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1、基于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)探究 n 邊形的內(nèi)角和
1. 設(shè)計(jì)基礎(chǔ)
隨著《新課標(biāo)》的推行與考試方式的轉(zhuǎn)變, 以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)思維能力與解決問(wèn)題能 力作為新的重點(diǎn)[1] , 而"歸納猜想證明";這一思維方式作為培養(yǎng)學(xué)生這兩方面能力的一個(gè)有效途徑. 所謂"歸納猜想證明";是指當(dāng)一個(gè)問(wèn)題涉及到相當(dāng)多的乃至無(wú)窮多的情形時(shí), 可從問(wèn)題的簡(jiǎn)單情形或特殊情況入手, 通過(guò)簡(jiǎn)單的情形或特殊情形的試驗(yàn), 從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律, 做出對(duì)問(wèn)題的某種合理猜想, 再經(jīng)由一定的邏輯推理驗(yàn)證猜想. [2] 其思維過(guò)程是: 從特殊情況入手 → 探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律 &r
2、arr; 總結(jié)歸納 → 猜想結(jié)論 → 驗(yàn)證結(jié)論. 而這種猜想需以自己已有的知識(shí)和 經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)[3] . 這種已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)就是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為我國(guó)義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教育 教學(xué)的一個(gè)直接目標(biāo). [4] 數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生從自身經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中獲得的感受、體驗(yàn)、領(lǐng)悟以及由此獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、觀念等內(nèi)容經(jīng)驗(yàn). [5] 文章以學(xué)生已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)作為設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)、而"歸納猜想證明";作為學(xué)生探究問(wèn)題的方式.
2. 設(shè)計(jì)緣由
北師大版八年級(jí)下第六章的《探究邊形的內(nèi)角和與外角和》這一節(jié)是探索性問(wèn)題的課型[6] , 課題本身
3、就決定了這應(yīng)該是調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性, 充分討論, 探索方法與結(jié)論的一堂課; 但, 筆者從閱讀的很多關(guān)于本章節(jié)設(shè)計(jì)的文章中發(fā)現(xiàn), 對(duì)于這節(jié)探究課的教學(xué)設(shè)計(jì)主要存在兩個(gè)問(wèn)題:(未能體現(xiàn)邊形轉(zhuǎn)化成三角形的自然性;(未能根據(jù)已有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)挖掘結(jié)論中的數(shù)據(jù)特征尋找邊形內(nèi)角和公式的證明策略. 基于對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題的思考, 筆者以邊、角兩個(gè)基本量作為設(shè)計(jì)的切入點(diǎn), 以期在解決這兩個(gè)問(wèn)題的同時(shí), 向?qū)W生滲透遞推思想, 提升現(xiàn)有知識(shí).
3. 設(shè)計(jì)思路
三角形內(nèi)角和為 180 是探究 n 邊形內(nèi)角和的基礎(chǔ), 四邊形作為三角形和多邊形之間的關(guān)鍵銜接點(diǎn), 對(duì)其的探究尤為重要, 筆者從三角形與
4、 n 邊形銜接的自然性角度出發(fā), 設(shè)計(jì)如下教學(xué)思路:
3. 1 利用數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn), 探究轉(zhuǎn)化的自然性環(huán)節(jié)1 : 八年級(jí)學(xué)生對(duì)學(xué)過(guò)的 180 和 360 這兩個(gè)數(shù)據(jù)已經(jīng)有一定的認(rèn)識(shí), 通過(guò)直接引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知: 三角形的內(nèi)角和為 180 , 1 平角 = 180 , 1 周角 = 360 ; 以及長(zhǎng)方形、正方形等特殊四邊形的內(nèi)角和為 360 等知識(shí)時(shí)提出問(wèn)題 (1): 那任意四邊形的內(nèi)角和是多少呢?
3. 1. 1 探究任意四邊形的內(nèi)角和探究問(wèn)題 (1): 根據(jù)學(xué)生已有三角形內(nèi)角和為 180 的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn), 因任意的四邊形是由基本的邊、角構(gòu)成; 故自然從角、邊兩
5、個(gè)方面探究其與三角形的轉(zhuǎn)化: (1) 從角出發(fā): 如圖, 任意四邊形 ABCD, 利用幾何畫(huà)板, 將四邊形的頂點(diǎn) A 向內(nèi)移動(dòng)至 O 點(diǎn), 此時(shí)四邊形的一內(nèi)角 ∠A 增大為平角; 則四邊形 ABCD 轉(zhuǎn)化成了一個(gè)三角形 △BCD 和一個(gè)平角, 故知任意四邊 圖 2 形的內(nèi)角和為:∠1 + ∠2 + ∠3 + 180 = 2 × 180 = 360 . (2) 從邊出發(fā): 如圖, 任意四邊形 ABCD, 利用幾何畫(huà)板將 A 點(diǎn)沿著 AB 方向運(yùn)動(dòng)至 B 點(diǎn)時(shí), 四邊形的 AB 邊的長(zhǎng)度縮小為 0, 形成線(xiàn)段 BD; 然后, 比較原圖得到任意四邊 圖 3
6、 形 ABCD 被轉(zhuǎn)化成了 △BCD 和 △ABD; 因此, 得到四邊形 ABCD 的內(nèi)角和為:(∠1 + ∠2 + ∠3) + (∠4 + ∠5 + ∠6) = 2 × 180 = 360 .
