機械設(shè)計外文翻譯-耦合系統(tǒng)熱問題的數(shù)值模擬在鋁電池中具有磁流體動力效應(yīng)【中文6270字】【PDF+中文WORD】
機械設(shè)計外文翻譯-耦合系統(tǒng)熱問題的數(shù)值模擬在鋁電池中具有磁流體動力效應(yīng)【中文6270字】【PDF+中文WORD】,中文6270字,PDF+中文WORD,機械設(shè)計,外文,翻譯,耦合,系統(tǒng),問題,數(shù)值,模擬,電池,具有,流體,動力,效應(yīng),中文,6270,PDF,WORD
中文6270字
耦合系統(tǒng)熱問題的數(shù)值模擬在鋁電池中具有磁流體動力效應(yīng)
Y. Safa *, M. Flueck, J. Rappaz
洛桑聯(lián)邦理工學(xué)院，分析與科學(xué)計算研究所，瑞士洛桑1015第8站
2006年12月27日初稿；2008年2月4日修訂；2008年2月8日被收錄；2008年2月29日可網(wǎng)上搜索
摘要
本文運用一系列偏微分方程對鋁電解槽的熱磁耦合行為進(jìn)行了數(shù)值模擬。熱模型被認(rèn)為是一個由焦耳效應(yīng)引起的非線性對流擴散熱方程組成的兩階段史蒂芬問題。該磁流體動力領(lǐng)域的主導(dǎo)是納維-斯托克斯方程和靜態(tài)麥克斯韋方程組。偽進(jìn)化組合（切爾諾夫）用于獲取電解槽仿真壁架的溫度和凝固層剖面的穩(wěn)態(tài)解。利用有限元方法的數(shù)值算法來獲取流體速度，電勢，磁感應(yīng)和溫度。同時也利用了迭代算法和三維數(shù)值模擬結(jié)果。
2008年愛思唯爾公司保留所有權(quán)利。
關(guān)鍵詞：鋁電解；切爾諾夫組合；熱方程；磁流體力學(xué)；壁架；凝固
1. 緒論
本文研究了由電解槽熱磁耦合作用模型引起的相位變化問題。在一個利用霍爾-埃魯特過程的冶煉池中，金屬部分是由三氧化二鋁電解融化在熔融冰晶石材質(zhì)的槽中制造而成的[1]。該電解槽中產(chǎn)生了多種現(xiàn)象，圖1為一個橫截面示意圖。
電解槽中穩(wěn)定的電流通過鋁液在陽極和陰極棒之間產(chǎn)生。送到槽中的電流產(chǎn)生重要的磁場，該磁場連同電解槽中流通的電流共同產(chǎn)生一個維持這兩種導(dǎo)電液體耦合運動的拉氏力量作用域。電解槽中會產(chǎn)生磁流體動力學(xué)相互作用。另一方面，由槽體中的電阻率引起焦耳效應(yīng)，熱源也隨之產(chǎn)生。
冰凍層
冰凍層
電解液
陽極塊
鋁液
陰極層
圖1. 鋁電解槽橫截面
所謂的壁架在固態(tài)槽壁層上建立。這些壁架能夠避免電解槽側(cè)壁腐蝕性點解，并降低電解槽熱損耗（見[2]第23頁）。此外，它的輪廓嚴(yán)重影響磁流體動力穩(wěn)定性，引起鋁液和槽體接觸面振蕩，降低電流效率。因此最佳的層剖面是電解槽側(cè)壁設(shè)計的目標(biāo)之一。
冶煉槽內(nèi)的熱凝固問題已經(jīng)被幾個專家解決[3-5]。據(jù)我們所知，在熱磁耦合上，該問題一直沒有被重視。本文的目的是解決類似的耦合問題。我們期待，關(guān)于該問題的詳細(xì)資料記入在薩法論文集[6]。
數(shù)學(xué)上，該問題解決了偏微分方程組、麥克斯韋方程組和納維-斯托克斯方程組的耦合系統(tǒng)，其中，偏微分方程組包含由焦耳效應(yīng)引起的熱方程，麥克斯韋方程組以導(dǎo)電率作為溫度的函數(shù)。鋁液和和槽體之間的接觸面是未知的。壁架被認(rèn)為是電絕緣體，熱模型是靜止的兩階段史蒂芬問題。本文大綱如下：第2節(jié)介紹物理模型，第3節(jié)給出算法，第4節(jié)得出數(shù)值計算結(jié)果。
2. 模型
為了介紹該模型，我們首先描述一些幾何和物理量。
2.1. 概括描述
幾何圖形定義如圖1所示。下面介紹物理符號：
