《算法設(shè)計(jì)與分析》考試題目及答案-

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1、算法分析與設(shè)計(jì)期末復(fù)習(xí)題一、 選擇題1.應(yīng)用Johnson法則的流水作業(yè)調(diào)度采用的算法是（D）A. 貪心算法 B. 分支限界法 C.分治法 D. 動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法2.Hanoi塔問(wèn)題如下圖所示?，F(xiàn)要求將塔座A上的的所有圓盤移到塔座B上，并仍按同樣順序疊置。移動(dòng)圓盤時(shí)遵守Hanoi塔問(wèn)題的移動(dòng)規(guī)則。由此設(shè)計(jì)出解Hanoi塔問(wèn)題的遞歸算法正確的為：（B）A. void hanoi(int n, int A, int C, int B) if (n 0) hanoi(n-1,A,C, B); move(n,a,b); hanoi(n-1, C, B, A); Hanoi塔B. void hanoi(in

2、t n, int A, int B, int C) if (n 0) hanoi(n-1, A, C, B); move(n,a,b); hanoi(n-1, C, B, A); C. void hanoi(int n, int C, int B, int A) if (n 0) hanoi(n-1, A, C, B); move(n,a,b); hanoi(n-1, C, B, A); D. void hanoi(int n, int C, int A, int B) if (n 0) hanoi(n-1, A, C, B); move(n,a,b); hanoi(n-1, C, B, A)

3、; 3. 動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本要素為（C）A. 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)與貪心選擇性質(zhì)B重疊子問(wèn)題性質(zhì)與貪心選擇性質(zhì)C最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)與重疊子問(wèn)題性質(zhì)D. 預(yù)排序與遞歸調(diào)用4. 算法分析中，記號(hào)O表示（B）， 記號(hào)表示（A）， 記號(hào)表示（D）。A.漸進(jìn)下界B.漸進(jìn)上界C.非緊上界D.緊漸進(jìn)界E.非緊下界 5. 以下關(guān)于漸進(jìn)記號(hào)的性質(zhì)是正確的有：（A）A.B. C. O(f(n)+O(g(n) = O(minf(n),g(n) D. 6. 能采用貪心算法求最優(yōu)解的問(wèn)題，一般具有的重要性質(zhì)為：（A）A. 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)與貪心選擇性質(zhì)B重疊子問(wèn)題性質(zhì)與貪心選擇性質(zhì)C最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)與重疊子問(wèn)題性質(zhì)D. 預(yù)排序與遞歸

4、調(diào)用7. 回溯法在問(wèn)題的解空間樹中，按（D）策略，從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)搜索解空間樹。A 廣度優(yōu)先 B. 活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先 C.擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)優(yōu)先 D. 深度優(yōu)先8. 分支限界法在問(wèn)題的解空間樹中，按（A）策略，從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)搜索解空間樹。 A 廣度優(yōu)先 B. 活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先 C.擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)優(yōu)先 D. 深度優(yōu)先9. 程序塊（A）是回溯法中遍歷排列樹的算法框架程序。void backtrack (int t) if (tn) output(x); else for (int i=t;in) output(x); else for (int i=0;in) output(x); else for (int i=0;in) ou

5、tput(x); else for (int i=t;i0，存在正數(shù)和n0 0使得對(duì)所有nn0有：0 f(n)0，存在正數(shù)和n0 0使得對(duì)所有nn0有：0 cg(n) 0，存在正數(shù)和n0 0使得對(duì)所有nn0有：0 f(n)0，存在正數(shù)和n0 0使得對(duì)所有nn0有：0 cg(n) f(n) ；二、 填空題1. 下面程序段的所需要的計(jì)算時(shí)間為（ ）。int MaxSum(int n, int *a, int &besti, int &bestj)int sum=0;for(int i=1;i=n;i+) int thissum=0;for(int j=i;jsum)sum=thissum;best

