《《導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算》PPT課件》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算》PPT課件（29頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、1 2-2 導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算一 、 基 本 初 等 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù)二 、 導(dǎo) 數(shù) 的 四 則 運(yùn) 算 法 則四 、 復(fù) 合 函 數(shù) 求 導(dǎo) 法 則 第 二 章 導(dǎo) 數(shù) 與 微 分三 、 反 函 數(shù) 的 求 導(dǎo) 法 則五 、 隱 函 數(shù) 求 導(dǎo) 法 則六 、 高 階 導(dǎo) 數(shù) 2 ;0C ,cos)(sin xx ,cos1sec)(tan 22 xxx 導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算一 、 基 本 初 等 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) (公 式 ),)( 1 xx )0( ;sin)(cos xx ; sin1csc)(cot 22 xxx ,tansec)(sec xxx ;cotcsc)(csc xxx ,
2、)( xx ee ;ln)( aaa xx ,1)(ln xx ;ln1)(log axxa 3 ,1 1)(arcsin 2xx ,1 1)(arctan 2xx 導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算 ;1 1)(arctan 2xx ;1 1)(arccos 2xx 注 用 定 義 證 明 ： ,Cy ,xy ,sin xy ,cos xy 的 導(dǎo) 數(shù) ，xy alog 其 余 用 求 導(dǎo) 法 證 即 可 . 4 導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算二 、 導(dǎo) 數(shù) 的 四 則 運(yùn) 算 法 則定 理 ： )()()1( xvxu );()( xvxu )()()2( xvxu );()()()( xvxuxvxu )( )()
3、()()( 2 xv xvxuxvxu 則處 可 導(dǎo)在 點(diǎn)設(shè) ,)(),( xxvxu 21 nuuu ;21 nuuu nnnn uuuuuuuuuuuu 21212121 )( )()3( xv xu )0)( xv特 別 地 ， )( )(1)(1 2 xv xvxv )(1 xv )( )(2 xv xv 5 ,ln753 2 xxxxy 設(shè) 例 ：導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算 .y求解 ： )ln(7)5()3( 2 xxxxy )(lnln)(01523 xxxxx xxxxx 1ln12156 .2 2ln56 xxx 6 .tan 的 導(dǎo) 數(shù)求 xy 例 ：導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算解 ： )c
4、ossin( xxy x xxxx 2cos )(cossincos)(sin x xx 2 22cos sincos x2cos1 .sec2 x同 理 可 得 ： xxx 22 cscsin1)(cot xxxx tansec)cos1()(sec xxxx cotcsc)sin1()(csc 7 定 理 ,0)( xf 在 某 開(kāi) 區(qū) 間 單 調(diào) 可 導(dǎo) ，設(shè) )(xfy 導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算 且即 ：三 、 反 函 數(shù) 的 求 導(dǎo) 法 則 在 對(duì) 應(yīng) 區(qū) 間 也則 它 的 反 函 數(shù) )(1 yfx 單 調(diào) 可 導(dǎo) ， 且 )(1)( 1 xfyf 或dxdydydx 1 )( 1)(
5、1 yfxf.dd1dd yxxy 或注 直 接 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 與 反 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 互 為 倒 數(shù) 8 .lim0 yxy 導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算證 法 分 析 ： dydxyf )( 1 .lim0 xyx dxdyxf )(要 證 yxy 0lim xy x 0lim1 xyx 1lim0即 證 ;00 xy 時(shí) ，當(dāng) ;00 xy 時(shí) ，當(dāng) 9 證 明 ： 在 某 開(kāi) 區(qū) 間 單 調(diào) 連 續(xù) ，因 )(xfy 導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算 在 對(duì) 應(yīng) 區(qū) 間 單 調(diào) 連 續(xù) ，故 )(1 yfx 因 此 ， ;00 xy 時(shí) ，當(dāng) ;00 xy 時(shí) ，當(dāng)于 是 ， xyyx 1 xy x
