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1、基于數(shù)學活動經(jīng)驗探究 n 邊形的內(nèi)角和
1. 設計基礎
隨著《新課標》的推行與考試方式的轉(zhuǎn)變, 以培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)思維能力與解決問題能 力作為新的重點[1] , 而"歸納猜想證明";這一思維方式作為培養(yǎng)學生這兩方面能力的一個有效途徑. 所謂"歸納猜想證明";是指當一個問題涉及到相當多的乃至無窮多的情形時, 可從問題的簡單情形或特殊情況入手, 通過簡單的情形或特殊情形的試驗, 從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律, 做出對問題的某種合理猜想, 再經(jīng)由一定的邏輯推理驗證猜想. [2] 其思維過程是: 從特殊情況入手 → 探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律 &r
2、arr; 總結(jié)歸納 → 猜想結(jié)論 → 驗證結(jié)論. 而這種猜想需以自己已有的知識和 經(jīng)驗為基礎[3] . 這種已有的知識經(jīng)驗就是數(shù)學活動經(jīng)驗. 數(shù)學活動經(jīng)驗作為我國義務教育階段數(shù)學教育 教學的一個直接目標. [4] 數(shù)學活動經(jīng)驗是指學生從自身經(jīng)歷的數(shù)學活動的過程中獲得的感受、體驗、領悟以及由此獲得的數(shù)學知識、技能、觀念等內(nèi)容經(jīng)驗. [5] 文章以學生已有的數(shù)學活動經(jīng)驗作為設計的基礎、而"歸納猜想證明";作為學生探究問題的方式.
2. 設計緣由
北師大版八年級下第六章的《探究邊形的內(nèi)角和與外角和》這一節(jié)是探索性問題的課型[6] , 課題本身
3、就決定了這應該是調(diào)動學生積極性, 充分討論, 探索方法與結(jié)論的一堂課; 但, 筆者從閱讀的很多關于本章節(jié)設計的文章中發(fā)現(xiàn), 對于這節(jié)探究課的教學設計主要存在兩個問題:(未能體現(xiàn)邊形轉(zhuǎn)化成三角形的自然性;(未能根據(jù)已有數(shù)學活動經(jīng)驗挖掘結(jié)論中的數(shù)據(jù)特征尋找邊形內(nèi)角和公式的證明策略. 基于對這兩個問題的思考, 筆者以邊、角兩個基本量作為設計的切入點, 以期在解決這兩個問題的同時, 向?qū)W生滲透遞推思想, 提升現(xiàn)有知識.
3. 設計思路
三角形內(nèi)角和為 180 是探究 n 邊形內(nèi)角和的基礎, 四邊形作為三角形和多邊形之間的關鍵銜接點, 對其的探究尤為重要, 筆者從三角形與
4、 n 邊形銜接的自然性角度出發(fā), 設計如下教學思路:
3. 1 利用數(shù)學活動經(jīng)驗, 探究轉(zhuǎn)化的自然性環(huán)節(jié)1 : 八年級學生對學過的 180 和 360 這兩個數(shù)據(jù)已經(jīng)有一定的認識, 通過直接引導學生回顧舊知: 三角形的內(nèi)角和為 180 , 1 平角 = 180 , 1 周角 = 360 ; 以及長方形、正方形等特殊四邊形的內(nèi)角和為 360 等知識時提出問題 (1): 那任意四邊形的內(nèi)角和是多少呢?
3. 1. 1 探究任意四邊形的內(nèi)角和探究問題 (1): 根據(jù)學生已有三角形內(nèi)角和為 180 的數(shù)學活動經(jīng)驗, 因任意的四邊形是由基本的邊、角構(gòu)成; 故自然從角、邊兩
5、個方面探究其與三角形的轉(zhuǎn)化: (1) 從角出發(fā): 如圖, 任意四邊形 ABCD, 利用幾何畫板, 將四邊形的頂點 A 向內(nèi)移動至 O 點, 此時四邊形的一內(nèi)角 ∠A 增大為平角; 則四邊形 ABCD 轉(zhuǎn)化成了一個三角形 △BCD 和一個平角, 故知任意四邊 圖 2 形的內(nèi)角和為:∠1 + ∠2 + ∠3 + 180 = 2 × 180 = 360 . (2) 從邊出發(fā): 如圖, 任意四邊形 ABCD, 利用幾何畫板將 A 點沿著 AB 方向運動至 B 點時, 四邊形的 AB 邊的長度縮小為 0, 形成線段 BD; 然后, 比較原圖得到任意四邊 圖 3
6、 形 ABCD 被轉(zhuǎn)化成了 △BCD 和 △ABD; 因此, 得到四邊形 ABCD 的內(nèi)角和為:(∠1 + ∠2 + ∠3) + (∠4 + ∠5 + ∠6) = 2 × 180 = 360 .
