《利率風(fēng)險(xiǎn)》PPT課件

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1、1 利 率 風(fēng) 險(xiǎn)Interest rate risk孟生旺中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院http:/ i=seq(0,0.3,0.01)A=5*(1-(1+i)(-5)/i+100*(1+i)(-5)B=5*(1-(1+i)(-10)/i+100*(1+i)(-10)C=5*(1-(1+i)(-25)/i+100*(1+i)(-25)plot(i,A,type=l,ylim=c(0,120),lty=1,col=1,xlab=市 場(chǎng) 利 率 ,ylab=債 券 價(jià) 格 ,main=面 值 均 為 100， 息 票 率 均 為 5%)lines(i,B,type=l,lty=2,col=2)lines(

2、i,C,type=l,lty=3,col=4)legend(0.15,100,c(5年 期 債 券 ,10年 期 債 券 ,25年 期 債 券 ),bty=n,lty=c(1,2,3),col=c(1,2,4) 3 主 要 內(nèi) 容 ：久 期 （ duration） ： 馬 考 勒 久 期 ， 久 期 ， 有 效 久 期凸 度 （ convexity） ： 馬 考 勒 凸 度 ， 凸 度 ， 有 效 凸 度免 疫 （ immunization） : 久 期 和 凸 度 的 應(yīng) 用現(xiàn) 金 流 配 比 （ cash flow matching） 4 馬 考 勒 久 期 （ Macaulay dura

3、tion） l 假 設(shè) 資 產(chǎn) 未 來(lái) 的 現(xiàn) 金 流 為 Rt ， 則 資 產(chǎn) 的 價(jià) 格 ： 0 e tttP R 5 l 馬 考 勒 久 期 ： 現(xiàn) 金 流 到 期 時(shí) 間 的 加 權(quán) 平 均 數(shù) 。l 馬 考 勒 久 期 越 大 ， 資 產(chǎn) 價(jià) 格 對(duì) 利 率 越 敏 感 ， 利 率 風(fēng) 險(xiǎn) 越 高 。l 馬 考 勒 久 期 是 一 個(gè) 時(shí) 間 概 念 。l 使 用 等 價(jià) 的 名 義 利 率 代 替 利 息 力 ， 馬 考 勒 久 期 不 變 。0 e ttt t RD P 馬 6 l 馬 考 勒 久 期 的 另 一 種 表 示 ：0 e ( )( ) ( )ttt t R PD P

4、 P 馬 0( ) e tttP R 注 ： 表 示 資 產(chǎn) 價(jià) 格 關(guān) 于 利 息 力 的 單 位 變 化 速 率 。 7 l 利 息 力 對(duì) 馬 考 勒 久 期 的 影 響 將 馬 考 勒 久 期 對(duì) 求 導(dǎo) 可 得 （ 請(qǐng) 檢 驗(yàn) ） 注 ： 是 利 息 力 的 減 函 數(shù) 。 如 何 直 觀 解 釋 ？00 ee ttt ttt tRD R 馬 220 0 02 0e e eet t tt t tt t ttttt R R tRR 220 00 0e ee et tt tt tt tt tt tR RR Rt t 2 2u u v uvv v （ t 的 方 差 ） y=seq(0,1

5、,by=0.01)t=1:10R=c(rep(5,9),105)P=D=C=NULLfor (i in 1:length(y) d=yiPi=sum(R*exp(-d*t)Di=sum(t*R*exp(-d*t)/Pi #馬 考 勒 久 期Ci=sum(t*(t+1)*R*(1+d)(-t-2)/Pi #凸 度plot(y,D,type=l,col=2,lwd=3,xlab=利 息 力 （ 連 續(xù) 收 益 率 ） ,ylab=馬 考 勒 久 期 ,main=面 值 為 100， 期 限 為 10年 ， 息 票 率 為 5%的 債 券 ) 9 債 券 到 期 時(shí) 間 對(duì) 馬 考 勒 久 期 的

6、影 響 （ 一 個(gè) 反 例 ） 注 ： 用 債 券 的 到 期 時(shí) 間 衡 量 利 率 風(fēng) 險(xiǎn) 可 能 出 現(xiàn) 誤 導(dǎo) 。 P=P1=rep(0,60)for (n in 1:60)Pn=5*(1-(1+0.15)(-n)/0.15+100*(1+0.15)(-n) #價(jià) 格P1n=sum(1:n*c(rep(5,n-1),105)*(1.15)(-(1:n) #價(jià) 格 的 一 階 導(dǎo) 數(shù)plot(1:60,P1/P,pch=*,type=l,ylab=馬 考 勒 久 期 ,xlab=債 券 到 期 時(shí) 間 ,main=息 票 率 =5%， 收 益 率 =15%,col=2) 10 （ 修 正

7、 ） 久 期 l 修 正 久 期 （ modified duration） ： 名 義 收 益 率 變 化 時(shí) 資 產(chǎn)價(jià) 格 的 單 位 變 化 速 率 。 l y 表 示 每 年 復(fù) 利 m 次 的 年 名 義 收 益 率l 修 正 久 期 越 大 ， 價(jià) 格 波 動(dòng) 幅 度 越 大 ， 利 率 風(fēng) 險(xiǎn) 越 高 。0 ( )( )1 mttt P yD P y yP R m 11 l 資 產(chǎn) 價(jià) 格 對(duì) 名 義 收 益 率 y（ 假 設(shè) 每 年 復(fù) 利 m次 ） 求 導(dǎo) 可 得 ： 10 0d( ) 1 / 1 /d mt mtt tt tP y R y m tR y my 0 1 /1 /

