《提公因式法》 (2)

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1、14.4 因 式 分 解 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) :1、 掌 握 因 式 分 解 的 概 念 , 能 判 斷 變 形 過 程 是否 是 因 式 分 解2、 能 用 提 公 因 式 法 因 式 分 解3、 重 難 點(diǎn) : 能 用 提 公 因 式 法 因 式 分 解 :整 式 的 乘 法計(jì) 算 下 列 各 式 :x(x+1)= ; (x+1)(x 1)= .x2 + xx2 114.4.1 提 公 因 式 法 1)2( )1( 22x xx請(qǐng) 把 下 列 多 項(xiàng) 式 寫 成 整 式 乘 積 的 形 式 .)1( xx )1)(1( xx 把 一 個(gè) 多 項(xiàng) 式 化 成 幾 個(gè) 整 式 積 的 形 式 ,這

2、 種 變 形 叫 做 把 這 個(gè) 多 項(xiàng) 式 因 式 分 解 ( 或分 解 因 式 ) . 想 一 想 : 因 式 分 解 與 整 式 乘 法 有 何 關(guān) 系 ?因 式 分 解 與 整 式 乘 法 是 互 逆 過 程 .(x+1)(x 1)x2 1 因 式 分 解整 式 乘 法 練 習(xí) 一 理 解 概 念 判 斷 下 列 各 式 哪 些 是 整 式 乘 法 ?哪 些 是因 式 分 解 ? (1) x2 4y2=(x+2y)(x 2y); (2) 2x(x 3y)=2x2 6xy (3) (5a 1)2=25a2 10a+1 ; (4) x2+4x+4=(x+2)2 ; (5) (a 3)(a+

3、3)=a2 9 (6) m2 4=(m+2)(m 2) ; 因 式 分 解整 式 乘 法整 式 乘 法因 式 分 解整 式 乘 法因 式 分 解 : 多 項(xiàng) 式 中 各 項(xiàng) 都 有 的 因 式 ,叫 做 這 個(gè) 多 項(xiàng) 式 的 公 因 式 ; 把 多 項(xiàng) 式 ma+mb+mc分 解 成 m(a+b+c)的 形式 , 其 中 m是 各 項(xiàng) 的 公 因 式 , 另 一 個(gè) 因 式 (a+b+c)是 ma+mb+mc 除 以 m的 商 , 像 這 種 分 解 因 式 的方 法 , 叫 做怎 樣 分 解 因 式 : .mcmbma 注 意 : 各 項(xiàng) 系 數(shù) 都 是 整 數(shù) 時(shí) , 因 式 的系 數(shù)

4、應(yīng) 取 各 項(xiàng) 系 數(shù) 的 最 大 公 約 數(shù) ; 字 母 取各 項(xiàng) 的 相 同 的 字 母 , 而 且 各 字 母 的 指 數(shù) 取次 數(shù) 最 低 的 .說 出 下 列 多 項(xiàng) 式 各 項(xiàng) 的 公 因 式 :(1)ma + mb ;(2)4kx 8ky ;(3)a2b 2ab2+ab .m4k ab 分 析 : 應(yīng) 先 找 出 與 的公 因 式 , 再 提 公 因 式 進(jìn) 行 分 解 .例 1 分 解 因 式把 cabba 323 128 )(3)(2 cbcba 分 析 : (b+c)是 這 兩 個(gè) 式 子 的 公 因 式 ,可 以 直 接 提 出 . )(3)(2 cbcba 解 : )3

5、2)( acb例 2 分 解 因 式 . 因 式 分 解 :(1)24x3y 18x2y ; (2)7ma+14ma2 ;(3) 16x4+32x3 56x2 ;(4) 7ab 14abx+49aby ;(5)2a(y z) 3b(y z) ;(6)p(a2+b2) q(a2+b2).鞏 固 練 習(xí) 思 考 你 能 將 多 項(xiàng) 式 x2 16 與 多 項(xiàng) 式 m 2 4n2分 解因 式 嗎 ?這 兩 個(gè) 多 項(xiàng) 式 有 什 么 共 同 的 特 點(diǎn) 嗎 ?(a+b)(a b) = a2 b2 a2 b2 =(a+b)(a b) 兩 個(gè) 數(shù) 的 平 方 差 ,等 于 這 兩 個(gè) 數(shù) 的 和 與這

6、兩 個(gè) 數(shù) 的 差 的 積 .15.4.2 公 式 法 (1) 例 3 分 解 因 式 :(1) 4x2 9 ; (2) (x+p)2 (x+q)2. 分 析 : 在 (1)中 , 4x2 = (2x)2, 9=32, 4x2 9 = (2x )2 3 2, 即 可 用 平 方 差 公 式 分 解 因 式 . 在 (2)中 , 把 (x+p)和 (x+q)各 看 成 一 個(gè) 整 體 , 設(shè)x+p=m, x+q=n, 則 原 式 化 為 m2 n2.(1)4x2 9 = (2x)2 3 2 = (2x+3)(2x 3). (2)(x+p)2 (x+q) 2= (x+p) +(x+q) (x+p)

