《高考數(shù)學(xué) 數(shù)列專題復(fù)習(xí)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 數(shù)列專題復(fù)習(xí)(6頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題一 數(shù)列【知識(shí)框架】【知識(shí)要點(diǎn)1】一、數(shù)列的概念1. 數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù),記作a1,a2,a3an,簡(jiǎn)記an.2. 數(shù)列an的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系若用一個(gè)公式an=f(n)給出,則這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。3. 如果已知數(shù)列an的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且任何一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,即an =f(an-1)或an =f(an-1,an-2),那么這個(gè)式子叫做數(shù)列an的遞推公式.4. 數(shù)列可以看做定義域?yàn)镹*(或其子集)的函數(shù),當(dāng)自變量由小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值,它的圖像是一群孤立的點(diǎn)。二、數(shù)列的表示方法:列舉法、圖示法、
2、解析法(用通項(xiàng)公式表示)和遞推法(用遞推關(guān)系表示)。三、數(shù)列的分類1. 按照數(shù)列的項(xiàng)數(shù)分:有窮數(shù)列、無窮數(shù)列。2. 按照任何一項(xiàng)的絕對(duì)值是否不超過某一正數(shù)分:有界數(shù)列、無界數(shù)列。3. 從函數(shù)角度考慮分:(考點(diǎn))遞增數(shù)列:對(duì)于任何nN+,均有an+1 an遞減數(shù)列:對(duì)于任何nN+,均有an+1 an擺動(dòng)數(shù)列:例如:1,-1,1,-1,1,-1L- 常數(shù)數(shù)列:例如:6,6,6,6,6,6有界數(shù)列:存在正數(shù)M,使an MS1 (n=1)Sn-Sn-1 (n2)四、an與Sn的關(guān)系:(考點(diǎn))1. Sn = a1+a2+a3+an= 2. an= 【例題1】已知數(shù)列an是遞增數(shù)列,其通項(xiàng)公式為an=n2
3、+n(n=1,2,3) ,則實(shí)數(shù)的取值范圍 。解析: 數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2+n(n=1,2,3) 數(shù)列是遞增數(shù)列an+1-an=(n+1)2+(n+1)- n2-n =2n+1+0 恒成立2n+1+的最小值是3+ 3+0 -3 實(shí)數(shù)的取值范圍是(-3,+)【例題2】數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3n2-28n,則數(shù)列各項(xiàng)中最小項(xiàng)是( B )A第項(xiàng) B第項(xiàng) C第項(xiàng) D第項(xiàng)解析1:an=f(n)= 3n2-28n,f(n)是一元二次函數(shù),其圖像開口向上,有最低點(diǎn),最低點(diǎn)是由于nN+,故取n=4和n=5代入,得到a4=-64,a5=-65,故選擇Banan-1anan+1 3n2-28n3(n
4、-1)2-28(n-1)3n2-28n3(n+1)2-28(n+1) 解析2:設(shè)an為數(shù)列的最小項(xiàng),則有 代入化簡(jiǎn)得到解得: 故n=5【練習(xí)1】在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x的值為( )-2 (n=1)2n-5 (n2)A10 B11 C12 D13【練習(xí)2】數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2-4n+1,則an an=【知識(shí)要點(diǎn)2等差數(shù)列】1. 定義:如果數(shù)列an從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。即an-an-1=d(nN+,且n2),或者an+1-an=d(nN+)2. 通項(xiàng)公式:an=a1+(n-1)d
5、an=am+(n-m)d (公式的變形) an=an+b 其中a=d,b= a1-d3. 前n項(xiàng)和公式: (公式的變形) Sn=An2+Bn 其中A= B=4. 性質(zhì):(1)公式變形(2)如果A=,那么A叫做a和b的等差中項(xiàng).(3)若為等差數(shù)列,且有k+l=m+n, 則(4)若為等差數(shù)列則是等差數(shù)列,其中p,q均為常數(shù)(5)若為等差數(shù)列,則(k,m)組成公差為md的等差數(shù)列.(6)若分別為的前n項(xiàng),前2m項(xiàng),前3m項(xiàng)的和,則,成等差數(shù)列.(7)若設(shè)等差數(shù)列,則是等差數(shù)列,其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同,公差是公差的(7)非零等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)若項(xiàng)數(shù)為2n,則S偶-S奇=nd, 若項(xiàng)數(shù)為2n-1,則
6、S偶=(n-1)an,S奇=nan, 5. 判斷:定義法:an+1-an=d(nN+) 中項(xiàng)法:2an+1=an+ an+2 += 為等差數(shù)列。通項(xiàng)公式法:an=an+b(a,b為常數(shù)) 前n項(xiàng)和公式法:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))【例題1】已知是公差為1的等差數(shù)列,為的前項(xiàng)和,若,則( B ) (A) (B) (C) (D)解析: d=1 S8=8a1+28 S4=4a1+6 S8=4 S4 a1=0.5 an=a1+(n-1)d a10=【例題2】在等差數(shù)列中,若,則= 10 .解析:因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,所以,即,所以,故應(yīng)填入【知識(shí)要點(diǎn)3等比數(shù)列】1. 定義:如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每