l ：流體和固態(tài)層，
l ：電極，
l ：表示電解槽的域
另外，我們定義如下接觸面：
l ：鋁液和槽體之間的自由接觸面，未知，
l ， 1,2，
l ：電極的外邊界。
我們必須處理的未知物理場列舉如下：
流體動力場：
l ：中的流速場， 1,2，（固態(tài)層中為0），
l ：壓力。
電磁場：
l ：磁感應(yīng)場，
l ：電場，
l ：電流密度。
熱場：
l ：總熱能，
l ：溫度。
材料屬性定義如下：
l ：密度，
l 與：槽體內(nèi)、外導(dǎo)電率，
l ：流體粘度，
l ：空隙導(dǎo)磁率，
l ：熱導(dǎo)率，
l ：比熱容，
l ：潛熱。
2.2. 物理假設(shè)
該模型需要以下基本假設(shè)：
1. 各流體不相融，不可壓縮，并且遵守牛頓定律。
2．在每個域內(nèi)，，= 1,2，各流體遵守靜態(tài)納維-斯托克斯方程組。
3．電磁場滿足靜態(tài)麥克斯韋方程組，此外，歐姆定律應(yīng)該在整個電解槽內(nèi)有效。
4．槽外的電流密度已知（即陰極棒內(nèi)的電流）。
5．導(dǎo)電率是液體和電極部分的溫度的函數(shù)。
6．粘度，密度和比熱容與溫度無關(guān)。
7．流體和固體的體積為給定值（質(zhì)量守恒）。
8．電解槽中的流產(chǎn)生的焦耳效應(yīng)提供唯一的熱源。
9．忽略化學(xué)反應(yīng)的影響[7]，馬朗戈尼效應(yīng)[8,9]，表面張力以及氣流的存在。
2.3. 流體動力學(xué)問題
在這一部分，我們考慮溫度場和電磁場，并且磁感應(yīng)場為已知。我們選擇的用的參數(shù)化形式表示鋁液和槽體間的未知接觸面，其中通常是一個與鋁陰極界面的參數(shù)化相對應(yīng)的矩形區(qū)域。考慮到，我們用表示，和的相互關(guān)系。
根據(jù)假定7得出如下關(guān)系：
， 其中表示鋁的體積。
的單位法線指向，為。
我們定義水動力場的標(biāo)準(zhǔn)方程組如下：
， （1）
， （2）
， （3）
其中
。
這里(.,.)通常是R3的普通無向積。方程（1）-（3）對應(yīng)于第1和第2條假設(shè)。我們通過引進(jìn)包含流體的域、的邊界條件完成了上述方程組。對于任意場，表示穿過的的跳躍，即。各域中，和具體為：
， （4）
， （5）
。 （6）
中的流體部分只是所有域凝固前的一個子域。為了解決一個固定域中的流體動力學(xué)問題，我們使用包含懲罰函數(shù)的“虛擬域”方法。之后會定義液體和固體中的速度和壓力。我們將術(shù)語添加到納維-斯托克斯方程，是溫度函數(shù)的固相組分。函數(shù)由科澤尼定律給定：
，
其中，為平均孔徑，為通過實驗確定的常量（見[10]）。修改方程（1）為
（7）
液相狀態(tài)下為0，上述公式簡化為一般的納維-斯托克斯方程。相對于其他狀態(tài)，糊狀區(qū)內(nèi)可能很大，并且上述方程模擬了達(dá)西定律：
。
當(dāng)時，我們得到，并且固態(tài)區(qū)內(nèi)為0。
最終得到流體動力學(xué)問題PHD：已知，和，求得，和，并且滿足以下條件
， （8）
， （9）
， （10）
， （11）
， （12）
， （13）
。 （14）
2.4. 電磁問題
我們假定速度場及溫度場已知。根據(jù)法拉第定律，我們令為0，電場由給定，其中表示在中計算得到的電勢場。我們?nèi)匀挥帽硎舅俣鹊倪B續(xù)延拓（在中為0），同時考慮到安培定律：令以及歐姆定律：在中，因此，我們給出電守恒定律：
。
我們用表示運算，其中是的外部單位法線。
關(guān)于電勢，我們介紹以下邊界條件：
，
，
，
其中是已知的陽極外邊界電流密度。作為電流的一個函數(shù)，磁感應(yīng)強度可以利用畢奧-薩伐爾關(guān)系求得：
，
