高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題7 解析幾何 第32練 圓錐曲線中的探索性問題 文-人教版高三數(shù)學試題

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1、第32練圓錐曲線中的探索性問題題型分析高考展望本部分主要以解答題形式考查，往往是試卷的壓軸題之一，一般以橢圓或拋物線為背景，考查弦長、定點、定值、最值范圍問題或探索性問題，試題難度較大體驗高考1(2016課標全國乙)在直角坐標系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點M，交拋物線C：y22px(p0)于點P，M關于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H.(1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由解(1)由已知得M(0，t)，P，又N為M關于點P的對稱點，故N，ON的方程為yx，代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N為OH的中點，即2.(

2、2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點，理由如下：直線MH的方程為ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直線MH與C只有一個公共點，所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點2(2016四川)已知橢圓E：1(ab0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線l：yx3與橢圓E有且只有一個公共點T.(1)求橢圓E的方程及點T的坐標；(2)設O是坐標原點，直線l平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P.證明：存在常數(shù)，使得|PT|2|PA|PB|，并求的值解(1)由已知，得ab，則橢圓E的方程為1.由方程組得3x212x(182b

3、2)0.方程的判別式為24(b23)，由0，得b23，此時方程的解為x2，所以橢圓E的方程為1.點T的坐標為(2,1)(2)由已知可設直線l的方程為yxm(m0)，由方程組可得所以P點坐標為，|PT|2m2.設點A，B的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)由方程組可得3x24mx(4m212)0.方程的判別式為16(92m2)，由0，解得mb0)經(jīng)過點(0，)，離心率為，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點F交橢圓于A、B兩點(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l交y軸于點M，且，當直線l的傾斜角變化時，探求的值是否為定值？若是，求出的值；否則，請說明理由解(1)依題意得b，e，a2b2c2，a2，

4、c1，橢圓C的方程為1.(2)直線l與y軸相交于點M，故斜率存在，又F坐標為(1,0)，設直線l方程為yk(x1)，求得l與y軸交于M(0，k)，設l交橢圓A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，又由，(x1，y1k)(1x1，y1)，同理，.當直線l的傾斜角變化時，的值為定值.點評(1)定點問題的求解策略把直線或曲線方程中的變量x，y當作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然直線或曲線過定點，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定

5、點(2)定值問題的求解策略在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無關，這就是“定值”問題，解決這類問題常通過取特殊值，先確定“定值”是多少，再進行證明，或者將問題轉化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無關的常數(shù)或者由該等式與變量無關，令其系數(shù)等于零即可得到定值變式訓練1已知拋物線y22px(p0)，過點M(5，2)的動直線l交拋物線于A，B兩點，當直線l的斜率為1時，點M恰為AB的中點(1)求拋物線的方程；(2)拋物線上是否存在一個定點P，使得以弦AB為直徑的圓恒過點P，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由解(1)當直線l的斜率為1時，直線l的方程為xy30，即x3y，代入y22px(p0)得y22

6、py6p0，p2，p2，所以拋物線的方程為y24x.(2)設直線l的方程為xm(y2)5，代入y24x得y24my8m200，設點A(，y1)，B(，y2)，則y1y24m，y1y28m20，假設存在點P(，y0)總是在以弦AB為直徑的圓上，則()()(y1y0)(y2y0)0，當y1y0或y2y0時，等式顯然成立；當y1y0或y2y0時，則有(y1y0)(y2y0)16，即4my0y8m2016，(4my02)(y02)0，解得y02，x01，所以存在點P(1,2)滿足題意題型二定直線問題例2在平面直角坐標系xOy中，過定點C(0，p)作直線與拋物線x22py(p0)相交于A，B兩點(1)若

7、點N是點C關于坐標原點O的對稱點，求ANB面積的最小值；(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由解方法一(1)依題意，點N的坐標為(0，p)，可設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為ykxp，與x22py聯(lián)立得消去y得x22pkx2p20.由根與系數(shù)的關系得x1x22pk，x1x22p2.于是SABNSBCNSACN2p|x1x2|p|x1x2|pp2p2，當k0時，(SABN)min2p2.(2)假設滿足條件的直線l存在，其方程為ya，AC的中點為O，l與以AC為直徑的圓相交于點P，Q，PQ的中點