6、i=i;bestj=j;return sum;2. 有11個(gè)待安排的活動(dòng)，它們具有下表所示的開始時(shí)間與結(jié)束時(shí)間，如果以貪心算法求解這些活動(dòng)的最優(yōu)安排（即為活動(dòng)安排問(wèn)題：在所給的活動(dòng)集合中選出最大的相容活動(dòng)子集合），得到的最大相容活動(dòng)子集合為活動(dòng)（ 1，4，8，11 ）。1413121110987654fi122886535031Si1110987654321i3. 所謂貪心選擇性質(zhì)是指（所求問(wèn)題的整體最優(yōu)解可以通過(guò)一系列局部最優(yōu)的選擇，即貪心選擇來(lái)達(dá)到）。4. 所謂最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)是指（問(wèn)題的最優(yōu)解包含了其子問(wèn)題的最優(yōu)解）。5. 回溯法是回溯法是指（具有限界函數(shù)的深度優(yōu)先生成法）。6. 用回溯法

7、解題的一個(gè)顯著特征是在搜索過(guò)程中動(dòng)態(tài)產(chǎn)生問(wèn)題的解空間。在任何時(shí)刻，算法只保存從根結(jié)點(diǎn)到當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的路徑。如果解空間樹 中從根結(jié)點(diǎn)到葉結(jié)點(diǎn)的最長(zhǎng)路徑的長(zhǎng)度為h(n)，則回溯法所需的計(jì)算空間通常為（O(h(n)）。7. 回溯法的算法框架按照問(wèn)題的解空間一般分為（子集樹）算法框架與（排列樹）算法框架。8. 用回溯法解0/1背包問(wèn)題時(shí)，該問(wèn)題的解空間結(jié)構(gòu)為（子集樹）結(jié)構(gòu)。9.用回溯法解批處理作業(yè)調(diào)度問(wèn)題時(shí)，該問(wèn)題的解空間結(jié)構(gòu)為（排列樹）結(jié)構(gòu)。10.用回溯法解0/1背包問(wèn)題時(shí)，計(jì)算結(jié)點(diǎn)的上界的函數(shù)如下所示，請(qǐng)?jiān)诳崭裰刑钊牒线m的內(nèi)容：Typep Knap:Bound(int i)/ 計(jì)算上界 Typew

8、 cleft = c - cw; / 剩余容量 Typep b = cp; / 結(jié)點(diǎn)的上界 / 以物品單位重量?jī)r(jià)值遞減序裝入物品 while (i = n & wi = cleft) cleft -= wi; b += pi; i+; / 裝滿背包 if (i = n) （b += pi/wi * cleft）; return b;11. 用回溯法解布線問(wèn)題時(shí)，求最優(yōu)解的主要程序段如下。如果布線區(qū)域劃分為的方格陣列，擴(kuò)展每個(gè)結(jié)點(diǎn)需O(1)的時(shí)間，L為最短布線路徑的長(zhǎng)度，則算法共耗時(shí) ( O(mn) )，構(gòu)造相應(yīng)的最短距離需要（O(L)）時(shí)間。for (int i = 0; i NumOfNbr

9、s; i+) nbr.row = here.row + offseti.row; nbr.col = here.col + offseti.col; if (gridnbr.rownbr.col = 0) / 該方格未標(biāo)記 gridnbr.rownbr.col = gridhere.rowhere.col + 1; if (nbr.row = finish.row) & (nbr.col = finish.col) break; / 完成布線 Q.Add(nbr); 12. 用回溯法解圖的m著色問(wèn)題時(shí)，使用下面的函數(shù)OK檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)兒子所相應(yīng)的顏色的可用性，則需耗時(shí)（漸進(jìn)時(shí)間上限）

10、（O（mn）。Bool Color:OK(int k)/ for(int j=1;j=n;j+)if(akj= =1)&(xj= =xk) return false;return true;13. 旅行售貨員問(wèn)題的解空間樹是（排列樹）。6.7.三、 證明題1. 一個(gè)分治法將規(guī)模為n的問(wèn)題分成k個(gè)規(guī)模為nm的子問(wèn)題去解。設(shè)分解閥值n0=1，且adhoc解規(guī)模為1的問(wèn)題耗費(fèi)1個(gè)單位時(shí)間。再設(shè)將原問(wèn)題分解為k個(gè)子問(wèn)題以及用merge將k個(gè)子問(wèn)題的解合并為原問(wèn)題的解需用f(n)個(gè)單位時(shí)間。用T(n)表示該分治法解規(guī)模為|P|=n的問(wèn)題所需的計(jì)算時(shí)間，則有：通過(guò)迭代法求得T（n）的顯式表達(dá)式為：試證明T