6、 1lim0yxy 0lim xyx 0lim1即 ： )(1)( 1 xfyf 或 )( 1)( 1 yfxf 10 例 xay 求 )10( aa 且 的 導(dǎo) 數(shù)導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算 故 ， xay 因 互 為 反 函 數(shù) ，與 yx alogdxaddxdy x )(即解 ： dydx1 dy yd a )(log1)( xa ayln11 ayln .lnaax.ln)( aaa xx 11 例 .arcsin 的 導(dǎo) 數(shù)求 xy 解 ： )1,1(,arcsin xxy因?qū)?數(shù) 的 運(yùn) 算 )2,2(,sin yyx與)(arcsin x yy)(sin1 互 為 反 函 數(shù) .故 y
7、cos1 y2sin1 1 21 1 x 21 1)(arcsin xx 同 理 可 得 ， 21 1)(arccos xx 21 1)(arctan xx 21 1)cot( xxarc 12 1 定 理 ： 點(diǎn) 可 導(dǎo) ，在若 函 數(shù) xxgu )(導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算 xxgfy 在則 復(fù) 合 函 數(shù) )(四 、 復(fù) 合 函 數(shù) 求 導(dǎo) 法 則與 x對(duì) 應(yīng) 的 點(diǎn) u可 導(dǎo) ， 函 數(shù) y=f(u)在點(diǎn) 可 導(dǎo) ， 且 )( xgf )(uf 或即 ： )(xg dxdy dudy dxdu(由 里 向 外 逐 層 求 導(dǎo) )復(fù) 合 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 等 于 外 函 數(shù) 對(duì) 中 間 變
8、量 求 導(dǎo)再 乘 以 中 間 變 量 對(duì) 自 變 量 求 導(dǎo)鏈 式 法 則 13 注 ),(ufy 設(shè)導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算 定 理 可 推 廣例 構(gòu) 成 復(fù) 合 函 數(shù)),( xhgfy 則 ),(vgu )(xhv )()()( xhvgufy 或 dxdvdvdududydxdy (由 里 向 外 逐 層 求 導(dǎo) ) 14 ),(lim0 xgxux 導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算定 理 證 明因 ),(lim0 ufuyu )0,0( ux,xuuyxy 故 xyx 0lim uyx 0lim xux 0lim點(diǎn) 可 導(dǎo) ，在因 xxgu )( 故 在 x點(diǎn) 連 續(xù) ， 時(shí) ，即 當(dāng) 0 x.0u 于
9、 是 xyx 0lim uyx 0lim xux 0lim )()( xguf .dxdududy 15 例 .dxdy求導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算 ),1ln(sin 2 xy設(shè)分 析 )1(lnsin 2 xy )sin(一 外 )ln(二 外 內(nèi) uy sin vu ln 12 xv解 法 一 dxdvdvdududydxdy )02(1cos xvu 12)1ln(cos 22 x xx 16 導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算解 法 二 dxdy )cos( )( 1 )1( 2 x .dxdy求),1ln(sin 2 xy設(shè) )1ln( 2 x )1( 2 xdxdy )02(11)1cos(ln( 22
10、 xxx )1ln(cos12 22 xx x 17 .cossin 的 導(dǎo) 數(shù)求 xxey 例解 ：導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算 )cos(sincossin xxey xx )sin(coscossin xxe xx .的 導(dǎo) 數(shù)求 xx eey 例解 ： )()(21 121 xxxx eeeey )(2 1 xxxx eeee 18 ),(sin xfy 設(shè)例解 ：導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算 ),(ufy xu sin .y求dxdududydxdy xuf cos)( xxf cos)(sin另 解 ： )(sin(sin xxfdxdy xxf cos)(sin注 .sin)(sin)(sin 求
11、導(dǎo)對(duì)表 示 函 數(shù) xxfxf 19 顯 函 數(shù) ：導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算 ).(xfy 即五 、 隱 函 數(shù) 求 導(dǎo) 法 則因 變 量 y顯 現(xiàn) 在 等 式 一 端 .如 ：隱 函 數(shù) ： .12 xxy如 ： ,013 yx .1 xyey隱 函 數(shù) 的 求 導(dǎo) 法 則 ： 先 在 確 定 隱 函 數(shù) 的 方 程 兩 邊同 時(shí) 對(duì) x求 導(dǎo) ， .0),( yxF即因 變 量 y隱 含 在 等 式 中 . .y然 后 解 出 20 例解 .122 yyx 所 確 定 的 隱 函 數(shù)求 由 方 程導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算將 上 述 方 程 兩 邊 同 時(shí) 對(duì) x求 導(dǎo) ,得xx )( 2 xy )(