8、 mttt tR y my m 1 /D Py m 馬1 /DD y m 馬分 子 上 除 以 價(jià) 格 P 就 是到 期 時(shí) 間 的 加 權(quán) 平 均 數(shù) ，即 馬 考 勒 久 期注 意 ： 使 用 不 同 的 名 義 收 益 率 （ 即 m 不 同 ） ， 修 正 久 期 不 同 。 12 l 修 正 久 期 與 馬 考 勒 久 期 的 關(guān) 系 ：l 當(dāng) m 時(shí) ，l 另 一 種 解 釋 ： 當(dāng) m時(shí) ， y ， 故 有1 /DD y m 馬( ) ( ) lim lim ( ) ( )m m P y PD DP y P 馬limm D D 馬 13 l 資 產(chǎn) 價(jià) 格 與 修 正 久 期 的

9、 關(guān) 系 ： ( ) 1 1 ( )P y P PD DP y P y P y ( )P D yP 注 ： y 表 示 名 義 收 益 率 的 變 化 ， 用 基 點(diǎn) （ base points）表 示 。 一 個(gè) 基 點(diǎn) 為 0.01%。問(wèn) 題 ： 資 產(chǎn) 價(jià) 格 與 馬 考 勒 久 期 的 關(guān) 系 ？ l 例 ： 已 知 某 債 券 的 價(jià) 格 為 115.92元 ， 到 期 收 益 率 為 7%， 修正 久 期 為 8.37。 請(qǐng) 計(jì) 算 當(dāng) 到 期 收 益 率 上 升 為 7.05%時(shí) ， 債券 的 價(jià) 格 為 多 少 。l 解 ： 當(dāng) 收 益 率 上 升 時(shí) ， 債 券 價(jià) 格 下

10、降 的 百 分 比 為 ：l 所 以 新 的 債 券 價(jià) 格 近 似 為 ： ( ) (7.05% 7%) 8.37 0.42%P y DP 修115.92 (1 0.42%) 115.43 15 資 產(chǎn) 價(jià) 格 隨 收 益 率 變 動(dòng) 的 近 似 線 性 關(guān) 系y y y( )P y y( )P y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )P P y y P y P y y P y P y y D yP P y P y P y 價(jià) 格 曲 線 越 彎 曲 ， 誤 差 越 大( )P y 16 Exercise ：l The current price of a bon

11、d is100. The derivative of the price with respect to the yield to maturity is 700. The yield to maturity is 8%. l Calculate the Macaulay duration of that bond. 17 Solution： 100( ) 7008% ( )=7( ) (1 ) 1.08 7 7.56PP yy P yD P yD y D 馬 18 有 效 久 期 （ effective duration） l 如 果 現(xiàn) 金 流 是 確 定 的 ， 可 以 計(jì) 算 資 產(chǎn)

12、價(jià) 格 對(duì) 收 益 率 的 一 階 導(dǎo)數(shù) P(y) ， 從 而 計(jì) 算 修 正 久 期 。l 如 果 未 來(lái) 的 現(xiàn) 金 流 是 不 確 定 的 （ 如 可 贖 回 債 券 ） ， 估 計(jì) ：l 符 號(hào) ： P + 收 益 率 上 升 時(shí) 的 債 券 價(jià) 格 P- 收 益 率 下 降 時(shí) 的 債 券 價(jià) 格( ) 2P PP y y yy 19 資 產(chǎn) 價(jià) 格 隨 到 期 收 益 率 變 動(dòng) 的 近 似 線 性 關(guān) 系 注 ： 對(duì) P(y)的 估 計(jì) 是 以 割 線 AB的 斜率 來(lái) 近 似 在 y0處 的 切 線 斜 率 。( ) 2P PP y y 20 l 在 修 正 久 期 中 ， P

13、(y) 用 近 似 值 代 替 ， 得 有 效 久 期 ：l 即 ( )( ) 2P PP yD DP y P y 效 2P PD P y 效 21 例 ： 已 知 一 個(gè) 6年 期 可 贖 回 債 券 的 現(xiàn) 價(jià) 為 100元 ， 當(dāng) 收 益 率 上 升 100個(gè) 基 點(diǎn) 時(shí) ， 該 債 券 的 價(jià) 格 將 降 為 95.87元 。 當(dāng) 收益 率 下 降 100個(gè) 基 點(diǎn) 時(shí) ， 該 債 券 的 價(jià) 格 將 升 至 104.76元 。請(qǐng) 計(jì) 算 該 債 券 的 有 效 久 期 。解 ： 100P 95.87P 104.76P 0.01y 104.76 95.87 4.452 100 2 0.