11、（n）的顯式表達(dá)式的正確性。2. 舉反例證明0/1背包問(wèn)題若使用的算法是按照pi/wi的非遞減次序考慮選擇的物品，即只要正在被考慮的物品裝得進(jìn)就裝入背包，則此方法不一定能得到最優(yōu)解（此題說(shuō)明0/1背包問(wèn)題與背包問(wèn)題的不同）。證明：舉例如：p=7,4,4,w=3,2,2,c=4時(shí)，由于7/3最大，若按題目要求的方法，只能取第一個(gè)，收益是7。而此實(shí)例的最大的收益應(yīng)該是8，取第2，3 個(gè)。3. 求證：O(f(n)+O(g(n) = O(maxf(n),g(n) 。證明：對(duì)于任意f1(n) O(f(n) ，存在正常數(shù)c1和自然數(shù)n1，使得對(duì)所有nn1，有f1(n) c1f(n) 。類似地，對(duì)于任意g1

12、(n) O(g(n) ，存在正常數(shù)c2和自然數(shù)n2，使得對(duì)所有nn2，有g(shù)1(n) c2g(n) 。令c3=maxc1, c2， n3 =maxn1, n2，h(n)= maxf(n),g(n) 。則對(duì)所有的 n n3，有f1(n) +g1(n) c1f(n) + c2g(n) c3f(n) + c3g(n)= c3(f(n) + g(n) c32 maxf(n),g(n) = 2c3h(n) = O(maxf(n),g(n) .4. 求證最優(yōu)裝載問(wèn)題具有貪心選擇性質(zhì)。（最優(yōu)裝載問(wèn)題：有一批集裝箱要裝上一艘載重量為c的輪船。其中集裝箱i的重量為Wi。最優(yōu)裝載問(wèn)題要求確定在裝載體積不受限制的情況

13、下，將盡可能多的集裝箱裝上輪船。設(shè)集裝箱已依其重量從小到大排序，(x1,x2,xn)是最優(yōu)裝載問(wèn)題的一個(gè)最優(yōu)解。又設(shè) 。如果給定的最優(yōu)裝載問(wèn)題有解，則有。） 證明：四、 解答題1. 機(jī)器調(diào)度問(wèn)題。問(wèn)題描述：現(xiàn)在有n件任務(wù)和無(wú)限多臺(tái)的機(jī)器，任務(wù)可以在機(jī)器上得到處理。每件任務(wù)的開始時(shí)間為si，完成時(shí)間為fi，si n) / 到達(dá)葉結(jié)點(diǎn) 更新最優(yōu)解bestx,bestw;return; r -= wi; if (cw + wi bestw) xi = 0; / 搜索右子樹 backtrack(i + 1); r += wi; 5. 用分支限界法解裝載問(wèn)題時(shí)，對(duì)算法進(jìn)行了一些改進(jìn)，下面的程序段給出了改

14、進(jìn)部分；試說(shuō)明斜線部分完成什么功能，以及這樣做的原因，即采用這樣的方式，算法在執(zhí)行上有什么不同。/ 檢查左兒子結(jié)點(diǎn) Type wt = Ew + wi; / 左兒子結(jié)點(diǎn)的重量 if (wt bestw) bestw = wt; / 加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列 if (i bestw & i 0 故Ew+rbestw總是成立。也就是說(shuō)，此時(shí)右子樹測(cè)試不起作用。為了使上述右子樹測(cè)試盡早生效，應(yīng)提早更新bestw。又知算法最終找到的最優(yōu)值是所求問(wèn)題的子集樹中所有可行結(jié)點(diǎn)相應(yīng)重量的最大值。而結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)得重量?jī)H在搜索進(jìn)入左子樹是增加，因此，可以在算法每一次進(jìn)入左子樹時(shí)更新bestw的值。7. 最長(zhǎng)公共子序列問(wèn)題：給