其中為由槽體外電流產(chǎn)生的某些磁感應(yīng)場。
電磁問題PEM表達(dá)如下：和已知，通過以下公式求得，和
， （15）
， （16）
， （17）
， （18）
， （19）
。 （20）
2.5. 溫度問題
我們假定流體動力場和電磁場已知。我們正在尋求的穩(wěn)定解將在這里作為一個隨時間變化的熱方程被求得。
因此，在本小節(jié)我們介紹了進(jìn)化的熱模型。在對流擴散問題中，凝固前（固液分界線）的位置事先未知，因此需要作為解法的一部分來確定。該問題被廣泛地稱為“史蒂芬問題”，并且是高度非線性的。為了克服有關(guān)史蒂芬接觸面條件的非線性困難，我們定義一個焓函數(shù)，它表示每單位體積的物質(zhì)的總熱量。焓可以用溫度，潛熱和固相分?jǐn)?shù)表示，即：
。 （21）
由于焓為單調(diào)函數(shù)，我們引進(jìn)函數(shù)，由以下關(guān)系定義：
。 （22）
函數(shù)是由在列表中的值經(jīng)過數(shù)學(xué)處理（插值法）計算得出的，上述列表值與由方程21得出的反比關(guān)系式相對應(yīng)。通過這種關(guān)系，我們可以將該問題表示成有關(guān)溫度和焓的史蒂芬問題，形式如下：
， （23）
， （24）
該問題是一個非線性對流擴散系統(tǒng)。表達(dá)式用表示的數(shù)積，為僅由焦耳效應(yīng)提供的熱源。表達(dá)方式如下：
。 （25）
考慮到分配性，溫度-焓規(guī)劃的優(yōu)勢就是仔細(xì)跟蹤固液界面消除位置的必要性，以及可以用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)值技術(shù)來解決相變問題。
溫度遵守羅賓邊界條件：
， （26）
其中是在指向的單位外法線的方向?qū)?shù)，是由空間和溫度決定熱傳遞系數(shù)，是外界溫度。熱傳遞是由于對流和輻射。而輻射是由如下表達(dá)式間接考慮：
其中，和是由通過實驗估算的正值。
的初始條件是假定的。
對于一個給定的表示積分時間的標(biāo)量值，表達(dá)式如下：
。
溫度問題PTh表達(dá)如下：，和已知，通過以下公式求得和：
， （27）
， （28）
， （29）
。 （30）
2.6. 完整問題
我們剛剛描述了流體力學(xué)，電磁和熱力學(xué)的問題。在每個具體域中，我們都假定其他域已知。
我們要解決的問題就是找到同時滿足上述三個問題的速度，壓力，電勢，焓和溫度；函數(shù)，，，，和均給定，并且已知常量，，，，，，和。
3. 數(shù)學(xué)方法
上述的數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解是基于一個迭代過程的，在迭代過程中，我們交替進(jìn)行未知的三種域的計算：流體域，電磁域和熱域。在本節(jié)中我們提出了PHD，PEM和PTh三種問題的迭代方案。包含用有限元法進(jìn)行空間離散的全局“偽進(jìn)化”算法被用來解決三域耦合問題。
3.1. 流體動力場計算
流體動力學(xué)問題通過迭代求解。在每一個求解步驟中，我們首先解決接觸面無正常受力平衡條件的固定形狀問題，然后利用非平衡法向力更新接觸面位置。解決替代應(yīng)用問題的兩個步驟如下：
l 第一步：通過給定的幾何結(jié)構(gòu)，并且考慮到接觸條件，解決流體動力學(xué)問題如下：
，
， 為的切向量，
該問題之后會通過弱公式化簡單表達(dá)。
l 第二步：更新接觸面位置，以便驗證接觸面所受法向力的平衡，通過以下表達(dá)式選擇：
。
這里我們用表示的Oz軸的單位向量，用表示通過以下條件求得的常量：
。
利用迭代法計算，，，和，上述函數(shù)的函數(shù)值通過之前的迭代求得。
設(shè)定和，并且通過下列表達(dá)式定義求解步驟：