14、01P PD P y 效 22 l 基 于 名 義 收 益 率 的 凸 度 C： ( )( )( )( )P yD P yP yC P y (修 正 )久 期 ：凸 度 ： 凸 度 ( convexity ) 23 資 產(chǎn) 價(jià) 格 對(duì) 名 義 收 益 率 求 二 階 導(dǎo) 數(shù) ： 凸 度 的 計(jì) 算 公 式 ： 可 以 證 明 ， 凸 度 是 收 益 率 y 的 減 函 數(shù) （ 見(jiàn) 下 圖 ， 課 后 練 習(xí) ） 。10 0 20( ) 1 11( ) 1mt mtt tt t mttt y yP y R tRy m mmt yP y t Rm m 20( ) 1 1 1( ) ( ) mttt

15、P y yC t t RP y P y m m y=seq(0,1,by=0.01)t=1:10R=c(rep(5,9),105)P=D=C=NULLfor (i in 1:length(y) d=yiPi=sum(R*exp(-d*t)Di=sum(t*R*exp(-d*t)/Pi #馬 考 勒 久 期Ci=sum(t*(t+1)*R*(1+d)(-t-2)/Pi #凸 度plot(y,D,type=l,col=2,lwd=3,xlab=利 息 力 （ 連 續(xù) 收 益 率 ） ,ylab=馬 考 勒 久 期 ,main=面 值 為 100， 期 限 為 10年 ， 息 票 率 為 5%的 債

16、 券 )plot(y,C,type=l,col=2,lwd=3,xlab=利 息 力 （ 連 續(xù) 收 益 率 ） ,ylab=凸 度 ,main=面 值 為 100， 期 限 為 10年 ， 息 票 率 為 5%的 債 券 ) 25 凸 度 對(duì) 資 產(chǎn) 價(jià) 格 的 影 響凸 度 是 對(duì) 資 產(chǎn) 價(jià) 格 曲 線 的 彎 曲 程 度 的 一 種 度 量 。債 券 A的 凸 度 大 于 債 券 B的 凸 度 ： 當(dāng) 利 率 下 降 時(shí) ， A的 價(jià) 格 上 升 快 當(dāng) 利 率 上 升 時(shí) ， A的 價(jià) 格 下 降 慢PB A y 26 l 用 連 續(xù) 收 益 率 代 替 名 義 收 益 率 y， 即

17、 得 馬 考 勒 凸 度 ：2 22 0 0e et tt tt tR t RP P 馬 考 勒 凸 度 ( )PC P馬 27 l 馬 考 勒 久 期 與 馬 考 勒 凸 度 的 關(guān) 系 2 2C D 馬 馬結(jié) 論 ： 現(xiàn) 金 流 的 時(shí) 間 越 分 散 ， 馬 考 勒 凸 度 越 大 。2 2 =t C D 馬 馬的 方 差 28 有 效 凸 度 l 的 近 似 計(jì) 算 ： 22P P Py ( )P y 2 2d( ) d PP y y 2) (P P P Py 2( )( )Py 29 l 有 效 凸 度 是 對(duì) 凸 度 C的 近 似 計(jì) 算 ：l 即 2 2P P PC y P 效

18、2 2( ) P P PP yC CP y P 效注 ： 上 式 也 可 以 應(yīng) 用 于 馬 考 勒 凸 度 的 近 似 計(jì) 算 30 例 （ 略 ） ： 已 知 一 個(gè) 6年 期 可 贖 回 債 券 的 現(xiàn) 價(jià) 為 100元 ，當(dāng) 收 益 率 上 升 100個(gè) 基 點(diǎn) 時(shí) ， 該 債 券 的 價(jià) 格 將 降 為95.87元 。 當(dāng) 收 益 率 下 降 100個(gè) 基 點(diǎn) 時(shí) ， 該 債 券 的 價(jià)格 將 升 至 104.76元 。 請(qǐng) 計(jì) 算 該 債 券 的 有 效 凸 度 。解 ： 該 債 券 的 有 效 凸 度 為 ： 2 22 95.87 104.76 2 100 630.01 (100

19、)P P PC y P 效 31 Exercise l A 3-year bond paying 8% coupons semiannually has a current price of $97.4211 and a current yield of 9% compounded semiannually. If the bonds yield increases by 100 basis points, then the price will be $94.9243. if the bonds yield decreases by 100 basis points, then the pr

20、ice will be $100. calculate the effective convexity of the bond. l Solution: 2 22 94.9243 100 2 97.4211 8.4273(0.01) 97.4211P P PC y P 效 32 資 產(chǎn) 組 合 的 久 期 和 凸 度 ：計(jì) 算 組 合 中 每 種 證 券 的 久 期 和 凸 度 。以 每 種 證 券 的 市 場(chǎng) 價(jià) 值 為 權(quán) 數(shù) 計(jì) 算 久 期 和 凸 度的 加 權(quán) 平 均 數(shù) 。 33 例 ： 假 設(shè) 某 證 券 組 合 由 n 種 債 券 構(gòu) 成 ， 債 券 k 的 現(xiàn) 值 Pk，久 期

21、 Dk， 則 證 券 組 合 的 價(jià) 格 為 ： 該 證 券 組 合 的 久 期 為 ：類 似 地 ， 假 設(shè) 債 券 k 的 凸 度 為 C k， 則 證 券 組 合 的 凸 度 為 ：1 2 nP P P P L1n kk PPD P P 1n k kk P DP1n k kk PC CP 1 k kn kk P PPP 34 例 ： 一 個(gè) 債 券 組 合 由 兩 種 面 值 均 為 100的 債 券 構(gòu) 成 ， 兩種 債 券 到 期 后 均 按 面 值 償 還 ， 且 到 期 年 收 益 率 均 為5%。 第 一 種 債 券 的 年 息 票 率 為 6%， 期 限 為 5年 。 第二