12、2 )1( 所 以因 為 y是 x的 函 數(shù) , 是 x的 復(fù) 合 函 數(shù) ,2yx2 yy 2 0 .yxy 21 對(duì) 數(shù) 求 導(dǎo) 法 ：導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算 然 后先 對(duì) 已 知 等 式 兩 邊 求 對(duì) 數(shù) ，兩 邊 對(duì) x求 導(dǎo) .例 ).( Rxy 的 導(dǎo) 數(shù)求 冪 函 數(shù)解 ： xy lnln 兩 邊 取 對(duì) 數(shù) ， 得求 xy兩 邊 對(duì) x求 導(dǎo) 數(shù) )(ln( xy注 ：xyy 11 故 xyy 1 1 x 即 1)( xx 22 例解 法 一 .),0(sin yxxy x 求設(shè) xxy lnsinln 求 導(dǎo) 得上 式 兩 邊 對(duì) x xxxxyy 1sinlncos1 )1s
13、inln(cos xxxxyy )sinln(cossin xxxxx x 導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算 等 式 兩 邊 取 對(duì) 數(shù) 得 23 解 法 二 .),0(sin yxxy x 求設(shè) xxx exy lnsinsin )ln(sinlnsin xxey xx )sinln(cossin xxxxx x 導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算 利 用 對(duì) 數(shù) 恒 等 式 24 例解 yln 求 導(dǎo) 得上 式 兩 邊 對(duì) xy1 .,)4( 1)1( 23 yex xxy x 求設(shè) 142)1(3 111 xxxy導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算 等 式 兩 邊 取 對(duì) 數(shù) 得 142)1(3 111)4( 1)1( 23 xxx
14、ex xxy x)1ln( x x)1ln(31 x )4ln(2 x 25 定 義導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算 ),(xfy 設(shè)六 、 高 階 導(dǎo) 數(shù) 則的 導(dǎo) 數(shù) 叫)(xfy 一 階 導(dǎo) 數(shù) ， 記 ,y ),(xf dxdy一 階 導(dǎo) 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 叫 二 階 導(dǎo) 數(shù) ， 記 ,y ),(xf 22dxyd n-1階 導(dǎo) 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 叫 n階 導(dǎo) 數(shù) ， 記 , )(ny ),()( xf n nndxyd二 階 及 二 階 以 上 導(dǎo) 數(shù) 統(tǒng) 稱 為 高 階 導(dǎo) 數(shù) 26 例 .,sin )(nyxy 求設(shè) 解 xy cos )2sin( x)2cos( xy )22sin( x )22
15、sin( x)22cos( xy )23sin( x )2sin()( nxy n )2cos()(cos )( nxx n同 理 可 得 即 )2sin()(sin )( nxx n高 階 導(dǎo) 數(shù) 27xxx xx xx C tansec)(sec sec)(tan cos)(sin 0)( 2 1.常 數(shù) 和 基 本 初 等 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 公 式 xxx xx xx xx cotcsc)(csc csc)(cot sin)(cos)( 21 axx aaa a xx ln1)(log ln)( xx ee xx 1)(ln )( 小 結(jié) ： 初 等 函 數(shù) 求 導(dǎo) 問(wèn) 題 28 2
16、21 1)(arctan 1 1)(arcsin xx xx 2 21 1)cot( 1 1)(arccos xx xx arc2.函 數(shù) 的 和 、 差 、 積 、 商 的 求 導(dǎo) 法 則設(shè) )(),( xvvxuu 可 導(dǎo) ， 則（ 1） vuvu )( , （ 2） uccu )(（ 3） vuvuuv )( , （ 4） )0()( 2 vv vuvuvu .( 是 常 數(shù) )C 29 3.復(fù) 合 函 數(shù) 的 求 導(dǎo) 法 則 ).()()( )()(),( xufxydxdududydxdy xfyxuufy 或?qū)?數(shù) 為 的則 復(fù) 合 函 數(shù)而設(shè)利 用 上 述 公 式 及 法 則 初 等 函 數(shù) 求 導(dǎo) 問(wèn) 題 可 完 全 解決 .注 意 :初 等 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 仍 為 初 等 函 數(shù) .
《導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算》PPT課件