3. 1. 2 探究任意五邊形的內(nèi)角和探究問(wèn)題 (2): 學(xué)生此時(shí)已具有三角形內(nèi)角和為 180、四邊形內(nèi)角和為 360 等數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn); 因此, 對(duì)于任意五邊形內(nèi)角和的探究存在多種情況: 方案 (一): 只基于三角形內(nèi)角和為 180 的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn); (1) 從 角 出 發(fā): 如 圖, 任 意 的五邊形 ABCDE, 當(dāng) B,
7、 D 兩點(diǎn)同時(shí)向內(nèi)移動(dòng)至 ∠B, ∠D 都增大為平角時(shí); 五邊形自然轉(zhuǎn)化成一個(gè)三角形 △ACE 以及兩個(gè)平角; 所以, 任意五邊形 ABCDE 內(nèi)角和 圖 4 為:(∠1 + ∠2 + ∠3) + 180 + 180 = 3 × 180 . (2) 從邊出發(fā): 如圖, 對(duì)于任意五邊形 ABCDE, 當(dāng)其兩點(diǎn) B, D 分別沿著 BA、DE 分別運(yùn)動(dòng)至 A, E 點(diǎn)時(shí), BA、DE 兩邊的長(zhǎng)度縮小為 0, 形成線(xiàn)段 AC, CE, 通過(guò)與原五邊形 ABCDE 比較可知, 五邊形被轉(zhuǎn)化成了 △ABC、△ACE 以及 △CDE 圖 5 三個(gè)三角形;
8、 故任意五邊形 ABCDE 的內(nèi)角和為:3 × 180 .
方案 (二): 基于三角形內(nèi)角和為 180 以及四邊形內(nèi)角和為的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);(1) 從角出發(fā): 如圖, 任意五邊形 ABCDE, 當(dāng)其一頂點(diǎn) D 點(diǎn)向內(nèi) 移 動(dòng) ∠D 增 大 為 平 角 時(shí); 五 邊形被自然轉(zhuǎn)化為四邊形 ABCE 及一個(gè)平角; 故任意五邊形的內(nèi)角和為:(∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4) + 180 = 圖 6 360 + 180 = 3 × 180 . (2) 從邊出發(fā): 如圖, 任意五邊形 ABCDE, 當(dāng)其頂點(diǎn) D 點(diǎn)沿著 DE
9、 方向運(yùn)動(dòng)至 E 點(diǎn)時(shí), 構(gòu)成線(xiàn)段 CE, 通過(guò)比較原五邊形 ABCDE 知, 五邊形被轉(zhuǎn)化成了一個(gè)四邊形 ABCE 以及一個(gè) △CDE; 故五邊形 ABCDE 的內(nèi)角和為:360+180 = 圖 7 3 × 180
3. 2 歸納總結(jié), 猜想結(jié)論, 抓住特征證明猜想環(huán)節(jié)2 :1. 歸納: 根據(jù)以上探究思路, 提出問(wèn)題 (3): 任意六邊形的內(nèi)角和是多少?教師引導(dǎo)學(xué)生自主從邊、角兩個(gè)方向出發(fā)完成下面的表格, 歸納總結(jié),"猜想";出 n 邊形的內(nèi)角和公式.
4. 設(shè)計(jì)反思
4. 1 注重?cái)?shù)學(xué)設(shè)計(jì)的自然性, 發(fā)揮已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)性本課的
10、思路設(shè)計(jì)就是基于學(xué)生已有的三角形內(nèi)角和等數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn), 利用尋求任意四邊形的內(nèi)角和作為三角形和 n 邊形的銜接點(diǎn), 引導(dǎo)學(xué)生從邊、角兩方面逐步探究出 n 邊形的內(nèi)角和, 為原來(lái)直接利用"分割";法求 n 邊形的內(nèi)角和提供一定依據(jù), 直觀體現(xiàn) n 邊形轉(zhuǎn)化為學(xué)生已有的三角形內(nèi)角和等數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的自然性, 發(fā)揮已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)性.
4. 2 以"問(wèn)題串";, 引導(dǎo)猜想方向, 以"結(jié)論特征";證明猜想美國(guó)心理學(xué)家布魯納指出:"教學(xué)過(guò)程是一種提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的持續(xù)不斷的活動(dòng), 思維永遠(yuǎn)是從問(wèn)題開(kāi)始的. "; [7] 因此, 本文通過(guò) 3 個(gè)精心設(shè)計(jì)的"問(wèn)題串";, 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有方
11、向的猜想, 通過(guò)學(xué)生歸納總結(jié), 合理猜出問(wèn)題的結(jié)論; 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論中的數(shù)據(jù)特征, 分析出結(jié)果中蘊(yùn)藏的問(wèn)題解決的策略, 有助于培養(yǎng)學(xué)生 的發(fā)現(xiàn)思維能力[8] , 提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.
4. 3 回顧所學(xué), 提升能力, 奠定基礎(chǔ)根據(jù)學(xué)生已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn), 根據(jù)相鄰項(xiàng)兩者之間的變化關(guān)系找到已有數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與未知結(jié)論之間存在的遞推關(guān)系, 向?qū)W生滲透遞推的思想, 提升現(xiàn)在的知識(shí)體系, 為今后進(jìn)一步的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).
參考文獻(xiàn)
[1] 中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) (2011 年版)[S]. 北京: 北京師范大學(xué)出版社, 2012:52.
[2] G. 波利亞. 數(shù)學(xué)與猜想: 數(shù)學(xué)中的歸納和類(lèi)比 (第一卷). 北京: 科學(xué)出版社, 2001:89-91.
《基于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)探究 n 邊形的內(nèi)角和》
基于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)探究 n 邊形的內(nèi)角和