8、為H，則OHPQ，O點的坐標為(，)|OP|AC|，|OH|2ay1p|，|PH|2|OP|2|OH|2(yp2)(2ay1p)2(a)y1a(pa)，|PQ|2(2|PH|)24(a)y1a(pa)令a0，得a，此時|PQ|p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y，即拋物線的通徑所在的直線方法二(1)前同方法一，再由弦長公式得|AB|x1x2|2p，又由點到直線的距離公式得d.從而SABNd|AB|2p 2p2.當k0時，(SABN)min2p2.(2)假設滿足條件的直線l存在，其方程為ya，則以AC為直徑的圓的方程為(x0)(xx1)(yp)(yy1)0，將直線方程ya代入得x2x1x

9、(ap)(ay1)0，則x4(ap)(ay1)4(a)y1a(pa)設直線l與以AC為直徑的圓的交點為P(x3，y3)，Q(x4，y4)，則有|PQ|x3x4|2 .令a0，得a，此時|PQ|p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y，即拋物線的通徑所在的直線點評(1)定直線由斜率、截距、定點等因素確定(2)定直線一般為特殊直線xx0，yy0等變式訓練2橢圓C的方程為1(ab0)，F(xiàn)1、F2分別是它的左、右焦點，已知橢圓C過點(0,1)，且離心率e.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，設橢圓的左、右頂點分別為A、B，直線l的方程為x4，P是橢圓上異于A、B的任意一點，直線PA、PB分別交直線l

10、于D、E兩點，求的值；(3)過點Q(1,0)任意作直線m(與x軸不垂直)與橢圓C交于M、N兩點，與l交于R點，x，y，求證：4x4y50.(1)解由題意可得b1，a3，橢圓C的方程為y21.(2)解設P(x0，y0)，則直線PA、PB的方程分別為y(x3)，y(x3)，將x4分別代入可求得D，E兩點的坐標分別為D(4，)，E(4，)由(1)知，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，(42，)(42，)8，又點P(x0，y0)在橢圓C上，y1，.(3)證明設M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(4，t)，由x得(x14，y1t)x(1x1，y1)，(x1)，代入橢圓方程得(4x)29t29(1x)2

11、，同理由y得(4y)29t29(1y)2，消去t，得xy，4x4y50.題型三存在性問題例3(1)已知直線ya交拋物線yx2于A，B兩點若該拋物線上存在點C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為_答案1，)解析以AB為直徑的圓的方程為x2(ya)2a，由得y2(12a)ya2a0.即(ya)y(a1)0，由已知解得a1.(2)如圖，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，以橢圓的左頂點T為圓心作圓T：(x2)2y2r2 (r0)，設圓T與橢圓C交于點M，N.求橢圓C的方程；求的最小值，并求此時圓T的方程；設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點試問：

12、是否存在使SPOSSPOR最大的點P？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由解由題意知解之，得a2，c，由c2a2b2，得b1，故橢圓C的方程為y21.點M與點N關于x軸對稱，設M(x1，y1)，N(x1，y1)，不妨設y10，由于點M在橢圓C上，y1.由已知T(2,0)，則(x12，y1)，(x12，y1)，(x12，y1)(x12，y1)(x12)2y(x12)22.由于2xb0)的右焦點為F(1,0)，且點P(1，)在橢圓C上，O為坐標原點(1)求橢圓C的標準方程；(2)設過定點T(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，且AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍；(3)過橢

13、圓C1：1上異于其頂點的任一點P，作圓O：x2y2的兩條切線，切點分別為M，N(M，N不在坐標軸上)，若直線MN在x軸，y軸上的截距分別為m，n，證明：為定值(1)解由題意得c1，所以a2b21，又因為點P(1，)在橢圓C上，所以1，可解得a24，b23，所以橢圓C的標準方程為1.(2)解設直線l方程為ykx2，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x216kx40，因為12k230，所以k2，又x1x2，x1x2，因為AOB為銳角，所以0，即x1x2y1y20，所以x1x2(kx12)(kx22)0，所以(1k2)x1x22k(x1x2)40，所以(1k2)2k40，即0，所

14、以k2，所以k2，解得k或kb0)的右焦點為F(1,0)，短軸的一個端點B到F的距離等于焦距(1)求橢圓C的方程；(2)過點F的直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，是否存在直線l，使得BFM與BFN的面積比值為2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由解(1)由已知得c1，a2c2，b2a2c23，所以橢圓C的方程為1.(2)2等價于2，當直線l斜率不存在時，1，不符合題意，舍去；當直線l斜率存在時，設直線l的方程為yk(x1)，由消去x并整理得，(34k2)y26ky9k20，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1y2，y1y2，由2得y12y2，由解得k，因此存在直線l：y(x1)使得BFM與BFN的面積比值為2.