，（31）
， （32）
， （33）
， 為的切向量， （34）
， （35）
， （36）
。 （37）
注意到這種算法的停止條件是基于的規(guī)范估計，它必須小于公差。
3.2. 電磁場計算
磁感應(yīng)強度直接取決于電流，間接取決于位勢場，對于一個已知速度場我們要計算出這些電磁場的值。在求解的步驟中，我們用迭代法確定。迭代法中，利用公式（15）、邊界條件（16）-（18）和的值計算，利用公式（19）相繼計算。隨后，我們利用畢奧―薩伐爾定律求得作為的函數(shù)的的值。
求解步驟：
， （38）
， （39）
， （40）
， （41）
， （42）
。 （43）停止條件是基于的規(guī)范估計，它必須小于公差。
3.3. 熱場計算
如前所述，我們用偽進(jìn)化類型作為收斂于溫度問題（27）-（30）穩(wěn)定解的數(shù)學(xué)均值。
在運用（27）-（30）時，利用半隱式法離散化得到：
， （44）
其中，，和為在時，和的值；為離散化的時間間隔。為了關(guān)閉系統(tǒng)（44），我們利用切諾夫方法，即：
， （45）
其中是正松弛參數(shù)。通過在（44）中替換（45），我們得到一個計算時間時溫度的方法，即：
， （46）
只要滿足下列條件，該方法就是穩(wěn)定的[11]：
。
在上面的式子中，不是在時間時糊狀區(qū)溫度的良值，其良值可從中求得。為了避免可能出現(xiàn)的誤解，用表示前者。在時間離散化形式中，我們假定已知在時間區(qū)間內(nèi)的，另外用以下方法計算求解步驟中的，和：
， （47）
， （48）
， （49）
。 （50）
3.4. 伽遼金構(gòu)想
利用伽遼金構(gòu)想對三套方程組，以及進(jìn)行數(shù)值求解，該方法適用于在一個四面體網(wǎng)格上進(jìn)行一階分段多項式有限元法。圖.2表示用于計算的四面體網(wǎng)格。
利用經(jīng)典的穩(wěn)定有限元法（見[12]）對納維-斯托克斯問題進(jìn)行數(shù)值求解，用含一階分段多項式的標(biāo)準(zhǔn)有限元方法對位勢問題進(jìn)行數(shù)值求解。該小節(jié)中，我們把重點放在與熱問題相應(yīng)的有限元方法上?？紤]到局部沛克萊數(shù)的大小（在本例中大約為1000），我們使用SUPG穩(wěn)定法（流線迎風(fēng)彼得羅夫-伽遼金格式）[13]。定義有限元空間
，
其中用四面體表示網(wǎng)格重疊。與方程集（47）-（50）對應(yīng)的有限元由下列條件給定：找到滿足
圖2. 域四面體網(wǎng)格
， （51）
， （52）
， （53）
其中表示網(wǎng)格和的插值，公式如下：
， （54）
， （55）
其中是的大小，變量為局部沛克萊數(shù)。我們分別用和表示時間間隔內(nèi)的導(dǎo)熱系數(shù)和傳熱系數(shù)。
注。很明顯，焓在先驗未知的凝固前有一個突增，但我們可以用連續(xù)函數(shù)子空間內(nèi)的近似取代。因此，該近似值表示了在一個精確焓值突增的小區(qū)間內(nèi)的焓值差。我們注意到，即使建立了很好的離散問題，逼近收斂于的焓近似值僅在規(guī)則下為真。
4. 數(shù)值計算結(jié)果
我們使用廣義最小余數(shù)法解決流體動力學(xué)問題和溫度問題的矩陣系統(tǒng)。另一方面，由于與電場問題相關(guān)的該矩陣系統(tǒng)是對稱且正定的，我們利用代數(shù)多重網(wǎng)格法AMG或共軛梯度法CG來解決該問題。
利用計算機（奔騰（R）4，CPU 2.80GHz，RAM 2GB）進(jìn)行磁-熱計算，10小時內(nèi)可獲得全局算法的收斂性。電勢計算相關(guān)結(jié)果見圖.3。圖.4顯示了槽內(nèi)溫度分布。壁架模型見圖.5。我們可清晰觀察到固化前一個小區(qū)間內(nèi)由SUPG穩(wěn)定法得出的相關(guān)數(shù)值擴散的影響。值得指出的是，這張圖片與代表速度場的圖片（圖6）具有一致性，特別是壁架大的位置與各場中數(shù)值小的位置也是一致的。