15、定2個(gè)序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn，找出X和Y的最長(zhǎng)公共子序列。 由最長(zhǎng)公共子序列問(wèn)題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)建立子問(wèn)題最優(yōu)值的遞歸關(guān)系。用cij記錄序列Xi和Yj的最長(zhǎng)公共子序列的長(zhǎng)度。其中， Xi=x1,x2,xi；Yj=y1,y2,yj。當(dāng)i=0或j=0時(shí)，空序列是Xi和Yj的最長(zhǎng)公共子序列。故此時(shí)Cij=0。其它情況下，由最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)可建立遞歸關(guān)系如下：在程序中，bij記錄Cij的值是由哪一個(gè)子問(wèn)題的解得到的。（1） 請(qǐng)?zhí)顚懗绦蛑械目崭?，以使函?shù)LCSLength完成計(jì)算最優(yōu)值的功能。void LCSLength(int m，int n，char *x，char *y，in

16、t *c，int *b) int i，j; for (i = 1; i = m; i+) ci0 = 0; for (i = 1; i = n; i+) c0i = 0; for (i = 1; i = m; i+) for (j = 1; j =cij-1) cij=ci-1j; bij=2; else cij=cij-1; bij=3; （2） 函數(shù)LCS實(shí)現(xiàn)根據(jù)b的內(nèi)容打印出Xi和Yj的最長(zhǎng)公共子序列。請(qǐng)?zhí)顚懗绦蛑械目崭?，以使函?shù)LCS完成構(gòu)造最長(zhǎng)公共子序列的功能（請(qǐng)將bij的取值與（1）中您填寫的取值對(duì)應(yīng)，否則視為錯(cuò)誤）。void LCS(int i，int j，char *x，int

17、 *b) if (i =0 | j=0) return; if (bij= 1) LCS(i-1，j-1，x，b); cout0 ) printf(%dn ,k); f(k-1); f(k-1); 一、填空題（20分）1.一個(gè)算法就是一個(gè)有窮規(guī)則的集合，其中之規(guī)則規(guī)定了解決某一特殊類型問(wèn)題的一系列運(yùn)算，此外，算法還應(yīng)具有以下五個(gè)重要特性:_,_,_,_,_。2.算法的復(fù)雜性有_和_之分，衡量一個(gè)算法好壞的標(biāo)準(zhǔn)是_。3.某一問(wèn)題可用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法求解的顯著特征是_。4.若序列X=B,C,A,D,B,C,D，Y=A,C,B,A,B,D,C,D，請(qǐng)給出序列X和Y的一個(gè)最長(zhǎng)公共子序列_。5.用回溯法解問(wèn)

18、題時(shí)，應(yīng)明確定義問(wèn)題的解空間，問(wèn)題的解空間至少應(yīng)包含_。 6.動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本思想是將待求解問(wèn)題分解成若干_，先求解_，然后從這些_的解得到原問(wèn)題的解。7.以深度優(yōu)先方式系統(tǒng)搜索問(wèn)題解的算法稱為_。8.0-1背包問(wèn)題的回溯算法所需的計(jì)算時(shí)間為_,用動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法所需的計(jì)算時(shí)間為_。9.動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的兩個(gè)基本要素是_和_。10.二分搜索算法是利用_實(shí)現(xiàn)的算法。二、綜合題（50分）1.寫出設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的主要步驟。2.流水作業(yè)調(diào)度問(wèn)題的johnson算法的思想。3.若n=4，在機(jī)器M1和M2上加工作業(yè)i所需的時(shí)間分別為ai和bi，且(a1,a2,a3,a4)=(4,5,12,10)，(b1,b2

