壞。在起重機設(shè)計和控制需要的驅(qū)使下，研究人員努力了解包括載荷在內(nèi)的起重機系統(tǒng)動力學(xué)的物理性質(zhì)和工程意義。阿卜杜勒·拉赫曼等人對起重機動力學(xué)、建模和控制進行了綜述(2003)。
起重機的動力學(xué)和控制方面的研究大多是基于起重機結(jié)構(gòu)的簡化模型。陳恩等人(2001)將臂架起重機建模為一個球面擺和一個具有兩個自由度的剛性系統(tǒng)，并假設(shè)平臺的運動，但不受載荷擺動的影響。在特瑞凱(1998)、凱里瑟林等人(1999)和吉利亞扎和福爾摩斯(2002)的研究中，起重機結(jié)構(gòu)也被認(rèn)為是帶有或不帶獨立彈簧的剛體。達(dá)夫林那等人(2001)采用梁模型表示起重機柔性結(jié)構(gòu)的方法研究了橋式起重機系統(tǒng)動力學(xué)。一般來說，當(dāng)負(fù)載的鐘擺運動的動態(tài)作為主要關(guān)注點時，這些簡化的起重機結(jié)構(gòu)模型是合理的。然而，當(dāng)對起重機結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和動力響應(yīng)進行分析時，就需要對起重機結(jié)構(gòu)進行詳細(xì)的建模。塔式起重機是由空間框架、電纜系統(tǒng)和集中質(zhì)量組成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系，因此，有限元分析是一種合適的分析方法。弗朗加和埃爾南塞 (2002,2005a)研究了塔式起重機系統(tǒng)在有效載荷加減速作用下的自振和動力響應(yīng)，并對起重機系統(tǒng)進行了詳細(xì)的有限元建模。在他們的研究中，載荷的運動被限制在垂直方向,沒有任何的擺動或鐘擺運動。
本研究的目的是推導(dǎo)出完整的有限元公式來分析塔式起重機與負(fù)載的鐘擺運動的動力學(xué)。
2. 理論和公式
圖1 載荷擺動時塔機結(jié)構(gòu)變形示意圖
真正的塔式起重機是由底座、塔架、吊臂、平衡桿結(jié)構(gòu)和機械系統(tǒng)組成的復(fù)雜空間結(jié)構(gòu)。圖1所示為簡化的塔式起重機模型，以及載荷擺動引起的塔式起重機模型變形示意圖。如圖所示，有效載荷偏離垂線的角度記為θ，繞垂線旋轉(zhuǎn)的有效載荷角度記為φ。對于載荷的純平面擺運動，θ是時間的函數(shù)，而φ保持不變。對于載荷的純球擺運動，φ是時間的函數(shù)，θ是常數(shù)。對于載荷的復(fù)雜運動，φ和θ是時間相關(guān)的。
關(guān)鍵參數(shù)包括桅桿高度(Hm) ,臂長(LJ)和鐘擺長度(Lp)也顯示在圖1中。為了便于動力分析，參考系統(tǒng)的原點設(shè)在塔式起重機的基座中心。臂尖B點在載荷擺與臂結(jié)構(gòu)相連的三個方向上的彈性位移分別記為uB， vB ，wB。
2.1 動能，勢能和耗散函數(shù)
圖1所示的有效載荷P的位置向量可以表示為：
rP=(LJ+uB+LPsinθcosφ)?I+vB+LPsinθsinφ?j+(HM+wB- LPcosθ)?k (1)
其中i、j和k分別是沿著x-軸、y-軸和z-軸的單位向量?？梢钥闯?，通過加入頂部位移(uB， vB ，wB )，載荷位置方程中包含了起重機結(jié)構(gòu)彈性變形的影響。
載荷P的速度矢量可由rP 可通過時間導(dǎo)數(shù)得到：
vp=uB+LPcosθcosφ?θ-LPsinθsinφ?φ?l+vB+LPcosθsinφ? θ+LPsinθcosφ?φ?j+(wB+LPsinθ?θ)?k (2)
這里忽略了擺絲的柔度，因此rP為常數(shù)。
載荷的動能和勢能可以被導(dǎo)出為：
TP=1/2mPVP ?VP=1/2mP{uB2+vB2+wB2+LP2θ2+LP2sin2θφ2+2LPcosθcosφuBθ-2LPsinθsinφuBφ+2LP*cosθsinφvBθ+ 2LPsinθcosφvBφ+2LPsinθwBθ} (3a)
和
