生產(chǎn)線軸類零件上下料機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)
生產(chǎn)線軸類零件上下料機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì),生產(chǎn)線軸類零件上下料機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì),生產(chǎn),出產(chǎn),線軸,零件,上下,機(jī)構(gòu),設(shè)計(jì)
離散應(yīng)用數(shù)學(xué)
離散應(yīng)用數(shù)學(xué)98(1999) 121-130
最小化模式下料問題
科林麥克迪爾米德
統(tǒng)計(jì)部門，牛津大學(xué)，南公園路一號(hào)，牛津大學(xué)OX1 3TG，英國(guó)收稿于1997年10月21日，接受于1999年2月8日
摘 要
在切割存量模式最小化問題，我們希望，以滿足盡可能少巨型卷軸卷軸切割各種客戶的需求，并進(jìn)一步減少使用不同的切削模式的數(shù)量。我們專注于特殊情況，其中任何兩個(gè)客戶卷軸到一個(gè)巨型合適，但沒有三事：這個(gè)案件的興趣，部分是因?yàn)樗亲詈?jiǎn)單的情況是不平凡的，部分是因?yàn)樗趯?shí)踐中可能會(huì)出現(xiàn)當(dāng)一個(gè)嘗試一個(gè)解決方案，以改善迭代。
我們發(fā)現(xiàn)，該模式最小化問題是強(qiáng)NP難的，即使在這種特殊情況下，當(dāng)inding最低廢液的基本問題是微不足道的。我們的分析主要論點(diǎn)集中在'均衡'的子集，并提出了涉及亞均衡的啟發(fā)式搜索方法的方法。 ? 1999 Elsevier科學(xué)BV公司保留所有權(quán)利。
關(guān)鍵詞：下料，切割模式;分區(qū); NP難;動(dòng)態(tài)規(guī)劃
1 簡(jiǎn)介
有些材料如紙，可制造性'巨無霸'卷，這是后來成為更窄輥切，以滿足客戶的需求。為了減少浪費(fèi)，應(yīng)選擇切割方式，以盡可能少的使用客機(jī)（見[4,7,8]）。
因此，下料問??題已基本輸入一個(gè)正整數(shù)j，不同的正整數(shù)r1的,..., Rn和D1的,...,正整數(shù)的DN，以及需要的任務(wù)是，以盡可能客機(jī)的寬度j的數(shù)為滿足客戶的卷筒寬度里迪需求對(duì)每個(gè)i = 1 ,...,，全這是其中的經(jīng)典OR問題之一。它包含了強(qiáng)烈的NP -完全問題三分區(qū)：因此即使巨幅大小J外面有一層氮、多項(xiàng)式滿足每個(gè)客戶的卷軸大小國(guó)際扶輪扶輪J / 4 < < J / 2 -看[6],p。224。因此我們不能指望在合理時(shí)間內(nèi)總是能找到最優(yōu)解等問題的。
每一次不同的客戶卷軸模式是被削減，在切割機(jī)的刀需要重新設(shè)置。甲由Cn中Goulimis并在第29屆歐洲與產(chǎn)業(yè)調(diào)查研究組1996年3月有關(guān)如何找到辦法來解決上述料問題，這進(jìn)一步減少了用于切割不同模式的數(shù)量問題 - 見[1,2,9] 。
一般情況下這當(dāng)然是變得越來越難。為了探討擴(kuò)展問題雪上加霜，我們?cè)谶@里考慮一個(gè)特殊的案件中，盡量減少對(duì)客機(jī)（減少廢物），數(shù)量基本問題是微不足道的。
最小化格局：
輸入：D1的正整數(shù);的DN。
任務(wù)：在切割存量問題，即要求I型迪卷軸是，任何兩個(gè)卷軸到一個(gè)巨型做它，但沒有三，工業(yè)最低廢液，進(jìn)一步減少了使用不同模式的數(shù)量。