19、,b3,b4)=(8,2,15,9)求4個(gè)作業(yè)的最優(yōu)調(diào)度方案，并計(jì)算最優(yōu)值。4.使用回溯法解0/1背包問(wèn)題：n=3，C=9，V=6,10,3，W=3,4,4,其解空間有長(zhǎng)度為3的0-1向量組成，要求用一棵完全二叉樹表示其解空間（從根出發(fā)，左1右0），并畫出其解空間樹，計(jì)算其最優(yōu)值及最優(yōu)解。5.設(shè)S=X1，X2，Xn是嚴(yán)格遞增的有序集，利用二叉樹的結(jié)點(diǎn)來(lái)存儲(chǔ)S中的元素，在表示S的二叉搜索樹中搜索一個(gè)元素X，返回的結(jié)果有兩種情形，（1）在二叉搜索樹的內(nèi)結(jié)點(diǎn)中找到X=Xi，其概率為bi。（2）在二叉搜索樹的葉結(jié)點(diǎn)中確定X（Xi，Xi+1），其概率為ai。在表示S的二叉搜索樹T中，設(shè)存儲(chǔ)元素Xi的結(jié)點(diǎn)

20、深度為Ci；葉結(jié)點(diǎn)（Xi，Xi+1）的結(jié)點(diǎn)深度為di，則二叉搜索樹T的平均路長(zhǎng)p為多少？假設(shè)二叉搜索樹Tij=Xi，Xi+1，Xj最優(yōu)值為mij，Wij= ai-1+bi+bj+aj，則mij(1=i=j=n)遞歸關(guān)系表達(dá)式為什么？6.描述0-1背包問(wèn)題。三、簡(jiǎn)答題（30分）1.流水作業(yè)調(diào)度中，已知有n個(gè)作業(yè)，機(jī)器M1和M2上加工作業(yè)i所需的時(shí)間分別為ai和bi，請(qǐng)寫出流水作業(yè)調(diào)度問(wèn)題的johnson法則中對(duì)ai和bi的排序算法。（函數(shù)名可寫為sort(s,n)）2.最優(yōu)二叉搜索樹問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法（設(shè)函數(shù)名binarysearchtree)）答案：一、填空1確定性 有窮性 可行性 0個(gè)或多個(gè)

21、輸入 一個(gè)或多個(gè)輸出2.時(shí)間復(fù)雜性 空間復(fù)雜性 時(shí)間復(fù)雜度高低 3. 該問(wèn)題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì) 4.BABCD或CABCD或CADCD 5.一個(gè)（最優(yōu)）解 6.子問(wèn)題 子問(wèn)題 子問(wèn)題 7.回溯法 8. o(n*2n) o(minnc,2n)9.最優(yōu)子結(jié)構(gòu) 重疊子問(wèn)題10.動(dòng)態(tài)規(guī)劃法二、綜合題1.問(wèn)題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)；構(gòu)造最優(yōu)值的遞歸關(guān)系表達(dá)式； 最優(yōu)值的算法描述；構(gòu)造最優(yōu)解；2. 令N1=i|ai=bi；將N1中作業(yè)按ai的非減序排序得到N1，將N2中作業(yè)按bi的非增序排序得到N2；N1中作業(yè)接N2中作業(yè)就構(gòu)成了滿足Johnson法則的最優(yōu)調(diào)度。3.步驟為：N1=1，3，N2=2，4；N1=

22、1，3， N2=4，2；最優(yōu)值為：384.解空間為(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)。解空間樹為：ABCFEDGKJIHONML11100001011010該問(wèn)題的最優(yōu)值為：16 最優(yōu)解為：（1，1，0）5.二叉樹T的平均路長(zhǎng)P=+ mij=Wij+minmik+mk+1j (1=i=jj)6.已知一個(gè)背包的容量為C，有n件物品，物品i的重量為Wi，價(jià)值為Vi，求應(yīng)如何選擇裝入背包中的物品，使得裝入背包中物品的總價(jià)值最大。三、簡(jiǎn)答題1.void sort(flowjope s,int n) int i,

23、k,j,l; for(i=1;i=n-1;i+)/-選擇排序 k=i; while(kn) break;/-沒(méi)有ai，跳出 else for(j=k+1;jsj.a) k=j; swap(si.index,sk.index); swap(si.tag,sk.tag); l=i;/-記下當(dāng)前第一個(gè)bi的下標(biāo) for(i=l;i=n-1;i+) k=i; for(j=k+1;j=n;j+) if(sk.bsj.b) k=j; swap(si.index,sk.index); /-只移動(dòng)index和tag swap(si.tag,sk.tag); 2.void binarysearchtree(in