uP=mPg(Hm-LPcosθ+wB) (3b)
其中mp和g分別為載荷的質(zhì)量和重力加速度。
基于有限元離散化，塔吊結(jié)構(gòu)的動能和勢能分別可以表示為：
TC=12ΔTMΔ=12ΔruBvBwBTMrrMruMrvMrwMuvmuumuvmuwMvrmvumvvmvwMwrmwumwvmwwΔruBvBwB (4a)
和
Uc=12ΔTKΔ=12ΔruBvBwBTKrrKruKrvKrwKuvKuuKuvKuwKvrKvuKvvKvwKwrKwuKwvKwwΔruBvBwB (4b)
其中[M]和[K]為塔式起重機結(jié)構(gòu)的整體質(zhì)量和剛度矩陣;Δ和Δ是整個系統(tǒng)的位移矢量和速度矢量;(uB， vB ，wB)和(uB, vB ,wB),為臂尖點B的節(jié)點位移和速度，Δr和Δr為起重機結(jié)構(gòu)其余自由度的位移和速度矢量。
同理，瑞利耗散函數(shù)可以表示為：
FC=12ΔTCΔ=12ΔruBvBwBTCrrCruCrvCrwCuvCuuCuvCuwCvrCvuCvvCvwCwrCwuCwvCwwΔruBvBwB (4c)
其中[C]為阻尼矩陣。顯然：
Δ=ΔrTuBvBwBT;Δ=ΔrTuBvBwBT;Δ=ΔrTuBvBwBT (4d)
起重機系統(tǒng)包括起重機結(jié)構(gòu)和載荷擺的總動能、勢能和耗散函數(shù)可以表示為：
T=Tc+TP;U=Uc+UP;
F=Fc (5)
其中 Tp, Up, Tc ,Uc和Fc由方程式(3a,b)和(4a,b,c),分別給出。
2.2 控制方程的整體有限元公式
L=T-U=12ΔruBvBwBTMrrMruMrvMrwMuvmuumuvmuwMvrmvumvvmvwMwrmwumwvmwwΔruBvBwB +12mP{uB2+vB2+wB2+LP2θ2+LP2sin2θφ2+2LPcosθcosφuBθ-2LPsinθsinφuBφ+2LPcosθsinφvBθ+2LPsinθcosφvBφ+2LPsinθwBθ
-12ΔruBvBwBTKrrKruKrvKrwKuvKuuKuvKuwKvrKvuKvvKvwKwrKwuKwvKwwΔruBvBwB-mPg(Hm-LPcosθ+wB) (6)
包含耗散函數(shù)的拉格朗日方程為：
??t?L?qr-?L?qr+?F?qr=0 (7)
其中qr和qr是系統(tǒng)的一般坐標(biāo)和一般速度。對于目前的問題，Δr ，uB， vB ，wB，θ，φ為一般坐標(biāo)，Δr， uB， vB ，wB， θ和φ是相應(yīng)的一般速度。
代入方程式。(4c)和(6)帶入式(7)給出：
M+00000mP0000mP0000mPΔruBvBwB+CΔruBvBwB+KΔruBvBwB=
mPLP-cosθcosφθ+sinθcosφθ2+2cosθsinφθφ+sinθsinφφ+sinθcosφφ2mPLP-cosθsinφθ+sinθsinφθ2-2cosθcosφθφ-sinθcosφφ+sinθsinφφ2-mPLPsinθθ+cosθθ2-mPg
(8a)
LPθ-LPsinθcosθφ2+cosθcosφuB+cosθsinφvB+sinθwB+gsinθ=0
(8a)
LPsinθφ+2LPcosθθφ-sinφuB+cosφvB=0 (8c)
方程式(8a)—(8c)是塔式起重機結(jié)構(gòu)動力學(xué)與載荷擺運動的綜合有限元公式。
2.3 小擺角的簡化：
對于小的角位移，sinθ可以被θ代替，cosθ可以被1代替(納爾遜和奧爾森, 1986)，以及公式(8a)—(8c)則化簡為：
M+00000mP0000mP0000mPΔruBvBwB+CΔruBvBwB+KΔruBvBwB
=mPLP-cosφθ+θcosφθ2+2sinφθφ+θsinφφ+θcosφφ2mPLP-sinφθ+θsinφθ2-2cosφθφ-θcosφφ+θsinφφ2-mPLPθθ+θ2-mPg
(9a)
LPθ-LPθφ2+cosφuB+sinφvB+θwB+gθ=0 (9b)
LPθφ+2LPθφ-sinφuB+cosφvB=0 (9c)