22、種 債 券 為 10年 期 的 零 息 債 券 。 請(qǐng) 計(jì) 算 該 債 券 組 合的 修 正 久 期 。解 ： 第 一 種 債 券 的 價(jià) 格 為 馬 考 勒 久 期 是 到 期 時(shí) 間 的 加 權(quán) 平 均 數(shù) 修 正 久 期 D 1= 4.48/(1+0.05) = 4.26 51 55%6 100(1 5%) =104.33P a 1 2 5 5 1556(1.05 2 1.05 . 5 1.05 ) 5 100 1.05 /6( ) 100 5 1.05 4.48D PIa 馬 1 i=0.05n=5v=(1+i)(-1)d=i/(1+i)a0=(1-vn)/ia1=(1-vn)/da1

23、1=(a1-n*vn)/iP1=6*a0+100*vnMD1=(6*a11+100*n*vn)/P1D1=MD1/(1+i)D2=10/(1+i)P2=100*v10P=P1+P2D=D1*P1/P+D2*P2/PD 35 第 二 種 債 券 的 價(jià) 格 為 ：該 債 券 的 馬 考 勒 久 期 ： 10（ 零 息 債 券 的 到 期 時(shí) 間 ） 修 正 久 期 D2 = 10/(1+0.05)=9.52102 100(1 ) 61.39P y 債 券 組 合 的 價(jià) 格 為 ：債 券 組 合 的 修 正 久 期 為 ： 1 21 2 6.21P PD D DP P 1 2 165.72P P

24、 P 36 Exercise:You are managing a bond portfolio of $1,000,000. You decide that the Macaulay duration of your portfolio should be exactly 10. You have only two securities to choose from for your investments: a zero-coupon bond of maturity 5 years, and a continuous perpetuity paying at the rate of $1

25、 per year. Current force of interest is 5%. How much will you invest in each of these securities in order to have the desired Macaulay duration? 38 久 期 和 凸 度 的 比 較( ) ( )( )PD E tP 馬 2( ) ( )( )PC E tP 馬 ( )( ) 1 /DP yD P y y m 馬( )( )P yC P y 0 2P PD P y 效 02 02P P PC y P 效 久 期 和 凸 度 的 關(guān) 系 （ 了 解 ，

26、令 m = 1， m不 等 于 1的 情 況 參 見(jiàn) 教 材 ）1 ey ey ( ) ( )eP P yP P yy 兩 邊 分 別 除 以 資 產(chǎn) 價(jià) 格 P= eD D 馬2( ) ( )e ( )eP P y P y 2e eC C D 馬 兩 邊 分 別 除 以 資 產(chǎn) 價(jià) 格 P 兩 邊 關(guān) 于 再 求 導(dǎo) 2( ) eC C D 馬 馬 40 久 期 和 凸 度 的 應(yīng) 用 l 債 券 價(jià) 格 的 二 階 泰 勒 近 似 ： 由 此 可 得 債 券 價(jià) 格 變 化 的 近 似 公 式 ： 210 0 0 0 02( ) ( ) ( )( ) ( )( )P y P y P y y

27、 y P y y y 21( ) ( )2P y yP 久 期 凸 度l 注 意 久 期 和 凸 度 的 配 比 ： l 久 期 和 凸 度 。l 馬 考 勒 久 期 和 馬 考 勒 凸 度 。l 有 效 久 期 和 有 效 凸 度 。 41 例 ： 某 債 券 的 面 值 是 1000元 ， 期 限 為 15年 ， 年 息 票 率 為 11%， 到期 時(shí) 按 面 值 償 還 。 如 果 到 期 年 收 益 率 為 12%， 請(qǐng) 計(jì) 算 其 價(jià) 格 、馬 考 勒 久 期 、 修 正 久 期 和 凸 度 。 當(dāng) 到 期 年 收 益 率 上 升 至 12.5%時(shí) ， 債 券 的 價(jià) 格 將 如 何

28、 變 化 ？解 ： 7.7486, 6.91841DD t D y 馬馬 的 加 權(quán) 平 均 數(shù) 1515|0.12 110 1000(1 0.12) 931.89P a -= + + = 2 285.9193, (1 ) 74.6716C t C C D y 馬 馬 馬的 加 權(quán) 平 均 數(shù) l 真 實(shí) 值 ： 3.3674%。l 用 修 正 久 期 作 近 似 計(jì) 算 ： 6.9184 0.5% = 3.4592%l 考 慮 凸 度 的 影 響 ， 凸 度 引 起 的 價(jià) 格 變 化 為 l 故 市 場(chǎng) 利 率 上 升 50個(gè) 基 點(diǎn) 所 導(dǎo) 致 的 價(jià) 格 變 動(dòng) 幅 度 為2 21 1

