天津市七校高三4月聯(lián)考 理科數(shù)學(xué)試題及答案

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1、學(xué)校_ 班 級(jí)_ 姓 名_ 考 號(hào)_ 座位號(hào)_-密-封-線-七校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)(理)試卷 2015.04.1、 選擇題（每題5分，共8道）1、設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+i,z2=2+bi,若為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)b=()A. -2 B.2 C.-1 D.12、不等式組表示的平面區(qū)域是()3、已知, ,則() A. a b c B. a c b C. c a b D. c b a4、閱讀如下程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為()A.7 B.9 C.10 D.115、已知雙曲線C的離心率為2,焦點(diǎn)為,點(diǎn)A在C上.若|=2|,則cos=()A. B. C. D.6、已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所

2、示,則四棱錐P-ABCD的四個(gè)側(cè)面中的最大面積是() A.3 B.8 C. D.6；7、已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足,若存在兩項(xiàng),使得,則的最小值為()A. B. C. D.不存在8、已知定義在R上的函數(shù)y=f(x) 對(duì)于任意的x都滿足f(x+1) =-f(x), 當(dāng)-1x對(duì)一切nN*都成立的最大正整數(shù)k的值;(3)設(shè),是否存在mN*,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.19、（14分）橢圓E:(ab0)的焦點(diǎn)到直線x-3y=0的距離為,離心率為;拋物線G:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)與橢圓E的焦點(diǎn)重合;斜率為k的直線l過(guò)G的焦點(diǎn),與E交于A,B,與G交于C

3、,D.(1)求橢圓E及拋物線G的方程;(2)是否存在常數(shù),使為常數(shù),若存在,求出的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.20、（14分）已知函數(shù)f(x) =elnx, g(x) =lnx-x-1, h(x) =x2. (1) 求函數(shù)g(x) 的極大值; (2) 求證: 存在x0(1, +), 使g(x0) =g; (3) 對(duì)于函數(shù)f(x) 與h(x) 定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x, 若存在常數(shù)k, b, 使得f(x) k x+b和h(x) k x+b都成立, 則稱直線y=k x+b為函數(shù)f(x) 與h(x) 的分界線. 試探究函數(shù)f(x) 與h(x) 是否存在“分界線”? 若存在, 請(qǐng)給予證明, 并求出k, b的

4、值; 若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由. 高三年級(jí)七校聯(lián)考 理科數(shù)學(xué) 答案（2015.4）一、選擇題：題號(hào)12345678答案ABCBADAA二、填空題：9、36，18 10、5 11、 12、4 13、 14、12三、解答題： 15、解析（1）/（為銳角）（2）由 得 ，. 即的最大值為.16、解析 （1）記“從15天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取三天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件， （4分）（2）依據(jù)條件，服從超幾何分布：其中，的可能值為0,1,2,3,（0，1,2,3） （7分）其分布列為：0123 （10分）（3）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率為（11分）設(shè)一年中空氣質(zhì)

5、量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)為，則.，一年中平均有240天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí).（13分）17、解析（1）在中, ,為中點(diǎn)，所以，又側(cè)面底面，平面平面，平面，所以平面.又在直角梯形中，連結(jié)，易得，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 ，易證平面，是平面的法向量，.直線與平面所成角的余弦值為.（2）,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得.點(diǎn)到平面的距離.（3）存在.設(shè)（）,，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得.又平面的一個(gè)法向量為，二面角的余弦值為，得，解得或（舍）,存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，且.18、解析（1）設(shè)、的公共焦點(diǎn)為，由題意得，故，.（2分）橢圓：，拋物

6、線：.（4分）（2）存在.設(shè)，.直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立得化簡(jiǎn)得，.， （6分） （7分）.直線的方程為與拋物線的方程聯(lián)立得化簡(jiǎn)得， （9分）. （11分）,要使為常數(shù)，則，得,故存在,使為常數(shù). （14分）19、解析（1）當(dāng)時(shí)，（1分）當(dāng)時(shí)， （2分）而當(dāng)時(shí)， （）. （4分）（2）， .（7分），單調(diào)遞增，. （8分）令，得，所以. （10分）（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，. （12分）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)， （舍去）綜上，存在唯一正整數(shù)，使得成立. （14分）20、解析（1）（）. （1分）令，解得；令，解得. （2分）函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. （3分）的極大值為 （4分）（2）

7、由（1）知在上單調(diào)遞減，令，則在上單調(diào)遞減.， （5分）取，則.（6分）故存在，使，即存在，使.（7分）（說(shuō)明: 的取法不唯一, 只要滿足, 且即可）（3）設(shè)（）, 則，當(dāng)時(shí), , 函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即.函數(shù)與的圖象在處有公共點(diǎn). （9分）設(shè)與存在“分界線”且其方程為，令函數(shù)，由，得在上恒成立，即在上恒成立，即，故. （11分）下面說(shuō)明：，即（）恒成立.設(shè)，則.當(dāng)時(shí), ，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí)，取得最大值，.（）恒成立. （13分）綜合知，且，故函數(shù)與存在“分界線”, 且，. （14分）、 理科數(shù)學(xué)試卷第 17 頁(yè)（共20 頁(yè)） 理科數(shù)學(xué)試卷第 18 頁(yè)（共20頁(yè)）