由此可見，如果假設(shè)擺角較小，則簡化的微分方程如公式(9a)—(9c)，對于與鐘擺運動耦合的結(jié)構(gòu)動力學(xué)仍然是非線性的。
2.4 具有剛性結(jié)構(gòu)假設(shè)的特殊情況
假設(shè)起重機結(jié)構(gòu)為剛性結(jié)構(gòu)，則公式(8a)—(8c)退化為以下非線性微分方程：
LPθ-LPθφ2+ gθ=0 (10a)
LPθφ+2LPθφ=0 (10b)
方程式(10a)和(10b)也可以直接由牛頓第二運動定律得到
此外，如果載荷的運動限于φ=φ0、φ=φ=0和θt=0=θ0的垂直面，則式(10a)可簡化為：
LPθ+gθ=0 (11a)
方程 (11a)是眾所周知的線性平面擺方程(納爾遜和奧爾森, 1986)，其解為：
θ=θ0cosω0t (11b)
w0是擺的固有頻率得到：
ω0= g∕LP (11c)
同樣，如果假設(shè)載荷是球形運動(吉利亞扎和福爾摩斯,）;當(dāng)θ=θ0, θ=θ=0, φt=0=φ0時，有效載荷球擺運動的控制方程為：
-LPφ2+g=0(with φ=0) (12a)
式(12a)的解為：
φ=ω0t+φ0 (12b)
式(11c)中給出w0。可以看出，在剛性結(jié)構(gòu)假設(shè)下，載荷的球面擺是勻速旋轉(zhuǎn)，角速度等于相應(yīng)的線性平面擺的固有頻率。
3. 數(shù)值計算近似
求解結(jié)構(gòu)動力學(xué)和鐘擺運動的耦合方程可能涉及復(fù)雜的分岔和混沌非線性動力學(xué)現(xiàn)象(陳恩 等人，2001;施瓦茨等人，1999年; 黛西, 2002)。本文考慮了前一節(jié)所討論的載荷運動的兩種特殊情況，即球面擺和平面擺，來研究塔式起重機的耦合結(jié)構(gòu)動力學(xué)。
3.1 具有球形擺的柔性起重機結(jié)構(gòu)
式(12b)給出了基于剛性結(jié)構(gòu)假設(shè)的載荷球面擺的求解方法，該方法不適用于柔性起重機結(jié)構(gòu)。在起重機結(jié)構(gòu)的彈性變形相對于載荷擺運動較小的前提下，本文假設(shè)具有柔性結(jié)構(gòu)的球形擺的近似解為這種形式：
φ=w0t+φ0+εφt (13a)
其中εφt為小干擾項?？梢钥闯觯诘仁?(12b)中增加了一項εφt，得到等式 (13a)。采用εφt來考慮結(jié)構(gòu)的靈活性。
角速度和加速度，由式(13a)導(dǎo)出：
φ=ω0+εφt
φ=εφt (13b)
在這里,像εφt ，εφt ，εφt也認(rèn)為是小擾動條件。
代入方程式(13a)和(13b)轉(zhuǎn)換為公式 (9a)–(9c)：
M+00000mP0000mP0000mPΔruBvBwB+CΔruBvBwB+KΔruBvBwB
=mPuB+θ0cosω0t+φ0wB+mPθ0gcosω0t+φ0mPνB+θ0sinω0t+φ0wB+mPθ0gsinω0t+φ0-mPg (14a)
2ω0θ0εφ=θ0wB+cosw0t+φ0uB+sinw0t+φ0vB (14b) LPθ0εφ=sinw0t+φ0uB-cosw0t+φ0vB (14c)
這兒所有的εφt ，εφt ，εφt下降。
公式(14a)可進一步簡化為：
MΔruBvBwB+CΔruBvBwB+KΔruBvBwB=mPwB+gθ00cosω0t+φ0sinw0t+φ0-1 (14d)
有趣的是，塔吊動態(tài)響應(yīng)的控制方程與載荷的球擺運動方程是解耦的。達(dá)夫林等人(2001)也報道了這種現(xiàn)象。式(14d)的右邊表明，當(dāng)載荷經(jīng)歷球擺運動時，無論擺長多少，吊車結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)與擺角的幅值成正比。
3.2 具有平面擺的柔性起重機結(jié)構(gòu)
同樣，基于等式（11b），具有撓性結(jié)構(gòu)的平面擺的解假定為以下形式：
θ=θ0cosw0t+εθt (15a)
