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1、2.2.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)
第1課時(shí) 橢圓的簡單幾何性質(zhì)
雙基達(dá)標(biāo) (限時(shí)20分鐘)
1．已知橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)是(0，13)，另一個(gè)頂點(diǎn)是(－10，0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( )．
A．(±13，0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
解析 由題意知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且a＝13，b＝10，則c＝＝，故焦點(diǎn)坐
標(biāo)為(
2、0，±)．
答案 D
2．橢圓x2＋4y2＝1的離心率為 ( )．
A. B. C. D.
解析 將橢圓方程x2＋4y2＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2＋＝1，則a2＝1，b2＝，即a＝1，c＝
＝，故離心率e＝＝.
答案 A
3．已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－，0)，(，0)，離心率是，則橢圓C的方程為
3、 ( )．
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 因?yàn)椋剑襝＝，所以a＝，b＝＝1.所以橢圓C的方程為＋y2
＝1.
答案 A
4．已知橢圓的短軸長等于2，長軸端點(diǎn)與短軸端點(diǎn)間的距離等于，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．
解析 設(shè)橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，焦距為2c，則b＝1，a2＋b2＝()2，即
a2＝4.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋y2＝1或＋x2＝1.
答案 ＋y2＝1或＋x2＝1
5．已知橢圓＋＝1的離心率為，則
4、k的值為________．
解析 當(dāng)k＋8>9時(shí)，e2＝＝＝，k＝4；
當(dāng)k＋8<9時(shí)，e2＝＝＝，k＝－.
答案 4或－
6．求橢圓＋y2＝1的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
解 已知方程為＋＝1，所以，a＝2，b＝1，c＝＝，
因此，橢圓的長軸的長和短軸的長分別為2a＝4，2b＝2，
離心率e＝＝，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，
橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)是A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－1)，B2(0，1)．
綜合提高（限時(shí)25分鐘）
7．已知橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且長軸長是短軸長的2倍，則m＝ ( )．
5、
A. B. C．2 D．4
解析 將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋ ＝1，
∵焦點(diǎn)在y軸上，
∴>1，∴0b>0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，則橢圓的離心率為 ( )．
A. B.
C.
6、 D.
解析 記|F1F2|＝2c，則由題設(shè)條件，知|PF1|＝，|PF2|＝，則橢圓的離心率e＝＝
＝＝，故選B.
答案 B
9．已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為________．
解析 依題意設(shè)橢圓G的方程為＋＝1(a>b>0)，
∵橢圓上一點(diǎn)到其兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12.
∴2a＝12，即a＝6.
∵橢圓的離心率為，
∴e＝＝＝，
∴＝，
∴b2＝9.∴橢圓G的方程為＋＝1.
答案 ＋＝1
10．已知中心在原點(diǎn)，對稱軸
7、為坐標(biāo)軸，長半軸長與短半軸長的和為9，離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
解析 由題意知
解得
但焦點(diǎn)位置不確定．
答案?。?或＋＝1
11．已知橢圓長軸長是短軸長的2倍，且過點(diǎn)A(2，－6)．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解 法一 依題意a＝2b.
(1)當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為＋＝1.
代入點(diǎn)A(2，－6)坐標(biāo)，得＋＝1，解得b2＝37，
∴a2＝4b2＝4×37＝148，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為＋＝1.
代入點(diǎn)A(2，－6)坐標(biāo)得＋＝1，
∴b2＝13，∴a2＝52.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
綜上所述
8、，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1.
法二 設(shè)橢圓方程為＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，
由已知橢圓過點(diǎn)A(2，－6)，所以有＋＝1.①
由題設(shè)知a＝2b，∴＝2，②
或＝2，③
由①②可解得n＝37，∴m＝148.
由①③可解得 m＝13，∴n＝52.
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ＋＝1或＋＝1.
12．(創(chuàng)新拓展)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為A(－1，0)，B(1，0)，一個(gè)頂點(diǎn)為H(2，0)．
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)對于x軸上的點(diǎn)P(t，0)，橢圓E上存在點(diǎn)M，使得MP⊥MH，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解 (1)由題意可得，c＝1，a＝2，∴b＝.
∴所求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)設(shè)M(x0，y0)(x0≠±2)，則＋＝1. ①
＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
由MP⊥MH可得·＝0，
即(t－x0)(2－x0)＋y02＝0. ②
由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－x02＋2x0－3.
∵x0≠2，∴t＝x0－.
∵－2
高三數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題精解分析 2-2-2第1課時(shí) 橢圓的簡單幾何性質(zhì)
