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高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第32練 圓錐曲線中的探索性問(wèn)題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第32練 圓錐曲線中的探索性問(wèn)題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第32練圓錐曲線中的探索性問(wèn)題題型分析·高考展望本部分主要以解答題形式考查,往往是試卷的壓軸題之一,一般以橢圓或拋物線為背景,考查弦長(zhǎng)、定點(diǎn)、定值、最值范圍問(wèn)題或探索性問(wèn)題,試題難度較大體驗(yàn)高考1(2016·課標(biāo)全國(guó)乙)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:yt(t0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y22px(p>0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.(1)求;(2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)?說(shuō)明理由解(1)由已知得M(0,t),P,又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn),故N,ON的方程為yx,代入y22px整理得px22t2x0,解得x10,x2,因此H.所以N為OH的中點(diǎn),即2.(2)直線MH與C除H以外沒(méi)有其他公共點(diǎn),理由如下:直線MH的方程為ytx,即x(yt)代入y22px得y24ty4t20,解得y1y22t,即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn),所以除H以外,直線MH與C沒(méi)有其他公共點(diǎn)2(2016·四川)已知橢圓E:1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),直線l:yx3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B,且與直線l交于點(diǎn)P.證明:存在常數(shù),使得|PT|2|PA|·|PB|,并求的值解(1)由已知,得ab,則橢圓E的方程為1.由方程組得3x212x(182b2)0.方程的判別式為24(b23),由0,得b23,此時(shí)方程的解為x2,所以橢圓E的方程為1.點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,1)(2)由已知可設(shè)直線l的方程為yxm(m0),由方程組可得所以P點(diǎn)坐標(biāo)為,|PT|2m2.設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2)由方程組可得3x24mx(4m212)0.方程的判別式為16(92m2),由>0,解得<m<.由得x1x2,x1x2.所以|PA|,同理|PB|.所以|PA|·|PB|m2.故存在常數(shù),使得|PT|2|PA|·|PB|.高考必會(huì)題型題型一定值、定點(diǎn)問(wèn)題例1已知橢圓C:1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,),離心率為,直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M,且,當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí),探求的值是否為定值?若是,求出的值;否則,請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)依題意得b,e,a2b2c2,a2,c1,橢圓C的方程為1.(2)直線l與y軸相交于點(diǎn)M,故斜率存在,又F坐標(biāo)為(1,0),設(shè)直線l方程為yk(x1),求得l與y軸交于M(0,k),設(shè)l交橢圓A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(34k2)x28k2x4k2120,x1x2,x1x2,又由,(x1,y1k)(1x1,y1),同理,.當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí),的值為定值.點(diǎn)評(píng)(1)定點(diǎn)問(wèn)題的求解策略把直線或曲線方程中的變量x,y當(dāng)作常數(shù)看待,把方程一端化為零,既然直線或曲線過(guò)定點(diǎn),那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立,這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零,這樣就得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組,這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn)(2)定值問(wèn)題的求解策略在解析幾何中,有些幾何量與參數(shù)無(wú)關(guān),這就是“定值”問(wèn)題,解決這類問(wèn)題常通過(guò)取特殊值,先確定“定值”是多少,再進(jìn)行證明,或者將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式,再證明該式是與變量無(wú)關(guān)的常數(shù)或者由該等式與變量無(wú)關(guān),令其系數(shù)等于零即可得到定值變式訓(xùn)練1已知拋物線y22px(p>0),過(guò)點(diǎn)M(5,2)的動(dòng)直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),當(dāng)直線l的斜率為1時(shí),點(diǎn)M恰為AB的中點(diǎn)(1)求拋物線的方程;(2)拋物線上是否存在一個(gè)定點(diǎn)P,使得以弦AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)P,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)當(dāng)直線l的斜率為1時(shí),直線l的方程為xy30,即x3y,代入y22px(p>0)得y22py6p0,p2,p2,所以拋物線的方程為y24x.(2)設(shè)直線l的方程為xm(y2)5,代入y24x得y24my8m200,設(shè)點(diǎn)A(,y1),B(,y2),則y1y24m,y1y28m20,假設(shè)存在點(diǎn)P(,y0)總是在以弦AB為直徑的圓上,則·()()(y1y0)(y2y0)0,當(dāng)y1y0或y2y0時(shí),等式顯然成立;當(dāng)y1y0或y2y0時(shí),則有(y1y0)(y2y0)16,即4my0y8m2016,(4my02)(y02)0,解得y02,x01,所以存在點(diǎn)P(1,2)滿足題意題型二定直線問(wèn)題例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)定點(diǎn)C(0,p)作直線與拋物線x22py(p>0)相交于A,B兩點(diǎn)(1)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn),求ANB面積的最小值;(2)是否存在垂直于y軸的直線l,使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解方法一(1)依題意,點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,p),可設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為ykxp,與x22py聯(lián)立得消去y得x22pkx2p20.