其中εφt是一個小擾動項。 角速度和加速度為：
θ=-ω0θ0sinω0t+εθt
θ=-ω02θ0cosω0t+εθt (15b)
這里εφt和εφt也是很小的擾動。
代入式 （15a）和（15b），（9a）–（9c）結(jié)果變成：
M+00000mP0000mP0000mPΔruBvBwB+CΔruBvBwB+KΔruBvBwB=
mPcosφ0[-LPε0-2ω0θ02LPcosω0tsinω0tεθ+2gθ02sin2ω0tcosφ0ε0+gθ0cosω0t+gθ03sin2ω0tcosω0tmPsinφ0[-LPε0-2ω0θ02LPcosω0tsinω0tεθ+2gθ02sin2ω0tcosφ0ε0+gθ0cosω0t+gθ03sin2ω0tcosω0tmP[-θ0LPcosω0tεθ+2ω0θ0LPsinω0tεθ+gθ0cos2ω0tε0+2gθ02cos2ω0t]-mPg
(16a)
LPεθ+wB+gεθ=-θ0wBcosw0t-uBcosφ0-vBsinφ0 (16b)
0=uBsinφ0-vBcosφ0 (16c)
從等式中可以看出，(16a) (16c)塔式起重機的動力響應(yīng)與載荷的平面擺運動完全耦合。
等式 （16c）作為尖端加速度的約束，并且將uB=vB?cosφ0∕sinφ0（對于sinφ0≠0）或vB=uB?sinφ0∕cosφ0（cosφ0≠0）替換為等式（16b）施加的這種約束。
求解方程的計算方案。（16a）-（16c）基于Newmark方法和迭代方法，時間間隔為Δt的計算過程可以總結(jié)為：
步驟1.給定Δt，Δt和Δt，從等式（16a）中獲得Δt+Δt，Δt+Δt和Δt+Δt。（16a）忽略εθ，εθ和εθ；
步驟2.將uBt+Δt，VBt+Δt和wBt+Δt代入方程式（16b），得到εθt+Δt，εθt+Δt和εθt+Δt；
步驟3.將εθt+Δt，εθt+Δt和εθt+Δt代入公式（16a），得到新的Δt+Δt，Δt+Δt和Δt+Δt；
步驟4.檢查uBt+Δt，VBt+Δt和wBt+Δt的收斂性，如果不滿足收斂條件，則回步驟2。
4. 數(shù)值結(jié)果與討論
本研究使用Potain變幅塔式起重機的真實模型進行數(shù)值分析，其中起重機的總高度為68.3米。用于起重機結(jié)構(gòu)建模的有限元類型主要是空間框架和桁架單元。配重，設(shè)備和有效載荷用塊狀質(zhì)量建模，變幅和起重電纜用弗朗加和埃爾南塞（2005b）提出的電纜滑輪單元建模。
4.1塔式起重機結(jié)構(gòu)的自然模式和頻率
為了研究擺參數(shù)對塔式起重機耦合振動的影響，首先分析了沒有有效載荷的塔式起重機結(jié)構(gòu)的固有振動。圖2給出了塔式起重機的前四個自然模式和頻率?？梢钥闯觯谝荒Ｊ绞怯蓱冶劢Y(jié)構(gòu)的變形決定的，而第二和第三模式則是整個起重機結(jié)構(gòu)的復(fù)雜彎曲模式。在第四模式中發(fā)現(xiàn)臂架結(jié)構(gòu)的扭曲，以及桅桿和臂架的彎曲。弗朗加和埃爾南塞（2002）的研究中可以找到有關(guān)起重機結(jié)構(gòu)自然振動的詳細(xì)討論。
圖2 塔式起重機塔身有支撐時塔機結(jié)構(gòu)的前四階模態(tài)
4.2 塔式起重機在有效載荷的球擺運動下的動態(tài)響應(yīng)
圖3顯示了塔式起重機的變形形狀，其中有效載荷在初始擺角θ0為10.00的情況下正在經(jīng)歷球擺運動。擺錘的長度Lp為40 m，有效載荷的重量為2000kg。
圖3 起重機結(jié)構(gòu)的變形形狀與載荷的球擺運動(θ0=10.00)