24、t a,int b,int n,int *m,int *s,int *w) int i,j,k,t,l; for(i=1;i=n+1;i+) wii-1=ai-1; mii-1=0; for(l=0;l=n-1;l+)/-l是下標(biāo)j-i的差for(i=1;i=n-l;i+) j=i+l;wij=wij-1+aj+bj;mij=mii-1+mi+1j+wij;sij=i;for(k=i+1;k=j;k+) t=mik-1+mk+1j+wij;if(tmij) mij=t;sij=k;一、 填空題（本題15分，每小題1分）1、 算法就是一組有窮的 ，它們規(guī)定了解決某一特定類型問(wèn)題的 。2、 在進(jìn)行

25、問(wèn)題的計(jì)算復(fù)雜性分析之前，首先必須建立求解問(wèn)題所用的計(jì)算模型。3個(gè)基本計(jì)算模型是 、 、 。3、 算法的復(fù)雜性是 的度量，是評(píng)價(jià)算法優(yōu)劣的重要依據(jù)。4、 計(jì)算機(jī)的資源最重要的是 和 資源。因而，算法的復(fù)雜性有 和 之分。5、 f(n)= 62n+n2，f(n)的漸進(jìn)性態(tài)f(n)= O( )6、 貪心算法總是做出在當(dāng)前看來(lái) 的選擇。也就是說(shuō)貪心算法并不從整體最優(yōu)考慮，它所做出的選擇只是在某種意義上的 。7、 許多可以用貪心算法求解的問(wèn)題一般具有2個(gè)重要的性質(zhì)： 性質(zhì)和 性質(zhì)。二、簡(jiǎn)答題（本題25分，每小題5分）1、 簡(jiǎn)單描述分治法的基本思想。2、 簡(jiǎn)述動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法所運(yùn)用的最優(yōu)化原理。3、 何謂最

26、優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)？4、 簡(jiǎn)單描述回溯法基本思想。5、 何謂P、NP、NPC問(wèn)題三、算法填空（本題20分，每小題5分）1、n后問(wèn)題回溯算法(1)用二維數(shù)組ANN存儲(chǔ)皇后位置,若第i行第j列放有皇后,則Aij為非0值,否則值為0。(2)分別用一維數(shù)組MN、L2*N-1、R2*N-1表示豎列、左斜線、右斜線是否放有棋子，有則值為1,否則值為0。for(j=0;j=0;r-) /自底向上遞歸計(jì)算for(c=0; 1 ;c+) if( tr+1ctr+1c+1) 2 ；else 3 ；3、Hanoi算法Hanoi(n,a,b,c)if （n=1） 1 ；else 2 ； 3 ；Hanoi(n-1,b, a,

27、 c);4、Dijkstra算法求單源最短路徑du:s到u的距離 pu:記錄前一節(jié)點(diǎn)信息Init-single-source(G,s)for each vertex vVG do dv=; 1 ds=0Relax(u,v,w)if dvdu+w(u,v)then dv=du+wu,v; 2 dijkstra(G,w,s)1. Init-single-source(G,s) 2. S= 3. Q=VG4.while Q do u=min(Q) S=Su for each vertex 3 do 4 四、算法理解題（本題10分）根據(jù)優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法，求下圖中從v1點(diǎn)到v9點(diǎn)的單源最短路徑，請(qǐng)畫

28、出求得最優(yōu)解的解空間樹。要求中間被舍棄的結(jié)點(diǎn)用標(biāo)記，獲得中間解的結(jié)點(diǎn)用單圓圈框起，最優(yōu)解用雙圓圈框起。五、算法理解題（本題5分）設(shè)有n=2k個(gè)運(yùn)動(dòng)員要進(jìn)行循環(huán)賽，現(xiàn)設(shè)計(jì)一個(gè)滿足以下要求的比賽日程表：每個(gè)選手必須與其他n-1名選手比賽各一次；每個(gè)選手一天至多只能賽一次；循環(huán)賽要在最短時(shí)間內(nèi)完成。（1）如果n=2k，循環(huán)賽最少需要進(jìn)行幾天；（2）當(dāng)n=23=8時(shí)，請(qǐng)畫出循環(huán)賽日程表。六、算法設(shè)計(jì)題（本題15分）分別用貪心算法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法、回溯法設(shè)計(jì)0-1背包問(wèn)題。要求：說(shuō)明所使用的算法策略；寫出算法實(shí)現(xiàn)的主要步驟；分析算法的時(shí)間。七、算法設(shè)計(jì)題（本題10分）通過(guò)鍵盤輸入一個(gè)高精度的正整數(shù)n(n的有