29、2 2( ) 74.6716 (0.5%) 0.0933%C y 3.4592% 0.0933% 3.3659% 利 率 上 升 50個(gè) 基 點(diǎn) 所 導(dǎo) 致 的 價(jià) 格 變 動(dòng) 幅 度 R=c(rep(110,14),1110) #債 券 的 現(xiàn) 金 流t=1:15i=0.12P=sum(R*(1+i)(-t) #債 券 價(jià) 格macD=sum(t*R*(1+i)(-t)/P #馬 考 勒 久 期D=macD/(1+i) #久 期macC=sum(t2*R*(1+i)(-t)/P #馬 考 勒 凸 度C=(macC+macD)*(1+i)(-2) #凸 度di=0.5/100 #收 益 率 的

30、 變 化dP1=-D*di #基 于 久 期 計(jì) 算 債 券 價(jià) 格 變 化dP2=-D*0.5/100+0.5*C*(di)2 #基 于 久 期 和 凸 度 計(jì) 算 債 券 價(jià) 格 變 化dP1;dP2 43 ( ) ( )( )PD E tP 馬 2( ) ( )( )PC E tP 馬 回 顧 ( )( )P yD P y ( )( )P yC P y 2 /( / ) e1 / mDD C C D my m 馬 馬 馬關(guān) 系 ： ， 21( ) ( )2P y yP 久 期 凸 度 44 l 假 設(shè) 未 來(lái) 的 負(fù) 債 為 L1， L2， ， Ln， 安 排 一 系 列 資 產(chǎn) A1，

31、A2， ， An， 以 償 付 未 來(lái) 到 期 的 債 務(wù) 。l 如 何 安 排 資 產(chǎn) 的 結(jié) 構(gòu) ， 使 得 無(wú) 論 利 率 如 何 變 化 ， 盈 余 總 是非 負(fù) ？ 盈 余 = 資 產(chǎn) 負(fù) 債l Redington免 疫 的 條 件 （ 下 圖 ） ：利 率 風(fēng) 險(xiǎn) 管 理 ： 免 疫 （ immunization） 45 現(xiàn) 值 相 等 久 期 相 等 資 產(chǎn) 的 凸 度 負(fù) 債 的 凸 度負(fù) 債 資 產(chǎn) 利 率價(jià) 格 利 率 無(wú) 論 如 何 變 化 ， 資 產(chǎn) 負(fù) 債證 明 ： 下 頁(yè) 46 l 盈 余 ：l 對(duì) 盈 余 求 一 階 導(dǎo) 數(shù) ：l 對(duì) 盈 余 求 二 階 導(dǎo) 數(shù)

32、：l 如 果 免 疫 的 三 個(gè) 條 件 得 以 滿 足 ， 就 有( ) A LS y P P ( )= =A L A A L LS y P P D P D P ( ) A L A A L LS y P P C P C P ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0S y S y S y 47 假 設(shè) 收 益 率 的 變 化 為 y， 應(yīng) 用 級(jí) 數(shù) 展 開(kāi) ， 可 得結(jié) 論 ： 收 益 率 的 微 小 變 化 ， 不 會(huì) 導(dǎo) 致 盈 余 減 少 。注 ： 上 述 三 個(gè) 條 件 只 在 特 定 時(shí) 點(diǎn) 上 成 立 ， 隨 著 時(shí) 間 的 推 移 ，資 產(chǎn) 和 負(fù) 債 的 久 期 （ 或 凸 度

33、 ） 會(huì) 發(fā) 生 不 同 的 變 化 。( ) 0, ( ) 0, ( ) 0S y S y S y 2 ( )( ) ( ) ( ) 02y S yS y y S y yS y 48 例 ： 某 公 司 在 10年 末 需 要 償 還 一 筆 1790.85萬(wàn) 元 的 債 務(wù) ， 按當(dāng) 前 的 利 率 6%計(jì) 算 ， 這 筆 債 務(wù) 的 現(xiàn) 值 為 1000萬(wàn) 元 。 為 了防 范 利 率 風(fēng) 險(xiǎn) ， 債 務(wù) 人 希 望 購(gòu) 買(mǎi) 價(jià) 值 1000萬(wàn) 元 的 債 券 實(shí)施 免 疫 策 略 ， 假 設(shè) 可 供 選 擇 的 債 券 有 如 下 三 種 ， 面 值 均為 1000元 ：A： 10年

34、期 ， 息 票 率 為 6.7%。B： 15年 期 ， 息 票 率 為 6.988%。C： 30年 期 ， 息 票 率 為 5.9%。 請(qǐng) 問(wèn) 債 務(wù) 人 應(yīng) 該 如 何 選 擇 上 述 三 種 債 券 ？ 49 l 計(jì) 算 馬 考 勒 久 期 ：負(fù) 債 ： 10債 券 A： 7.6655債 券 B： 10（ 與 負(fù) 債 相 同 ） 債 券 C： 14.6361 l 計(jì) 算 馬 考 勒 凸 度 ：負(fù) 債 ： 102= 100債 券 A： 68.7346債 券 B： 126.4996債 券 C： 318.1085 51 結(jié) 論 ： B的 凸 度 大 于 負(fù) 債 ， 購(gòu) 買(mǎi) B可 以 實(shí) 現(xiàn) 免