圖4a展示了尖端節(jié)點B的經(jīng)因子分解的動態(tài)響應(yīng)，VBt∕wB0和wBt∕wB0。這里的VBt和wBt是節(jié)點B在y和z方向上位移的動態(tài)響應(yīng)。 wB0是節(jié)點B在垂直方向上的靜態(tài)位移，凈荷沒有任何運動。使用VBt∕wB0代替VBt∕VB0的原因是，當(dāng)僅垂直載荷作用于尖端節(jié)點時，wB0非常小。圖4b給出了圖4a所示的功率因數(shù)wBt∕wB0的頻譜。從圖中可以看出，在功率密度頻譜上主要存在三個峰值點，分別位于0.08 Hz，0.50 Hz和0.80 Hz。最后兩個頻率明顯對應(yīng)于圖2中給出的第一和第二自然模式，而0.08 Hz是由w0=12πg(shù)Lp≈0.079Hz給出的擺動固有頻率。因此，在這種情況下，這三個頻率決定了起重機結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)。
4.3 塔式起重機在有效載荷平面擺運動下的動態(tài)響應(yīng)
還基于等式來計算針對有效載荷的平面擺運動的尖端節(jié)點B的經(jīng)因子分解的動態(tài)響應(yīng)VBt∕wB0和wBt∕wB0基于公式（16a）-（16c）并如圖5a所示，而功率密度wBt∕wB0的頻譜如圖5b所示。
塔式起重機在有效載荷的平面擺運動下的動態(tài)響應(yīng)要比在球形擺運動下的動態(tài)響應(yīng)復(fù)雜。圖5b中的功率密度譜顯示了平面擺運動比球形擺運動更多的峰值。最后三個峰值頻率0.50 Hz，0.80 Hz和1.22 Hz對應(yīng)于圖2中給出的塔式起重機的前三個固有頻率。第一個峰值頻率0.16 Hz，是擺動頻率w0的固有頻率的二次諧波，因為在等式(16a)的右邊有2w0t。
圖4 (a)尖端點B (wB)的位移響應(yīng)與有效載荷的球擺運動(θ0=2.00)相結(jié)合
(b)尖端點B垂直響應(yīng)的功率密度因子(wB)與有效載荷的球擺運動相結(jié)合。
圖6顯示了初始擺角θ0對尖端位移響應(yīng)的動態(tài)放大因子的影響，該因子被定義為位移響應(yīng)在靜態(tài)位移上的最大幅度。發(fā)現(xiàn)動態(tài)放大因子隨著初始擺角的增加而增加，并且變化是非線性的。很明顯，看到如圖5所示：
圖5 (a)尖端點B的位移響應(yīng)與有效載荷的平面擺運動相耦合(θ0=2.00)， (b)尖端點B垂直響應(yīng)的功率密度因子(wB)與有效載荷的平面擺運動相結(jié)合。
由于塔吊結(jié)構(gòu)在橫向(y方向，如圖1所示)的最大響應(yīng)vBmax要大于縱向wBmax，因為該方向的響應(yīng)較弱。
5. 結(jié)論
圖6 載荷平面擺動時端點位移的動態(tài)放大系數(shù)
基于包括耗散函數(shù)的拉格朗日方程，推導(dǎo)了塔式起重機動態(tài)響應(yīng)的控制方程式，以及有效載荷的擺運動。塔式起重機是基于有限元方法建模的，而擺運動則表示為多體系統(tǒng)。然后，通過假設(shè)擺角較小，可以簡化導(dǎo)出的方程，從而得到一組具有非線性激勵載荷的耦合微分方程。這些方程式本質(zhì)上代表了結(jié)構(gòu)動力學(xué)的耦合工程問題，而多體動力學(xué)很難解析或數(shù)值求解。
如果假設(shè)起重機結(jié)構(gòu)是剛性的，則導(dǎo)出的控制方程將正確地退化為非線性微分方程，該方程恰好滿足球面和平面擺運動的牛頓運動定律。發(fā)現(xiàn)球形擺的自然周期等于相同長度的平面擺的自然周期。
基于純球形和平面擺的精確解，采用簡單的一階攝動方法進一步簡化了具有柔性結(jié)構(gòu)的塔式起重機的動力學(xué)和有效載荷擺運動的控制方程。這種基于擾動的簡化給出了一組可解的耦合方程，然后可以使用迭代方案基于紐馬克方法對其進行計算。
然后，對一臺變幅塔式起重機進行了數(shù)值研究，該起重機具有有效載荷的球形和平面擺運動。發(fā)現(xiàn)塔式起重機的動態(tài)響應(yīng)主要受起重機結(jié)構(gòu)的前兩個固有頻率和球擺運動的擺的固有頻率的影響。對于有效載荷平面振動，動態(tài)響應(yīng)主要取決于前三個自然模型和二次諧波振動。還發(fā)現(xiàn)，動態(tài)放大因子隨著初始擺角的增加而增加，并且對于有效載荷的平面擺運動而言，其變化僅是稍微非線性的。
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