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x22pk,x1x22p2.于是SABNSBCNSACN·2p|x1x2|p|x1x2|pp2p2,當(dāng)k0時(shí),(SABN)min2p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為ya,AC的中點(diǎn)為O,l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P,Q,PQ的中點(diǎn)為H,則OHPQ,O點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)|OP|AC|,|OH|2ay1p|,|PH|2|OP|2|OH|2(yp2)(2ay1p)2(a)y1a(pa),|PQ|2(2|PH|)24(a)y1a(pa)令a0,得a,此時(shí)|PQ|p為定值,故滿足條件的直線l存在,其方程為y,即拋物線的通徑所在的直線方法二(1)前同方法一,再由弦長(zhǎng)公式得|AB|x1x2|··2p·,又由點(diǎn)到直線的距離公式得d.從而SABN·d·|AB|·2p·· 2p2.當(dāng)k0時(shí),(SABN)min2p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為ya,則以AC為直徑的圓的方程為(x0)(xx1)(yp)(yy1)0,將直線方程ya代入得x2x1x(ap)(ay1)0,則x4(ap)(ay1)4(a)y1a(pa)設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為P(x3,y3),Q(x4,y4),則有|PQ|x3x4|2 .令a0,得a,此時(shí)|PQ|p為定值,故滿足條件的直線l存在,其方程為y,即拋物線的通徑所在的直線點(diǎn)評(píng)(1)定直線由斜率、截距、定點(diǎn)等因素確定(2)定直線一般為特殊直線xx0,yy0等變式訓(xùn)練2橢圓C的方程為1(a>b>0),F(xiàn)1、F2分別是它的左、右焦點(diǎn),已知橢圓C過(guò)點(diǎn)(0,1),且離心率e.(1)求橢圓C的方程;(2)如圖,設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,直線l的方程為x4,P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn),直線PA、PB分別交直線l于D、E兩點(diǎn),求·的值;(3)過(guò)點(diǎn)Q(1,0)任意作直線m(與x軸不垂直)與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),與l交于R點(diǎn),x,y,求證:4x4y50.(1)解由題意可得b1,a3,橢圓C的方程為y21.(2)解設(shè)P(x0,y0),則直線PA、PB的方程分別為y(x3),y(x3),將x4分別代入可求得D,E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為D(4,),E(4,)由(1)知,F(xiàn)1(2,0),F(xiàn)2(2,0),·(42,)·(42,)8,又點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓C上,y1,·.(3)證明設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),R(4,t),由x得(x14,y1t)x(1x1,y1),(x1),代入橢圓方程得(4x)29t29(1x)2,同理由y得(4y)29t29(1y)2,消去t,得xy,4x4y50.題型三存在性問(wèn)題例3(1)已知直線ya交拋物線yx2于A,B兩點(diǎn)若該拋物線上存在點(diǎn)C,使得ACB為直角,則a的取值范圍為_(kāi)答案1,)解析以AB為直徑的圓的方程為x2(ya)2a,由得y2(12a)ya2a0.即(ya)y(a1)0,由已知解得a1.(2)如圖,已知橢圓C:1(a>b>0)的離心率為,以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T:(x2)2y2r2 (r>0),設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M,N.求橢圓C的方程;求·的最小值,并求此時(shí)圓T的方程;設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線MP,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn)試問(wèn):是否存在使SPOS·SPOR最大的點(diǎn)P?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解由題意知解之,得a2,c,由c2a2b2,得b1,故橢圓C的方程為y21.點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱,設(shè)M(x1,y1),N(x1,y1),不妨設(shè)y1>0,由于點(diǎn)M在橢圓C上,y1.由已知T(2,0),則(x12,y1),(x12,y1),·(x12,y1)·(x12,y1)(x12)2y(x12)22.由于2<x<2,故當(dāng)x1時(shí),·取得最小值為,當(dāng)x1時(shí),y1,故M.又點(diǎn)M在圓T上,代入圓的方程得r2,故圓T的方程為(x2)2y2.假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P,設(shè)P(x0,y0),則直線MP的方程為yy0(xx0),令y0,得xR,同理xS,故xR·xS.又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上,故x4(1y),x4(1y),得xR·xS4,|OR|·|OS|xR|·|xS|xR·xS|4為定值SPOS·SPOR|OS|yP|·|OR|yP|×4×yy,又P為橢圓上的一點(diǎn),要使SPOS·SPOR最大,只要y最大,而y的最大值為1,故滿足條件的P點(diǎn)存在,其坐標(biāo)為P(0,1)和P(0,1)點(diǎn)評(píng)存在性問(wèn)題求解的思路及策略(1)思路:先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,若結(jié)論正確,則存在;若結(jié)論不正確,則不存在(2)策略:當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論;當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí),先假設(shè)成立,再推出條件變式訓(xùn)練3(2015·四川)如圖,橢圓E:1(ab0)的離心率是,點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上,且·1. (1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)是否存在常數(shù),使得··為定值?