這種特殊的情況是非常有限的部分原因是因?yàn)樗坪跏亲詈?jiǎn)單的情況是完全不平凡的，部分是因?yàn)樗赡軙?huì)在實(shí)踐中產(chǎn)生的，當(dāng)一個(gè)一個(gè)解決方案試圖改善迭代的興趣。例如，如果對(duì)目前使用的一些模式集合同意的大型卷軸和difer小卷軸而已，它在任何兩個(gè)小卷軸左邊的大型卷軸的寬度，那么當(dāng)我們?cè)噲D重新分配小我們面臨的正是這種卷軸的特殊情況[16]。我們調(diào)查模式是否最小化問題還很難在這個(gè)特殊的情況，并簡(jiǎn)要考慮辦法找到好的解決辦法。
很明顯，所需要的客機(jī)數(shù)量最少的是我的di / 2]，圓了總需求的一半，它是微不足道的一個(gè)相應(yīng)的最低工業(yè)廢液。但是，它是多么容易躋身工業(yè)廢物最小的解決方案，一個(gè)能最大限度地降低使用的模式的數(shù)量，？對(duì)于這個(gè)問題的變體在沒有三個(gè)客戶卷軸它變成珍寶，但也有一些對(duì)可能不是，它是在[1]表明，問題是強(qiáng)NP -難問題。下面的定理加強(qiáng)這種不利的結(jié)果。
定理1：這個(gè)問題最小化模式是強(qiáng)NP -難問題。
對(duì)上述問題的理解關(guān)鍵是一個(gè)'平衡的一個(gè)子集'的概念。給定一個(gè)家庭d =(d1,dn)的非負(fù)整數(shù),表示x(d)的在任何解決方案中使用最少的廢物模式的最小數(shù)量。還有,另一個(gè)平衡的非空的子集{ 1,n } ,如果它能夠被分割成兩個(gè)集合A和B,t￡A di = 5^ieB di。因此,如果 di = 0然后單獨(dú)設(shè)置{i}是平衡的。讓v(d)是最大的數(shù)字的平衡子集兩兩相互無關(guān)的。
引理1：如果J2i di是偶數(shù),然后x(d)= n - v(d)。
如果i di 是奇數(shù)，令x(d) = i(d'),其中d1從D獲得通過增加一個(gè)額外的統(tǒng)籌的DN +1 = 1。]我們將在下一節(jié)中證明這個(gè)引理。
當(dāng)與一個(gè)模式最小化所面臨的問題，我們領(lǐng)導(dǎo)的定理1和引理1以上考慮啟發(fā)式方法inding亞群平衡的好包裝。不幸的是NP -完全甚至是測(cè)試，如果一個(gè)家庭中的正整數(shù)格a1,...,an有一個(gè)平衡的一個(gè)子集。這就是問題稱為弱分區(qū)是大衛(wèi)約翰遜的NP完全列[10]，其中四分之三的NP完全獨(dú)立的證據(jù)被引用，最早在[13]。
我們希望工業(yè)亞群的平衡好包裝，但我們知道這是很難工業(yè)最佳包裝，的確是很難平衡的工業(yè)任何一個(gè)子集。自然啟發(fā)式的方法是反復(fù)尋找和刪除一個(gè)平衡的一個(gè)子集，最好是小的。其中尋求一個(gè)平衡的一個(gè)子集的方法是使用'diferencing'，這里我們?cè)俅稳〈鋎iference絕對(duì)值兩個(gè)數(shù)字 - 參見[5,12,15,17]。這種方法目前正在調(diào)查中最小的格局[16]中。另一種方法是使用一個(gè)還算快速算法，保證工業(yè)均衡的子集或子集的最小平衡：我們會(huì)看到，我們可以使用一個(gè)簡(jiǎn)單的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來測(cè)試，如果有一個(gè)平衡的子集，均衡和IND一個(gè)最小的子集如果有一個(gè)，在偽多項(xiàng)式時(shí)間。最小的模式啟發(fā)式方法更普遍的情況下在降低庫存的問題被認(rèn)為是[1,2,9,11]。
該論文的其余部分計(jì)劃如下。在下一節(jié)中，我們建立的模式之間的平衡亞群的數(shù)量和包裝的關(guān)系。接下來，我們證明我們的主要結(jié)果，這個(gè)問題最小化模式是強(qiáng)NP -難問題。在此之后，我們認(rèn)為briely如何尋找平衡的子集，并inally我們做一些總結(jié)性發(fā)言。
2 模式，學(xué)位和平衡套