29、效位數(shù)240)，去掉其中任意s個(gè)數(shù)字后，剩下的數(shù)字按原左右次序?qū)⒔M成一個(gè)新的正整數(shù)。編程對(duì)給定的n 和s，尋找一種方案，使得剩下的數(shù)字組成的新數(shù)最小?！緲永斎搿?78543S=4【樣例輸出】13一、填空題（本題15分，每小題1分）1規(guī)則 一系列運(yùn)算2. 隨機(jī)存取機(jī)RAM(Random Access Machine)；隨機(jī)存取存儲(chǔ)程序機(jī)RASP(Random Access Stored Program Machine)；圖靈機(jī)(Turing Machine)3. 算法效率4. 時(shí)間、空間、時(shí)間復(fù)雜度、空間復(fù)雜度52n6最好 局部最優(yōu)選擇7. 貪心選擇 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)二、簡(jiǎn)答題（本題25分，每小題5

30、分）6、 分治法的基本思想是將一個(gè)規(guī)模為n的問(wèn)題分解為k個(gè)規(guī)模較小的子問(wèn)題，這些子問(wèn)題互相獨(dú)立且與原問(wèn)題相同；對(duì)這k個(gè)子問(wèn)題分別求解。如果子問(wèn)題的規(guī)模仍然不夠小，則再劃分為k個(gè)子問(wèn)題，如此遞歸的進(jìn)行下去，直到問(wèn)題規(guī)模足夠小，很容易求出其解為止；將求出的小規(guī)模的問(wèn)題的解合并為一個(gè)更大規(guī)模的問(wèn)題的解，自底向上逐步求出原來(lái)問(wèn)題的解。7、 “最優(yōu)化原理”用數(shù)學(xué)化的語(yǔ)言來(lái)描述：假設(shè)為了解決某一優(yōu)化問(wèn)題，需要依次作出n個(gè)決策D1，D2，Dn，如若這個(gè)決策序列是最優(yōu)的，對(duì)于任何一個(gè)整數(shù)k，1 k n，不論前面k個(gè)決策是怎樣的，以后的最優(yōu)決策只取決于由前面決策所確定的當(dāng)前狀態(tài)，即以后的決策Dk+1，Dk+2，

31、Dn也是最優(yōu)的。8、 某個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解包含著其子問(wèn)題的最優(yōu)解。這種性質(zhì)稱為最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。9、 回溯法的基本思想是在一棵含有問(wèn)題全部可能解的狀態(tài)空間樹上進(jìn)行深度優(yōu)先搜索，解為葉子結(jié)點(diǎn)。搜索過(guò)程中，每到達(dá)一個(gè)結(jié)點(diǎn)時(shí)，則判斷該結(jié)點(diǎn)為根的子樹是否含有問(wèn)題的解，如果可以確定該子樹中不含有問(wèn)題的解，則放棄對(duì)該子樹的搜索，退回到上層父結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)下一步深度優(yōu)先搜索過(guò)程。在回溯法中，并不是先構(gòu)造出整棵狀態(tài)空間樹，再進(jìn)行搜索，而是在搜索過(guò)程，逐步構(gòu)造出狀態(tài)空間樹，即邊搜索，邊構(gòu)造。10、 P(Polynomial問(wèn)題)：也即是多項(xiàng)式復(fù)雜程度的問(wèn)題。NP就是Non-deterministicPolynomial的