7、一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)不為零的常熟,那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常熟叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示,及2. 通項(xiàng)公式:na1 (q=1) 或 (q1)如果等比數(shù)列的公比為q,那么它的通項(xiàng)公式為.3. 前n項(xiàng)和公式:設(shè)等比數(shù)列的公比為q,其前n項(xiàng)和=4. 性質(zhì):(1)等比數(shù)列滿足0q1或0q1時(shí),是遞增數(shù)列;滿足1或0q1時(shí),是遞減數(shù)列.當(dāng)q=1時(shí),為常數(shù)數(shù)列;當(dāng)q0時(shí),為擺動(dòng)數(shù)列,且所有奇數(shù)項(xiàng)與同號(hào),所有偶數(shù)項(xiàng)與異號(hào).(2)對(duì)于正整數(shù)m,n,p,q,若m+n=p+q,則在等比數(shù)列中,的關(guān)系為:(3)若,為等比數(shù)列(項(xiàng)數(shù)相同),則(0),仍是等比數(shù)列.(4)如果a,G,b成等比
8、數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng),且G=ab。不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng),只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng),且有兩個(gè)等比中項(xiàng)。【例題1】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列,則數(shù)列的前項(xiàng)和等于 .解析:由題意解得:a1=1,a4=8, q=2,那么【例題2】數(shù)列中為的前n項(xiàng)和,若,則 6 .解析:an+1=2an 數(shù)列是等比數(shù)列,q=2 Sn= =126 其中a1=2 n=6【知識(shí)要點(diǎn)4】(大題)一、考點(diǎn)1:求an:1. 歸納法(由特殊到一般即找規(guī)律)由于歸納法求解通項(xiàng)的題目一般在選擇填空常見,較少出現(xiàn)在大題中。2. 利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)公式由Sn求an時(shí),要分n=1和n2兩種情況討論,然后驗(yàn)證兩種情況能否
9、用統(tǒng)一的式子表示。若不能,則分段表示.3. 由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式【累加法、累乘法、待定系數(shù)法、階差法(逐差法)、迭代法、對(duì)數(shù)變換法、倒數(shù)變換法、換元法(目的是去遞推關(guān)系式中出現(xiàn)的根號(hào))、數(shù)學(xué)歸納法、不動(dòng)點(diǎn)法(遞推式是一個(gè)數(shù)列通項(xiàng)的分式表達(dá)式)、特征根法】1.累加法:若已知且則,即.2.累乘法:若已知且則 ,即3.換元法:若已知且且p)則令,可得(其中)為等比數(shù)列,其中可用待定系數(shù)法求出.【例題1】已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。(累加法)解:由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為?!纠}2】已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。(累乘法)解:因?yàn)椋?,則,故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為二、考點(diǎn)2:求Sn:1.公
10、式法:直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解2.倒序相加法:在數(shù)列中,與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)和相等或可構(gòu)成能求和的新數(shù)列,可用倒序相加法求此數(shù)列的前n項(xiàng)和。(此法在實(shí)際解體過程中并不常用,例子:等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo))3.錯(cuò)位相減法:在數(shù)列中,是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,可用錯(cuò)位相減法求此數(shù)列的前n項(xiàng)和. 4.裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,求和時(shí)有些部分可以相互抵消,從而達(dá)到求和的目的.5.分組轉(zhuǎn)化求和法:若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列組成,則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法分別求和再相加減。即把復(fù)雜的通項(xiàng)公式求和的任務(wù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的等差和等比的求和。6.并項(xiàng)求和法:一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項(xiàng)求和.形如類型,可采用兩項(xiàng)合并求解.【例題1】設(shè)數(shù)列滿足 ,(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,求數(shù)列的前n項(xiàng)和。(錯(cuò)位相減法)解析:(1)由已知,當(dāng)n1時(shí),。 而 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。(2)由知 從而 -得 即 【例題2】求數(shù)列的前n項(xiàng)和。(裂項(xiàng)相消法)解析:設(shè) (裂項(xiàng))則 (裂項(xiàng)求和) - 6 -