7、 (x+q)=(2x+p+q)(pq). 例 4 分 解 因 式 : (1)x4 y4; (2) a3b ab. 分 析 :(1)x4 y4寫 成 (x2)2 (y2)2的 形 式 ,這 樣 就 可 以 利 用 平 方 差 公 式 進(jìn) 行 因 式 分 解 了 . (2)a3b ab有 公 因 式 ab, 應(yīng) 先 提 出 公 因 式 ,再 進(jìn) 一 步 分 解 .解 :(1) x4 y4 = (x2+y2)(x2 y2) = (x 2+y2)(x+y)(x y). (2) a3b ab=ab(a2 1)=ab(a+1)(a 1). 分 解 因 式必 須 進(jìn) 行到 每 一 個(gè)多 項(xiàng) 式 都不 能 再

8、 分解 為 止 . 練 習(xí) 1.下 列 多 項(xiàng) 式 能 否 用 平 方 差 公 式 來 分解 因 式 ?為 什 么 ? (1) x2+y2 ; (2) x2 y2; (3) x2+y2; (4) x2 y2.2.分 解 因 式 :(1)a2 b2; (2)9a2 4b2;(3) x 2y 4y ; (4) a4 +16.251 思 維 延 伸 1. 觀 察 下 列 各 式 : 32 12=8=8 1; 52 32=16=8 2; 72 52=24=8 3; 把 你 發(fā) 現(xiàn) 的 規(guī) 律 用 含 n的 等 式 表 示 出 來 . 2. 對(duì) 于 任 意 的 自 然 數(shù) n, (n+7) 2 (n 5

9、)2能 被 24整 除 嗎 ? 為 什 么 ? 思 考 : 你 能 將 多 項(xiàng) 式 a2+2ab+b2 與 a2 2ab+b2分 解 因式 嗎 ? 這 兩 個(gè) 多 項(xiàng) 式 有 什 么 特 點(diǎn) ?(a+b)2=a2+2ab+b2,(a b)2=a2 2ab+b2. 兩 個(gè) 數(shù) 的 平 方 和 加 上 ( 或 減 去 ) 這 兩個(gè) 數(shù) 的 積 的 倍 , 等 于 這 兩 個(gè) 數(shù) 的 和 ( 或差 ) 的 平 方 . a2+2ab+b2=(a+b)2a2 2ab+b2=(a b)215.4.2 公 式 法 (2) 例 5 分 解 因 式 : (1) 16x2+24x+9; (2) x2+4xy4y2

10、. 分 析 : 在 (1)中 , 16x2=(4x)2, 9=32, 24x=24x3, 所 以 16x2+24x+9是 一 個(gè) 完 全 平 方 式 , 即16x2+24x+9=(4x)2+24x3+32a2 2 a b b2+ 解 : (1)16x2+24x+9 = (4x)2+24x3+32 =(4x+3)2. + 解 : (2) x2+4xy 4y2 = (x2 4xy+4y2) = x2 2x2y+(2y)2 = (x 2y)2 . 例 5 分 解 因 式 : (1) 16x2+24x+9; (2) x2+4xy4y2. 例 6 分 解 因 式 : (1) 3ax2+6axy+3ay2

11、; (2) (a+b)2 12(a+b)+36. 分 析 : 在 ( 1) 中 有 公 因 式 3a, 應(yīng) 先 提 出 公因 式 , 再 進(jìn) 一 步 分 解 . 解 : (1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y) 2 . (2)(a+b)2 12(a+b)+36=(a+b)2 2(a+b)6+62=(a+b 6)2. 將 a+b看 作 一 個(gè)整 體 , 設(shè) a+b=m,則 原 式 化 為 完 全平 方 式 m212m+36. 練 習(xí)1.下 列 多 項(xiàng) 式 是 不 是 完 全 平 方 式 ? 為 什 么 ? (1) a2 4a+4; (2)1+4a2; (

12、3) 4b2+4b 1 ; (4)a2+ab+b2.2.分 解 因 式 : (1) x2+12x+36; (2) 2xy x2 y2; (3) a2+2a+1; (4) 4x2 4x+1; (5) ax 2+2a2x+a3; (6) 3x2+6xy 3y2. 應(yīng) 用 提 高 、 拓 展 創(chuàng) 新 1.把 下 列 多 項(xiàng) 式 分 解 因 式 , 從 中 你 能發(fā) 現(xiàn) 因 式 分 解 的 一 般 步 驟 嗎 ? ( 1) ; ( 2) ;( 3) ; ( 4)( 5) . 44 yx 33 abba 22 363 ayaxyax 22 )()( qxpx 36)(12)( 2 baba歸 納 :( 1) 先 提 公 因 式 ( 有 的 話 ) ;( 2) 利 用 公 式 ( 可 以 的 話 ) ;( 3) 分 解 因 式 時(shí) 要 分 解 到 不 能 分 解 為 止 . 2.證 明 : 連 續(xù) 兩 個(gè) 奇 數(shù) 的 平 方 差 可以 被 8整 除 . 今 天 你 有 什 么 收 獲 ?你 還 有 什 么 疑 問 嗎 ?作 業(yè) : 習(xí) 題 15.4, 2、 3、 5.

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