32、問(wèn)題，也即是多項(xiàng)式復(fù)雜程度的非確定性問(wèn)題。NPC(NP Complete)問(wèn)題，這種問(wèn)題只有把解域里面的所有可能都窮舉了之后才能得出答案，這樣的問(wèn)題是NP里面最難的問(wèn)題，這種問(wèn)題就是NPC問(wèn)題。三、算法填空（本題20分，每小題5分）1、n后問(wèn)題回溯算法(1) !Mj&!Li+j&!Ri-j+N(2) Mj=Li+j=Ri-j+N=1;(3) try(i+1,M,L,R,A) (4) Aij=0 (5) Mj=Li+j=Ri-j+N=02、數(shù)塔問(wèn)題。（1）c=r(2)trc+=tr+1c（3）trc+=tr+1c+13、Hanoi算法（1）move(a,c)（2）Hanoi(n-1, a, c

33、, b)（3）Move(a,c)4、（1）pv=NIL（2）pv=u(3) vadju（4）Relax(u,v,w)四、算法理解題（本題10分）1 2 3 4 5 6 7 82 1 4 3 6 5 8 73 4 1 2 7 8 5 64 3 2 1 8 7 6 55 6 7 8 1 2 3 46 5 8 7 2 1 4 37 8 5 6 3 4 1 28 7 6 5 4 3 2 1五、（1）8天（2分）；（2）當(dāng)n=23=8時(shí)，循環(huán)賽日程表（3分）。六、算法設(shè)計(jì)題（本題15分）（1）貪心算法 O（nlog（n） 首先計(jì)算每種物品單位重量的價(jià)值Vi/Wi，然后，依貪心選擇策略，將盡可能多的單位重

34、量?jī)r(jià)值最高的物品裝入背包。若將這種物品全部裝入背包后，背包內(nèi)的物品總重量未超過(guò)C，則選擇單位重量?jī)r(jià)值次高的物品并盡可能多地裝入背包。依此策略一直地進(jìn)行下去，直到背包裝滿為止。 具體算法可描述如下：void Knapsack(int n,float M,float v,float w,float x)Sort(n,v,w);int i;for (i=1;i=n;i+) xi=0;float c=M;for (i=1;ic) break;xi=1;c-=wi;if (i=n) xi=c/wi;（2）動(dòng)態(tài)規(guī)劃法 O(nc)m(i，j)是背包容量為j，可選擇物品為i，i+1，n時(shí)0-1背包問(wèn)題的最優(yōu)值

35、。由0-1背包問(wèn)題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，可以建立計(jì)算m(i，j)的遞歸式如下。void KnapSack(int v,int w,int c,int n,int m11)int jMax=min(wn-1,c);for (j=0;j=jMax;j+) /*m(n,j)=0 0=jwn*/mnj=0;for (j=wn;j=wn*/mnj=vn;for (i=n-1;i1;i-) int jMax=min(wi-1,c);for (j=0;j=jMax;j+) /*m(i,j)=m(i+1,j) 0=jwi*/ mij=mi+1j;for (j=wi;j=wn*/ mij=max(mi+1j,mi+

36、1j-wi+vi);m1c=m2c;if(c=w1)m1c=max(m1c,m2c-w1+v1);（3）回溯法 O(2n)cw:當(dāng)前重量 cp:當(dāng)前價(jià)值 bestp：當(dāng)前最優(yōu)值voidbacktrack(inti) /回溯法 i初值1if(in) /到達(dá)葉結(jié)點(diǎn) bestp=cp; return; if(cw+wibestp) /搜索右子樹 backtrack(i+1); 七、算法設(shè)計(jì)題（本題10分）為了盡可能地逼近目標(biāo)，我們選取的貪心策略為：每一步總是選擇一個(gè)使剩下的數(shù)最小的數(shù)字刪去，即按高位到低位的順序搜索，若各位數(shù)字遞增，則刪除最后一個(gè)數(shù)字，否則刪除第一個(gè)遞減區(qū)間的首字符。然后回到串首，按上述規(guī)則再刪除下一個(gè)數(shù)字。重復(fù)以上過(guò)程s次，剩下的數(shù)字串便是問(wèn)題的解了。具體算法如下：輸入s, n;while（ s 0 ） i=1; /從串首開始找while (i length(n) & (ni1)& (n1=0) delete(n,1,1); /刪去串首可能產(chǎn)生的無(wú)用零輸出n;