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由已知,得點(diǎn)C,D的坐標(biāo)分別為(0,b),(0,b),又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1),且·1,于是解得a2,b,所以橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為ykx1,A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),聯(lián)立得(2k21)x24kx20,其判別式(4k)28(2k21)0,所以x1x2,x1x2,從而,··x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以當(dāng)1時(shí),23,此時(shí)··3為定值當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),直線AB即為直線CD,此時(shí),····213.故存在常數(shù)1,使得··為定值3.高考題型精練1.(2015·陜西)如圖,橢圓E:1(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,1),且離心率為.(1)求橢圓E的方程;(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P,Q(均異于點(diǎn)A),證明:直線AP與AQ的斜率之和為2.(1)解由題設(shè)知,b1,結(jié)合a2b2c2,解得a,所以橢圓E的方程為y21.(2)證明由題設(shè)知,直線PQ的方程為yk(x1)1(k2),代入y21,得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0,由已知0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,則x1x2,x1x2,從而直線AP,AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.2已知橢圓C:1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),且點(diǎn)P(1,)在橢圓C上,O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)T(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍;(3)過(guò)橢圓C1:1上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P,作圓O:x2y2的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N(M,N不在坐標(biāo)軸上),若直線MN在x軸,y軸上的截距分別為m,n,證明:為定值(1)解由題意得c1,所以a2b21,又因?yàn)辄c(diǎn)P(1,)在橢圓C上,所以1,可解得a24,b23,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)解設(shè)直線l方程為ykx2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4k23)x216kx40,因?yàn)?2k23>0,所以k2>,又x1x2,x1x2,因?yàn)锳OB為銳角,所以·>0,即x1x2y1y2>0,所以x1x2(kx12)(kx22)>0,所以(1k2)x1x22k(x1x2)4>0,所以(1k2)·2k·4>0,即>0,所以k2<,所以<k2<,解得<k<或<k<.(3)證明由題意:C1:1,設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3),因?yàn)镸,N不在坐標(biāo)軸上,所以kPM,直線PM的方程為yy2(xx2),化簡(jiǎn)得x2xy2y,同理可得直線PN的方程為x3xy3y,把P點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入、得所以直線MN的方程為x1xy1y,令y0,得m,令x0,得n,所以x1,y1,又點(diǎn)P在橢圓C1上,所以()23()24,即為定值3(2016·山東)已知橢圓C:1(ab0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2.(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(0,m)(m0)的直線交x軸于點(diǎn)N,交C于點(diǎn)A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q,延長(zhǎng)QM交C于點(diǎn)B.設(shè)直線PM,QM的斜率分別為k,k,證明為定值;求直線AB的斜率的最小值(1)解設(shè)橢圓的半焦距為c.由題意知2a4,2c2.所以a2,b.所以橢圓C的方程為1.(2)證明設(shè)P(x0,y0)(x00,y00)由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,2m)所以直線PM的斜率k.直線QM的斜率k.此時(shí)3.所以為定值3.解設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)由知直線PA的方程為ykxm.直線QB的方程為y3kxm.聯(lián)立整理得(2k21)x24mkx2m240,由x0x1,可得x1,所以y1kx1mm.同理x2,y2m.所以x2x1,y2y1mm,所以kAB,由m0,x00,可知k0,所以6k2,當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)取“”因?yàn)镻(x0,2m)在橢圓1上,所以x0,故此時(shí),即m,符合題意所以直線AB的斜率的最小值為.4已知橢圓C:1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),短軸的一個(gè)端點(diǎn)B到F的距離等于焦距(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,是否存在直線l,使得BFM與BFN的面積比值為2?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由已知得c1,a2c2,b2a2c23,所以橢圓C的方程為1.(2)2等價(jià)于2,當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),1,不符合題意,舍去;當(dāng)直線l斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為yk(x1),由消去x并整理得,(34k2)y26ky9k20,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1y2,y1y2,由2得y12y2,由解得k±,因此存在直線l:y±(x1)使得BFM與BFN的面積比值為2.

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本文(高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第32練 圓錐曲線中的探索性問(wèn)題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題)為本站會(huì)員(文***)主動(dòng)上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請(qǐng)立即通知裝配圖網(wǎng)(點(diǎn)擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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