在這一節(jié)中，我們將證明引理1，其中涉及的圖案編號(hào)，包亞群平衡?英格斯。最小化的問題可以改寫格局在圖上。一個(gè)模式，涉及卷軸I型和J型卷筒之間將對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)頂點(diǎn)vi和vj的邊緣。我們將讓我們的圖，包含在任何頂點(diǎn)循環(huán)但不包含多個(gè)邊緣。
給定一個(gè)圖G =（V，E）對(duì)集V = {v1，....，v2}的頂點(diǎn)，連同非負(fù)整數(shù)重量的邊緣E，我們的家庭W時(shí)，頂點(diǎn)加權(quán)第六度過度的重量與我們六邊é事件的總和與任何循環(huán)，計(jì)數(shù)兩次。給定一個(gè)向量d =（d1..... dn）的正整數(shù)，我們呼吁d如果每個(gè)頂點(diǎn)Vi有兩人加權(quán)程度地代表公克WA網(wǎng)絡(luò)?？紤]以下問題。
學(xué)位：
輸入：積極intergers d1…...甚至與dn。
任務(wù)：工業(yè)用盡可能少的邊緣一個(gè)代表網(wǎng)絡(luò)。
給定一個(gè)d組=（d1…... dn）的正整數(shù)，甚至與我二，有一個(gè)度之間的解決方案和模式MINIMI ? SATION這些自然的對(duì)應(yīng)，特別是最小的邊數(shù)前者的可能等于 ×（d）項(xiàng)。
引理1：假設(shè)di是偶數(shù)。
設(shè)G w是任何代表工作，并考慮為G的K個(gè)節(jié)點(diǎn)集K表的組成部分。這當(dāng)然必須有至少k - 1條邊，如果它有這個(gè)數(shù)目，因此是對(duì)K樹，那么三分之二的頂點(diǎn)著色表明，K是平衡的。因此，在G的邊數(shù)至少有n減去若干套組成部分的平衡。因此×（D）Jsn - 的v（d）。
為了證明反向不等式，考慮任何{V1......Vn}（Ki：i € I），其中一個(gè)最不均衡。我們將證明，有代表?怨恨網(wǎng)絡(luò)G，W使得圖G有組件（Gi：I € i）如已設(shè)立文基頂點(diǎn)，這些組件是這樣，如果文是平衡的，然后是一樹基如果沒有則Gi是一加一樹循環(huán)。這將完成該引理的證明。
考慮平衡集K，其中分區(qū)A U S使得YieA= ? igBdi國(guó)際能源署。我們必須表明，有對(duì)T邊緣E對(duì)K和非負(fù)權(quán)重，我們一樹T，使得對(duì)于每一個(gè)節(jié)點(diǎn)v€ K時(shí)，對(duì)事件邊的權(quán)重之和等于的dv（其中雙回路數(shù)）。我們使用\ K|表感應(yīng)。如果A或B是空的，結(jié)果是微不足道的，因?yàn)槲覀儽仨殲槊總€(gè)V€光那假設(shè)A和B都是非空的dv = 0。選擇任何一個(gè)和b€€阿B和不失一般性假設(shè)大^分貝。減少大的分貝。現(xiàn)在K表\ {B}的是平衡的，我們可以感應(yīng)工業(yè)適當(dāng)?shù)募訖?quán)樹。然后加入與體重分貝邊緣抗體。
最后，考慮一個(gè)集K這是不均衡的，但就是這樣，相應(yīng)的要求和是偶數(shù)。如上所述，我們可以隨時(shí)更換了使用成本的一個(gè)邊緣的diference兩個(gè)要求。因此，我們能滿足所有，但一用邊緣形成一個(gè)對(duì)K樹需求，然后添加一個(gè)循環(huán)結(jié)束的組成部分。
3 最小化模式是強(qiáng)NP -難
在本節(jié)中，我們證明定理1，這個(gè)問題最小化模式是強(qiáng)NP -難問題。總結(jié)三（或舒爾三）是三，這樣的兩個(gè)之和等于第三個(gè)不同的整數(shù)集合。下面的問題可以得到更充分的描述，總結(jié)成獨(dú)特的整數(shù)分區(qū)的三倍作為。
總結(jié)三元
輸入：S1…...S3n不同的正整數(shù)。
問：能否輸入三元分割成總結(jié)？
這個(gè)問題類似于數(shù)值匹配與目標(biāo)款項(xiàng)，加里和Johnson [6]，第224，但額外的（令人驚訝的麻煩），條件是涉及的人數(shù)必須是不同的。