35、疫 。 問(wèn) 題 ： 有 更 好 的 選 擇 嗎 ？ 資 產(chǎn) 和 負(fù) 債 在 第 10年 末 的 價(jià) 格 （ 累 積 值 ） 。當(dāng) 前 利 率 = 6% 52 l 免 疫 策 略 的 另 一 種 選 擇 ： 構(gòu) 造 一 個(gè) 債 券 組 合 。l 在 A上 的 投 資 p， 在 C上 的 投 資 (1 p)。l 組 合 的 馬 考 勒 久 期 為7.6655p + 14.6361(1 p) 令 其 等 于 負(fù) 債 的 馬 考 勒 久 期 10， 即 可 求 得在 債 券 A上 的 投 資 ： 66.509%在 債 券 C上 的 投 資 ： 33.491% l 組 合 的 馬 考 勒 凸 度 為 (

36、大 于 B的 馬 考 勒 凸 度 126.4996)：68.7346 * 66.59% + 318.1085 * 33.491% = 152.31l （ 見(jiàn) 下 圖 ） 53結(jié) 論 ： 組 合 的 凸 度 更 大 ， 免 疫 能 力 更 強(qiáng) 。 在 不 同 利 率 條 件 下 ， 第 10年 末 的 價(jià) 格 （ 累 積 值 ） V=1000i0=0.06i1=0.05#債 券 AV=1000i0=0.06i1=0.05tA=1:10RA=c(rep(67,9),1067)PA=sum(RA*(1+i0)(-tA) #債 券 A的 價(jià) 格MDA=sum(tA*RA*(1+i0)(-tA)/PA

37、#A的 馬 考 勒 久 期MCA=sum(tA2*RA*(1+i0)(-tA)/PA #A的 馬 考 勒 凸 度PA;MDA;MCAV0A=V/PA*sum(RA*(1+i0)(10-tA) #市 場(chǎng) 利 率 保 持 6%不 變 情 況 下 購(gòu) 買(mǎi) 債 券 A在 第 10年 末 的 累 計(jì) 值V1A=V/PA*sum(RA*(1+i1)(10-tA) #市 場(chǎng) 利 率 變 為 5%情 況 下 購(gòu) 買(mǎi) 債 券 A在 第 10年 末 的 累 計(jì) 值 #債 券 BV=1000i0=0.06i1=0.05tB=1:15RB=c(rep(69.88,14),1069.88)PB=sum(RB*(1+i0

38、)(-tB) #債 券 B的 價(jià) 格MDB=sum(tB*RB*(1+i0)(-tB)/PB #B的 馬 考 勒 久 期MCB=sum(tB2*RB*(1+i0)(-tB)/PB #B的 馬 考 勒 凸 度PB;MDB;MCBt1B=1:10t2B=1:5V0B=V/PB*(sum(RB1:10*(1+i0)(10-t1B)+sum(RB11:15*(1+i0)(-t2B) #市 場(chǎng) 利 率 保 持 6%不 變 情 況 下 購(gòu) 買(mǎi) 債 券 B在 第 10年 末 的 累 計(jì)值 V1B=V/PB*(sum(RB1:10*(1+i1)(10-t1B)+sum(RB11:15*(1+i1)(-t2B)

39、#市 場(chǎng) 利 率 變 為 5%情 況 下 購(gòu) 買(mǎi) 債 券 B在 第 10年 末 的 累 計(jì) 值#債 券 CV=1000i0=0.06i1=0.05tC=1:30RC=c(rep(59,29),1059)PC=sum(RC*(1+i0)(-tC) #債 券 B的 價(jià) 格MDC=sum(tC*RC*(1+i0)(-tC)/PC #C的 馬 考 勒 久 期MCC=sum(tC2*RC*(1+i0)(-tC)/PC #C的 馬 考 勒 凸 度PC;MDC;MCCt1C=1:10 t2C=1:20V0C=V/PC*(sum(RC1:10*(1+i0)(10-t1C)+sum(RC11:30*(1+i0)

40、(-t2C) #市 場(chǎng) 利 率 保 持 6%不 變 情 況 下 購(gòu) 買(mǎi) 債 券 C在 第 10年 末 的 累計(jì) 值V1C=V/PC*(sum(RC1:10*(1+i1)(10-t1C)+sum(RC11:30*(1+i1)(-t2C)#市 場(chǎng) 利 率 變 為 5%情 況 下 購(gòu) 買(mǎi) 債 券 C在 第 10年 末 的 累 計(jì) 值rbind(c(利 率 不 變 ,利 率 下 降 ),c(V0A,V1A),c(V0B,V1B),c(V0C,V1C)#負(fù) 債 的 價(jià) 格#繪 圖 ： 利 率 變 化 對(duì) 債 券 價(jià) 格 的 影 響V1A=V1B=V1C=NULLfor(i in 1:20) V1Ai=V

41、/PA*sum(RA*(1+i/100)(10-tA)V1Bi=V/PB*(sum(RB1:10*(1+i/100)(10-t1B)+sum(RB11:15*(1+i/100)(-t2B)V1Ci=V/PC*(sum(RC1:10*(1+i/100)(10-t1C)+sum(RC11:30*(1+i/100)(-t2C)x=(1:20)/100plot(c(x,x,x),c(V1A,V1B,V1C),type=n,xlab=利 率 ,ylab=價(jià) 格 )lines(x,V1A,col=red,lty=1)lines(x,V1B,col=black,lty=2)lines(x,V1C,col=b

