高三數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題精解分析 2-2-2第1課時 橢圓的簡單幾何性質(zhì)

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1、2.2.2　橢圓的簡單幾何性質(zhì) 第1課時 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 雙基達標(biāo)　(限時20分鐘) 1．已知橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸，一個頂點是(0，13)，另一個頂點是(－10，0)，則焦點坐標(biāo)為 (　　)． A．(±13，0) B．(0，±10) C．(0，±13) D．(0，±) 解析　由題意知橢圓焦點在y軸上，且a＝13，b＝10，則c＝＝，故焦點坐 標(biāo)為(

2、0，±)． 答案　D 2．橢圓x2＋4y2＝1的離心率為 (　　)． A. B. C. D. 解析　將橢圓方程x2＋4y2＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程x2＋＝1，則a2＝1，b2＝，即a＝1，c＝ ＝，故離心率e＝＝. 答案　A 3．已知橢圓C的左、右焦點坐標(biāo)分別是(－，0)，(，0)，離心率是，則橢圓C的方程為

3、 (　　)． A.＋y2＝1 B．x2＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　因為＝，且c＝，所以a＝，b＝＝1.所以橢圓C的方程為＋y2 ＝1. 答案　A 4．已知橢圓的短軸長等于2，長軸端點與短軸端點間的距離等于，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 解析　設(shè)橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，焦距為2c，則b＝1，a2＋b2＝()2，即 a2＝4. 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋y2＝1或＋x2＝1. 答案　＋y2＝1或＋x2＝1 5．已知橢圓＋＝1的離心率為，則

4、k的值為________． 解析　當(dāng)k＋8>9時，e2＝＝＝，k＝4； 當(dāng)k＋8<9時，e2＝＝＝，k＝－. 答案　4或－ 6．求橢圓＋y2＝1的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo)． 解　已知方程為＋＝1，所以，a＝2，b＝1，c＝＝， 因此，橢圓的長軸的長和短軸的長分別為2a＝4，2b＝2， 離心率e＝＝，兩個焦點分別為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， 橢圓的四個頂點是A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－1)，B2(0，1)． 綜合提高（限時25分鐘） 7．已知橢圓x2＋my2＝1的焦點在y軸上，且長軸長是短軸長的2倍，則m＝ (　　)．

5、 A. B. C．2 D．4 解析　將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋ ＝1， ∵焦點在y軸上， ∴>1，∴0b>0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)2為右焦點，若∠F1PF2＝60°，則橢圓的離心率為 (　　)． A. B. C.

6、 D. 解析　記|F1F2|＝2c，則由題設(shè)條件，知|PF1|＝，|PF2|＝，則橢圓的離心率e＝＝ ＝＝，故選B. 答案　B 9．已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點，長軸在x軸上，離心率為，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為________． 解析　依題意設(shè)橢圓G的方程為＋＝1(a>b>0)， ∵橢圓上一點到其兩個焦點的距離之和為12. ∴2a＝12，即a＝6. ∵橢圓的離心率為， ∴e＝＝＝， ∴＝， ∴b2＝9.∴橢圓G的方程為＋＝1. 答案?。? 10．已知中心在原點，對稱軸

7、為坐標(biāo)軸，長半軸長與短半軸長的和為9，離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 解析　由題意知 解得 但焦點位置不確定． 答案?。?或＋＝1 11．已知橢圓長軸長是短軸長的2倍，且過點A(2，－6)．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解　法一　依題意a＝2b. (1)當(dāng)橢圓焦點在x軸上時，設(shè)橢圓方程為＋＝1. 代入點A(2，－6)坐標(biāo)，得＋＝1，解得b2＝37， ∴a2＝4b2＝4×37＝148， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)當(dāng)焦點在y軸上時，設(shè)橢圓方程為＋＝1. 代入點A(2，－6)坐標(biāo)得＋＝1， ∴b2＝13，∴a2＝52. ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 綜上所述

8、，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋＝1. 法二　設(shè)橢圓方程為＋＝1(m>0，n>0，m≠n)， 由已知橢圓過點A(2，－6)，所以有＋＝1.① 由題設(shè)知a＝2b，∴＝2，② 或＝2，③ 由①②可解得n＝37，∴m＝148. 由①③可解得 m＝13，∴n＝52. 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ＋＝1或＋＝1. 12．(創(chuàng)新拓展)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O，兩個焦點分別為A(－1，0)，B(1，0)，一個頂點為H(2，0)． (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)對于x軸上的點P(t，0)，橢圓E上存在點M，使得MP⊥MH，求實數(shù)t的取值范圍． 解　(1)由題意可得，c＝1，a＝2，∴b＝. ∴所求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)設(shè)M(x0，y0)(x0≠±2)，則＋＝1. ① ＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)， 由MP⊥MH可得·＝0， 即(t－x0)(2－x0)＋y02＝0. ② 由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－x02＋2x0－3. ∵x0≠2，∴t＝x0－. ∵－2