3. 1. 2 探究任意五邊形的內(nèi)角和探究問題 (2): 學生此時已具有三角形內(nèi)角和為 180、四邊形內(nèi)角和為 360 等數(shù)學活動經(jīng)驗; 因此, 對于任意五邊形內(nèi)角和的探究存在多種情況: 方案 (一): 只基于三角形內(nèi)角和為 180 的數(shù)學活動經(jīng)驗; (1) 從 角 出 發(fā): 如 圖, 任 意 的五邊形 ABCDE, 當 B,
7、 D 兩點同時向內(nèi)移動至 ∠B, ∠D 都增大為平角時; 五邊形自然轉(zhuǎn)化成一個三角形 △ACE 以及兩個平角; 所以, 任意五邊形 ABCDE 內(nèi)角和 圖 4 為:(∠1 + ∠2 + ∠3) + 180 + 180 = 3 × 180 . (2) 從邊出發(fā): 如圖, 對于任意五邊形 ABCDE, 當其兩點 B, D 分別沿著 BA、DE 分別運動至 A, E 點時, BA、DE 兩邊的長度縮小為 0, 形成線段 AC, CE, 通過與原五邊形 ABCDE 比較可知, 五邊形被轉(zhuǎn)化成了 △ABC、△ACE 以及 △CDE 圖 5 三個三角形;
8、 故任意五邊形 ABCDE 的內(nèi)角和為:3 × 180 .
方案 (二): 基于三角形內(nèi)角和為 180 以及四邊形內(nèi)角和為的數(shù)學活動經(jīng)驗;(1) 從角出發(fā): 如圖, 任意五邊形 ABCDE, 當其一頂點 D 點向內(nèi) 移 動 ∠D 增 大 為 平 角 時; 五 邊形被自然轉(zhuǎn)化為四邊形 ABCE 及一個平角; 故任意五邊形的內(nèi)角和為:(∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4) + 180 = 圖 6 360 + 180 = 3 × 180 . (2) 從邊出發(fā): 如圖, 任意五邊形 ABCDE, 當其頂點 D 點沿著 DE
9、 方向運動至 E 點時, 構(gòu)成線段 CE, 通過比較原五邊形 ABCDE 知, 五邊形被轉(zhuǎn)化成了一個四邊形 ABCE 以及一個 △CDE; 故五邊形 ABCDE 的內(nèi)角和為:360+180 = 圖 7 3 × 180
3. 2 歸納總結(jié), 猜想結(jié)論, 抓住特征證明猜想環(huán)節(jié)2 :1. 歸納: 根據(jù)以上探究思路, 提出問題 (3): 任意六邊形的內(nèi)角和是多少?教師引導學生自主從邊、角兩個方向出發(fā)完成下面的表格, 歸納總結(jié),"猜想";出 n 邊形的內(nèi)角和公式.
4. 設計反思
4. 1 注重數(shù)學設計的自然性, 發(fā)揮已有活動經(jīng)驗的基礎性本課的
10、思路設計就是基于學生已有的三角形內(nèi)角和等數(shù)學活動經(jīng)驗, 利用尋求任意四邊形的內(nèi)角和作為三角形和 n 邊形的銜接點, 引導學生從邊、角兩方面逐步探究出 n 邊形的內(nèi)角和, 為原來直接利用"分割";法求 n 邊形的內(nèi)角和提供一定依據(jù), 直觀體現(xiàn) n 邊形轉(zhuǎn)化為學生已有的三角形內(nèi)角和等數(shù)學活動經(jīng)驗的自然性, 發(fā)揮已有活動經(jīng)驗的基礎性.
4. 2 以"問題串";, 引導猜想方向, 以"結(jié)論特征";證明猜想美國心理學家布魯納指出:"教學過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動, 思維永遠是從問題開始的. "; [7] 因此, 本文通過 3 個精心設計的"問題串";, 引導學生進行有方
11、向的猜想, 通過學生歸納總結(jié), 合理猜出問題的結(jié)論; 引導學生發(fā)現(xiàn)結(jié)論中的數(shù)據(jù)特征, 分析出結(jié)果中蘊藏的問題解決的策略, 有助于培養(yǎng)學生 的發(fā)現(xiàn)思維能力[8] , 提高學生分析問題和解決問題的能力.
4. 3 回顧所學, 提升能力, 奠定基礎根據(jù)學生已有的活動經(jīng)驗, 根據(jù)相鄰項兩者之間的變化關系找到已有數(shù)學活動經(jīng)驗與未知結(jié)論之間存在的遞推關系, 向?qū)W生滲透遞推的思想, 提升現(xiàn)在的知識體系, 為今后進一步的學習奠定基礎.
參考文獻
[1] 中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準 (2011 年版)[S]. 北京: 北京師范大學出版社, 2012:52.
[2] G. 波利亞. 數(shù)學與猜想: 數(shù)學中的歸納和類比 (第一卷). 北京: 科學出版社, 2001:89-91.
《基于數(shù)學活動經(jīng)驗探究 n 邊形的內(nèi)角和》
基于數(shù)學活動經(jīng)驗探究 n 邊形的內(nèi)角和
