新版國家開放大學電大本科《常微分方程》網(wǎng)絡課形考任務3試題及答案匯編

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1、 新版國家開放大學電大本科《常微分方程》網(wǎng)絡課形考任務3試題及答案匯編 國家開放大學電大本科《常微分方程》網(wǎng)絡課形考任務3試題及答案 形考任務3 常微分方程學習活動3 第一章 初等積分法的綜合練習 本課程形成性考核綜合練習共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習、第二章基本定理的綜合練習、第三章和第四章的綜合練習，目的是通過綜合性練習作業(yè)，同學們可以檢驗自己的學習成果，找出掌握的薄弱知識點，重點復習，爭取盡快掌握． 要求：首先請同學們下載作業(yè)附件文檔并進行填寫，文檔填寫完成后請在本次作業(yè)頁面中點擊“去完成”按鈕進入相應網(wǎng)頁界面完成任務，然后請將所做完的作業(yè)文檔以附件的

2、形式上傳到課程上，隨后老師會在課程中進行評分。 一、填空題 1．微分方程是 二 階微分方程． 2．初值問題的解所滿足的積分方程是． 3．微分方程是 一階線性非齊次微分方程 ．（就方程可積類型而言）4．微分方程是 全微分方程 ．（就方程可積類型而言）5．微分方程是 恰當?shù)箶?shù)方程 ．（就方程可積類型而言）6．微分方程的所有常數(shù)解是． 7．微分方程的常數(shù)解是 ． 8．微分方程的通解為． 9．微分方程的通解是. 10．一階微分方程的一個特解的圖像是　二 維空間上的一條曲線． 二、計算題 1．指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程：（1） 答：

3、一階，非線性 （2） 答：四階，線性 （3） 答：三階，非線性 2．用分離變量法求解下列方程：（1） （2） （3） 2．（1）解 通積分為 （2）解 當時，分離變量，兩端取積分得 即 通積分為 另外，是常數(shù)解， 注: 在方程求解時，求出顯式通解或隱式通解（通積分）即可，常數(shù)解可以不求。 （3）解 當時, 方程可變?yōu)? ， 通積分為 或 , 上式代入初值條件. 得. 于是初值問題解為 . 3．解下列齊次線性微分方程 （1） （2） （1）解 顯然是方程的解. 當時, 原方程

4、可化為 . 令, 則原方程可化為 , 即 易于看出, 是上面方程的解, 從而 是原方程的解. 當時, 分離變量得, . 兩端積分得 將換成, 便得到原方程的解 , . 故原方程的通解為（為任意常數(shù)）及 . （2）解 顯然是方程的解. 當時, 原方程可化為 . 令, 則原方程可化為 , 即 易于看出, 是上式的解, 從而是原方程的解. 當時, 分離變量得, . 兩端積分得 . 將換成, 便得到原方程的解 . 故原方程的通解為 . 4．解下列一階線性微分方程：（1） （2） （1）解

5、 先解齊次方程 . 其通解為 . 用常數(shù)變易法, 令非齊次方程通解為 . 代入原方程, 化簡后可得. 積分得到 . 代回后即得原方程通解為 . （2）解 先解齊次方程 . 其通解為 . 用常數(shù)變易法, 令非齊次方程通解為 . 代入原方程, 化簡后可得 . 積分得到 . 代回后即得原方程通解為 . 5．解下列伯努利方程 （1） （2） （1）解 顯然是方程解. 當時, 兩端同除, 得 . 令, 代入有 它的解為 于是原方程的解為，及 （2）解 顯然是方程解. 當時, 兩端同除, 得

6、 . 令, 代入有 它的解為 ， 于是原方程的解， 及 6．解下列全微分方程：（1） （2）（1）解 因為 , 所以這方程是全微分方程, 及 在整個平面都連續(xù)可微, 不妨選取. 故方程的通積分為 , 即 . （2）解 因為 , 所以這方程是全微分方程, 及 在整個平面都連續(xù)可微, 不妨選取. 故方程的通積分為 , 即 . 7．求下列方程的積分因子和積分：（1） （2） （1）解 因為 , 與y無關(guān), 故原方程存在只含x的積分因子. 由公式（1. 58）得積分因子，即 于是方程 為全微分方程

7、.取 . 于是方程的通積分為. 即 . （2）解 因為 , 與y無關(guān), 故原方程存在只含x的積分因子. 解方程 由公式（1. 58）得積分因子，即 于是方程 為全微分方程. 取 . 于是通積分為. 即. 8．求解下列一階隱式微分方程 （1） （2） （1）解 將方程改寫為 即或 解得通積分為：, 又是常數(shù)解. （2）解 顯然是方程的解. 當時, 方程可變?yōu)?, 令, 則上面的式子可變?yōu)?. 解出u得, . 即 . 對上式兩端積分得到方程的通解為 9．求解下列方程 （1） （2） （1）解

8、令 , 則. 代入原式得. 解出得 . 這是克萊洛方程，通解為 . 即 . 解之得 （為任意常數(shù)）. （2）解 化簡得 ， 即 求積分得 . . 三、證明題 1．設函數(shù)，在上連續(xù)，且， （a, b為常數(shù)）．求證：方程 的一切解在上有界． 2．設在上連續(xù)，且，求證：方程 的一切解，均有． 1．證明 設y=y是方程任一解，且滿足y=y0, 則 由于，所以對任意ε＞0,存在＞x0,使得x＞時 有 令，則 于是得到 又在[x0，x1]上y有界設為M2，現(xiàn)取 ， 則 2．證明 設是方程任一解，滿足，該解的表達式為

9、 取極限 = 四、應用題 1．按牛頓冷卻定律：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比, 已知空氣溫度為, 而物體在15分鐘內(nèi)由 冷卻到 , 求物體冷卻到所需的時間. 2．重為100kg的物體，在與水平面成30的斜面上由靜止狀態(tài)下滑，如果不計磨擦，試求：（1）物體運動的微分方程；（2）求5 s后物體下滑的距離，以及此時的速度和加速度． 1． 解 設物體在時刻t的溫度為，由題意滿足初值問題 其中為常數(shù)． 解得 設物體冷卻到40℃所需時間為，于是由得 解得 52分鐘. 2．解 取初始下滑點為原點，軸正向垂直向下，設 時刻速度為 , 距離為, 由題意滿足初值問題 解得 再由解得 于是得到5秒后， ， , ．