很容易觀察到在液體分?jǐn)?shù)小于1的部分域內(nèi)，速度場的數(shù)值計算結(jié)果符合達(dá)西定律。這表明，在流體動力學(xué)模型中，利用含有速度場懲罰值的“輔助域”方法是有效的。
用多個元素對流體層沿深度進(jìn)行離散化，以便更準(zhǔn)確地表示流體動力場。另外如前所述，界面鋁-槽接觸面的節(jié)點可以沿垂直線移動，以保證了垂直受力平衡（見第3.1節(jié)第2步）。液體深度誤差的主要誤差值是6％。在鋁-槽水平接觸面上，我們?nèi)〉米罡叩膶α餍Ч?，最佳壁架厚度見圖.5。
保證總散熱量與內(nèi)部產(chǎn)熱量的一致性是很重要的。為了保證結(jié)果與槽穩(wěn)態(tài)條件相一致，關(guān)鍵是保證實現(xiàn)上述條件?？偵崃康扔诟鞑糠郑ㄆ渲斜硎静壑须娏鞔┻^的各部分?jǐn)?shù)量）產(chǎn)生的焦耳熱之和：
。
總散熱量相當(dāng)于槽邊界處的對流耗散：
。
圖3. 槽內(nèi)電勢結(jié)果
圖4. 槽內(nèi)溫度結(jié)果
圖5. 壁架內(nèi)液體分?jǐn)?shù)
圖6. 固化前速度場（上圖）和固化后速度場（下圖），平均值=0.8cm/s
圖7. 壁架模型和電熱計算的液體分?jǐn)?shù)
焦耳總散熱量的數(shù)值誤差為2.5％。該誤差值相當(dāng)于槽切片內(nèi)使用有限元分析代碼進(jìn)行電熱計算的誤差，見[14]。
使用另一種方法求得壁架模型。該方法依賴于無速度場的電熱計算。利用金屬槽體內(nèi)的人工導(dǎo)熱系數(shù)進(jìn)行對流效應(yīng)模擬。對比圖.5，求得對稱壁架如圖.7所示，從而更易觀察固體壁架結(jié)構(gòu)內(nèi)速度場的影響。
5. 結(jié)論
這項工作是在前人研究基礎(chǔ)上的延伸（[15，16]），目的在于引出判斷霍爾-埃魯特電解槽內(nèi)流體運動穩(wěn)定與否的標(biāo)準(zhǔn)。
在上面提到的參考文獻(xiàn)中，這些標(biāo)準(zhǔn)是從磁流體動力學(xué)線性方程組定態(tài)解的頻數(shù)分析得到的。它產(chǎn)生于 [15] 和[16]中進(jìn)行的數(shù)值研究，這些標(biāo)準(zhǔn)的穩(wěn)定性在很大程度上依賴于求得的定態(tài)解的精確度。精確度不僅取決于正確的數(shù)值方法，也取決于電解槽特征表述與模型的妥善性。
本文中，壁架模型和速度場的溫度分度影響已考慮在內(nèi)。
通過觀察分析上述結(jié)果，得到以下結(jié)論：
流體動力場的影響是一個決定電解槽熱行為的重要因素。從圖.5和圖.7中可以看到，速度場對壁架形狀有很大的影響。
忽略流體應(yīng)力張量對壁架的侵蝕作用完成的計算。該問題應(yīng)在將來解決。
雖然處理多域相互作用問題有很大難度、幾何條件也很復(fù)雜，切爾諾夫方法在解決熱磁力耦合問題上很穩(wěn)定。
最后，我們注意到，多個作者進(jìn)行了熱膨脹影響下的鋁電解槽鋼殼熱-機械形變研究[19-21]。在這些研究中從未有熱磁耦合的計算。本文中所示溫度場計算對于之后由薩法等人（見[22]）為展示熱對流對槽體結(jié)構(gòu)力學(xué)的影響以及速度場和鋼殼機械變形的相關(guān)性而進(jìn)行的彈性熱計算而言是富有成效的。
致謝
作者衷心感謝瑞士國家科學(xué)基金會和加拿大鋁業(yè)公司的支持。
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