引理2：?jiǎn)栴}總結(jié)三元是強(qiáng)NP -完全的。
本節(jié)的大部分將用于證明上述引理，但首先，讓我們看到，它會(huì)產(chǎn)生定理1。
證明定理1（假設(shè)引理2）：
我們給一個(gè)總結(jié)，學(xué)位strightforward三倍，多項(xiàng)式時(shí)間減少?？紤]一個(gè)總結(jié)三元上述實(shí)例。以e =作為學(xué)位實(shí)例（2s1 …...2s3n）。由于硅是不同的正整數(shù)，也有規(guī)模不小于3套平衡。因此，（dHence由引理1，第十章x（d）^ 2n與x（d）為2n =當(dāng)且僅如果s1 …...s3n可分為總結(jié)三倍
現(xiàn)在考慮的問題總結(jié)三倍，這顯然是在NP。我們將證明它是強(qiáng)NP -通過給從NP -完全問題限制X3C減少完成，下述，總結(jié)每個(gè)三元組在O（n3）的。
限制X3C：
輸入：一組第三季度的X元素和一個(gè)三元組集合C在十，這樣每個(gè)X的 元素完全相同3三元載。問：可以劃分為三元X是在C？
引理3： 限制X3C問題是NP完全的。
證明 據(jù)了解，這個(gè)問題是NP完全問題，如果每個(gè)元素被限制在最多3三倍，而不是正好3 - 見加里和Johnson [6]，第221。這是很容易對(duì)注冊(cè)整潔'的實(shí)例X，?使每個(gè)元素恰好是3的三倍。
很明顯，我們能堅(jiān)持，每個(gè)元素在2或3的三倍。我們可以在分區(qū)中的元素正好兩個(gè)三元組分為三個(gè)區(qū)塊的大小。對(duì)于每個(gè)塊{x，Y，Z}，添加新的元素三個(gè)x'，y'，z'及{x，y'，z'}，{x'，y，z'}，{x1， y'，z}，{x1，y，z'}。調(diào)用新的實(shí)例X'，C'的。顯然，每個(gè)X的元素是完全相同三三元在??C';和X可以被劃分在C到三倍，如果有僅當(dāng)X'可以被劃分為三元在C。
引理2： 考慮一個(gè)實(shí)例X，C的限制X3C，其中| X \ = \ = CI=3q。
季度全令Y = X x {1 ,..., 7}。我們將建設(shè)一個(gè)'擴(kuò)大'在Y D的收集，包含三元使得X可分為三元在C分區(qū)，當(dāng)且僅當(dāng)y可劃分為D中三元，接著我們將構(gòu)造一個(gè)實(shí)例（秒（y）的：你們的Y總結(jié)三倍，其中每個(gè)尺寸S（y）的異O（n2），），這樣的總結(jié)恰恰三倍對(duì)應(yīng)的三元組在D
形成一個(gè)二分圖G =（C，X，E）的頂點(diǎn)C部及X和頂點(diǎn)窄隙室和X GX的相鄰（即邊發(fā)射GE）的正是由于當(dāng)x ?噸G中的每個(gè)頂點(diǎn)度是三，我們可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)找到一個(gè)合適的3邊染色：E - {1,2,3}?，F(xiàn)在，我們每個(gè)元素x GX的分割成三份（x，1），（x，2）和（x，3）。鑒于一特里普爾T = {x，y，z}氣相色譜，令T'是三重
T= {（x，at+bt= | Ct|。
5 結(jié)束語
我們已經(jīng)看到，即使是在削減庫存問題非常有限的情況下，它是強(qiáng)NP -難，盡量減少使用不同模式的數(shù)量，因此，我們不能期望能夠解決偽多項(xiàng)式時(shí)間等問題，即使。關(guān)鍵的概念，是一個(gè)平衡的子集，我們被帶往亞群平衡的考慮包裝啟發(fā)式，從而考慮尋求這種子集NP難問題。
6 如需進(jìn)一步閱讀
以下參考，也是讀者所關(guān)心的：[14]。
致 謝
我非常感謝其他參與在紅外警戒中討論的研究組成員。
參考文獻(xiàn)
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