高三數(shù)學 經(jīng)典例題精解分析 2-4-1 拋物線及其標準方程

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1、2.4　拋物線2.4.1　拋物線及其標準方程 雙基達標　(限時20分鐘) 1．拋物線y2＝－8x的焦點坐標是 (　　)． A．(2，0) B．(－2，0) C．(4，0) D．(－4，0) 解析　依題意，拋物線開口向左，焦點在x軸的負半軸上，由2p＝8得＝2，故焦點坐 標為(－2，0)，故選B. 答案　B 2．若拋物線y2＝8x上一點P到其焦點的距離為10，則點P的坐標為 (　　)． A．(8，8)

2、 B．(8，－8) C．(8，±8) D．(－8，±8) 解析　設P(xP，yP)，∵點P到焦點的距離等于它到準線x＝－2的距離，∴xP＝8，yP＝±8， 故選C. 答案　C 3．以雙曲線－＝1的右頂點為焦點的拋物線的標準方程為 (　　)． A．y2＝16x B．y2＝－16x C．y2＝8x D．y2＝－8x

3、 解析　由雙曲線方程－＝1，可知其焦點在x軸上，由a2＝16，得a＝4，∴該雙曲 線右頂點的坐標是(4，0)，∴拋物線的焦點為F(4，0)．設拋物線的標準方程為y2＝ 2px(p>0)，則由＝4，得p＝8，故所求拋物線的標準方程為y2＝16x. 答案　A 4．設拋物線y2＝8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是________． 解析　由拋物線的方程得＝＝2，再根據(jù)拋物線的定義，可知所求距離為4＋2＝6. 答案　6 5．若直線ax－y＋1＝0經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點，則實數(shù)a＝________. 解析　拋物線y2＝4x的焦點為(1，0)，代入ax－y＋1＝

4、0，解得a＝－1. 答案?。? 6．根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程： (1)準線方程是y＝3； (2)過點P(－2，4)； (3)焦點到準線的距離為. 解　(1)由準線方程為y＝3知拋物線的焦點在y軸負半軸上，且＝3，則p＝6，故所求拋物線的標準方程為x2＝－12y. (2)∵點P(－2，4)在第二象限，∴設所求拋物線的標準方程為y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，將點P(－2，4)代入y2＝－2px，得p＝2；代入x2＝2py，得p＝1. ∴所求拋物線的標準方程為y2＝－4x或x2＝2y. (3)由焦點到準線的距離為，得p＝，故所求拋物線的標準方程為y2＝2

5、x，y2＝ －2x，x2＝2y或x2＝－2y. 綜合提高（限時25分鐘） 7．動點到點(3，0)的距離比它到直線x＝－2的距離大1，則動點的軌跡是 (　　)． A．橢圓 B．雙曲線 C．雙曲線的一支 D．拋物線 解析　已知條件可等價于“動點到點(3，0)的距離等于它到直線x＝－3的距離”，由拋 物線的定義可判斷，動點的軌跡為拋物線，故選D. 答案　D 8．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之

6、和的最小值是 (　　)． A．2 B．3 C. D. 解析　直線l2：x＝－1為拋物線y2＝4x的準線，由拋物線的定義 知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點F(1，0)的距離，故本題 化為在拋物線y2＝4x上找一個點P使得P到點F(1，0)和直線l1 的距離之和最小，最小值為F(1，0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距 離，即dmin＝＝2，故選擇A. 答案　A 9．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線與

7、圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為________． 解析　由拋物線方程y2＝2px(p>0)，得其準線方程為x＝－，又圓的方程為(x－3)2＋y2 ＝16，∴圓心為(3，0)，半徑為4.依題意，得3－(－)＝4，解得p＝2. 答案　2 10．拋物線y＝－x2上的動點M到兩定點F(0，－1)，E(1，－3)的距離之和的最小值為________． 解析　將拋物線方程化成標準方程為x2＝－4y，可知焦點坐 標為(0，－1)，－3<－，所以點E(1，－3)在拋物線的內(nèi)部， 如圖所示，設拋物線的準線為l，過M點作MP⊥l于點P， 過點E作EQ⊥l于點Q，由拋物線的定義可知，|M

8、F|＋|ME| ＝|MP|＋|ME|≥|EQ|，當且僅當點M在EQ上時取等號，又 |EQ|＝1－(－3)＝4，故距離之和的最小值為4. 答案　4 11．已知動圓M經(jīng)過點A(3，0)，且與直線l：x＝－3相切，求動圓圓心M的軌跡方程． 解　法一　設動點M(x，y)，設⊙M與直線l：x＝－3的切點為N，則|MA|＝|MN|，即動點M到定點A和定直線l：x＝－3的距離相等，所以點M的軌跡是拋物線，且以A(3，0)為焦點，以直線l：x＝－3為準線， ∴＝3，∴p＝6. ∴圓心M的軌跡方程是y2＝12x. 法二　設動點M(x，y)，則點M的軌跡是集合P＝{M||MA|＝|MN|}， 即

9、＝|x＋3|，化簡，得y2＝12x. ∴圓心M的軌跡方程為y2＝12x. 12．(創(chuàng)新拓展)設F(1，0)，點M在x軸上，點P在y軸上，且 (1)當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡C的方程； (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲線C上除去原點外的不同三點，且成等差數(shù)列，當線段AD的垂直平分線與x軸交于點E(3，0)時，求點B的坐標． 解　(1)設N(x，y)，由得點P為線段MN的中點，∴P(0，)， M(－x，0)， ∴＝(－x，－)，＝(1，－)． 由＝－x＋＝0，得y2＝4x. 即點N的軌跡方程為y2＝4x. (2)由拋物線的定義，知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，|DF|＝x3＋1， ∵成等差數(shù)列， ∴2x2＋2＝x1＋1＋x3＋1，即x2＝. ∵線段AD的中點為(，)，且線段AD的垂直平分線與x軸交于點E(3，0)， ∴線段AD的垂直平分線的斜率為k＝. 又kAD＝，∴·＝－1， 即＝－1. ∵x1≠x3，∴x1＋x3＝2，又x2＝，∴x2＝1. ∵點B在拋物線上，∴B(1，2)或(1，－2)．