42、lue,lty=3)abline(h=1790.85,col=purple,lty=4)text(0.15,2300,A,col=red)text(0.15,2000,B,col=black)text(0.15,1700,C,col=blue)text(0.15,1850,負(fù) 債 ,col=purple) #繪 圖 ： 債 券 組 合V1A=V1B=V1C=NULLfor(i in 1:20) V1Ai=V/PA*sum(RA*(1+i/100)(10-tA)V1Bi=V/PB*(sum(RB1:10*(1+i/100)(10-t1B)+sum(RB11:15*(1+i/100)(-t2B)V

43、1Ci=V/PC*(sum(RC1:10*(1+i/100)(10-t1C)+sum(RC11:30*(1+i/100)(-t2C)V1AC=0.66509*V1A+0.33491*V1Cx=(1:20)/100plot(c(x,x),c(V1B,V1AC),type=n,ylim=c(1700,2200),xlab=利 率 ,ylab=價(jià) 格 )lines(x,V1AC,col=red,lty=1)lines(x,V1B,col=black,lty=2)abline(h=1790.85,col=purple,lty=3)text(0.15,2100,A+C,col=red)text(0.15

44、,1940,B,col=black) text(0.15,1810,負(fù) 債 ,col=purple) 54 完 全 免 疫l Redington免 疫 ： 只 有 當(dāng) 平 坦 的 收 益 率 曲 線 發(fā) 生 微 小 的 平 移時(shí) ， 才 能 保 證 盈 余 不 會(huì) 減 少 。l 完 全 免 疫 （ full immunization） ： 在 某 些 情 況 下 ， 即 使 當(dāng) 平坦 的 收 益 率 曲 線 發(fā) 生 較 大 的 平 移 ， 盈 余 也 不 會(huì) 減 少 。例 ： 假 設(shè) 某 機(jī) 構(gòu) 在 未 來(lái) 需 要 支 付 一 筆 負(fù) 債 L， 支 付 時(shí) 間 為 t，同 時(shí) 在 未 來(lái) 有

45、兩 筆 資 產(chǎn) 現(xiàn) 金 流 ， 金 額 分 別 為 A 和 B， 到 期時(shí) 間 分 別 為 t a 和 t + b。 它 們 的 關(guān) 系 如 下 圖 所 示 。 55 完 全 免 疫 需 要 滿 足 下 述 三 個(gè) 條 件 ：（ 1） 資 產(chǎn) 的 現(xiàn) 值 負(fù) 債 的 現(xiàn) 值（ 2） 資 產(chǎn) 的 久 期 負(fù) 債 的 久 期（ 3） 資 產(chǎn) 到 期 時(shí) 間 處 于 負(fù) 債 到 期 時(shí) 間 之 前 和 之 后 ， 即 ： t a t t b 證 明 （ 課 后 閱 讀 教 材 ） 56 結(jié) 論 ： 滿 足 完 全 免 疫 的 條 件 時(shí) ， 必 滿 足 Redington免 疫 的 條件 。證 明

46、： 資 產(chǎn) 和 負(fù) 債 的 馬 考 勒 久 期 都 為 t 對(duì) 于 負(fù) 債 ：對(duì) 于 資 產(chǎn) ：即 ： 22 2 20 C D t 馬 馬 22 2 2 2 20 C D t t 馬 馬C C馬 馬資 產(chǎn) 的 負(fù) 債 的 57 例 ： 某 保 險(xiǎn) 公 司 在 10年 末 需 要 支 付 一 筆 2000萬(wàn) 元 的 債 務(wù) ， 它 現(xiàn) 在 擁 有 5年 期 的 零 息 債 券 6209213.23元 （ 到 期 價(jià) 值 ） ， 15年 期 的 零 息 債 券 16105100元 （ 到 期 價(jià) 值 ） 。 假 設(shè) 市 場(chǎng) 利率 為 10 。請(qǐng) 判 斷 保 險(xiǎn) 公 司 是 否 處 于 完 全 免

47、疫 狀 態(tài) ？如 果 市 場(chǎng) 利 率 變 為 20 ， 保 險(xiǎn) 公 司 的 盈 余 將 如 何 變化 ？ 解 ： 負(fù) 債 的 現(xiàn) 值 :資 產(chǎn) 的 現(xiàn) 值 :負(fù) 債 的 馬 考 勒 久 期 : 10資 產(chǎn) 的 馬 考 勒 久 期 : 1020000000 7710865.791.10LP A 5 156209213.23 16105100 7710865.791.10 1.10P 5 156209213.23 (1.10) 5 16105100 (1.10) 15 10 7710865.79 AD 馬完 全 免 疫 的 第 三 個(gè) 條 件 顯 然 是 滿 足 的 ： 5 10 15 59 如

48、果 收 益 率 從 10%變 為 20 ， 則 盈 余 為 ： 可 見(jiàn) ， 由 于 保 險(xiǎn) 公 司 處 于 完 全 免 疫 狀 態(tài) ， 所 以 市 場(chǎng) 利 率的 較 大 變 化 仍 然 會(huì) 導(dǎo) 致 盈 余 增 加 （ 參 見(jiàn) 下 圖 ） 。5 15 106209213.23 16105100 20000000 310540.99( )1.2 1.2 1.2A LP P 元 60 x=seq(0.001,1,0.001) A=6209213.23/(1+x)5+16105100/(1+x)15 plot(x,A,type=l,col=2,lty=1,ylab=價(jià) 值 ,xlab=市 場(chǎng) 利 率

49、) #資 產(chǎn) 的 價(jià) 值 curve(20000000/(1+x)10,col=1,lty=2,add=T) #負(fù) 債 的 價(jià) 值 abline(v=0.1,col=3,lty=3) legend(topright,c(資 產(chǎn) ,負(fù) 債 ),lty=c(1,2),col=c(2,1) 61x=seq(0.001,1,0.001)S=6209213.23/(1+x)5+16105100/(1+x)15-20000000/(1+x)10plot(x,S,type=l,col=2,ylab=盈 余 ,xlab=市 場(chǎng) 利 率 ) 62 Exercise: An actuarial departmen

50、t needs to set-up an investment program to pay for a loan of $20000 due in 2 years. The only available investments are:a money market fund paying the current rate of interest,5year zerocoupon bonds earning 4%.Assume that the current rate of interest is 4%. Develop an investment program satisfying th

51、e theory of immunization. Solution : 220000(1 0.04) PV0 5 2 11094.67, 7396.45a ba b Da ba b 馬 相 等相 等 64 利 率 風(fēng) 險(xiǎn) 管 理 ：現(xiàn) 金 流 配 比 （ cash flow matching or Dedication）例 ： 假 設(shè) 某 公 司 未 來(lái) 3年 的 現(xiàn) 金 流 出 和 三 種 可 投 資 資 產(chǎn) 的 現(xiàn)金 流 如 下 。 如 果 實(shí) 施 現(xiàn) 金 流 匹 配 策 略 ， 投 資 在 這 三 種 資 產(chǎn)上 的 資 金 分 別 應(yīng) 為 多 少 ？ 第 1年 末 第 2年 末 第 3

52、年 末現(xiàn) 金 流 出 1000 1000 1000資 產(chǎn) 1 50 50 500 x資 產(chǎn) 2 100 300 y資 產(chǎn) 3 200 z令 ： 投 資 比 例 為 x、 y、 z， 則 有 500 100050 300 100050 100 200 1000 xx yx y z 233xyz 65 l 現(xiàn) 金 流 匹 配 策 略 的 特 點(diǎn) ：徹 底 消 除 了 利 率 風(fēng) 險(xiǎn)不 容 易 實(shí) 現(xiàn) ： 可 能 沒(méi) 有 所 需 期 限 的 資 產(chǎn) （ 債 券 ）可 調(diào) 空 間 小 ， 一 旦 實(shí) 施 ， 就 很 難 調(diào) 整 債 券 組 合 。 66 例 ： 某 公 司 未 來(lái) 負(fù) 債 的 現(xiàn) 金

53、流 如 下 表 所 示 ：可 投 資 的 資 產(chǎn) 如 下 ：（ 1） 年 息 票 率 為 20 的 2年 期 債 券 ；（ 2） 年 息 票 率 為 10 的 4年 期 債 券 ；（ 3） 年 息 票 率 為 5 的 5年 期 債 券 ；每 種 債 券 的 面 值 均 為 100元 ， 到 期 年 收 益 率 為 5 。如 果 該 公 司 打 算 通 過(guò) 現(xiàn) 金 流 匹 配 策 略 管 理 利 率 風(fēng) 險(xiǎn) ， 請(qǐng) 計(jì)算 應(yīng) 該 如 何 購(gòu) 買(mǎi) 這 三 種 債 券 ？ 年 度 1 2 3 4 5負(fù) 債 的 現(xiàn) 金 流 4090 6790 3550 36550 5250 67年 度 1 2 3 4

54、 55年 期 債 券 5 5 5 5 1054年 期 債 券 10 10 10 1102年 期 債 券 20 120 可 投 資 債 券 的 現(xiàn) 金 流 ：年 度 1 2 3 4 5負(fù) 債 的 現(xiàn) 金 流 4090 6790 3550 36550 5250負(fù) 債 的 現(xiàn) 金 流 ： 68 （ 1） 年 度 1 2 3 4 5（ 2） 負(fù) 債 的 現(xiàn) 金 流 4090 6790 3550 36550 5250（ 3） 5年 期 債 券 的 現(xiàn) 金 流 250 250 250 250 5250（ 4） 剩 余 負(fù) 債 的 現(xiàn) 金 流 3840 6540 3300 36300 0（ 5） 4年 期

55、債 券 的 現(xiàn) 金 流 3300 3300 3300 36300 0（ 6） 剩 余 負(fù) 債 的 現(xiàn) 金 流 540 3240 0 0 0（ 7） 2年 期 債 券 的 現(xiàn) 金 流 540 3240 0 0 0（ 8） 剩 余 負(fù) 債 的 現(xiàn) 金 流 0 0 0 0 0現(xiàn) 金 流 匹 配 策 略 的 計(jì) 算 過(guò) 程 5年 期 債 券 到 期 時(shí) 的 本 息 之 和 為 105元 ， 故 需 購(gòu) 買(mǎi) ： 5250 105 = 50 4年 期 債 券 到 期 時(shí) 的 本 息 之 和 為 110元 ， 故 需 購(gòu) 買(mǎi) ： 36300 110 = 330 2年 期 債 券 到 期 時(shí) 的 本 息 之 和 為 120元 ， 故 需 購(gòu) 買(mǎi) ： 3240 120 = 27