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新版國(guó)家開放大學(xué)電大本科《常微分方程》網(wǎng)絡(luò)課形考任務(wù)3試題及答案匯編
國(guó)家開放大學(xué)電大本科《常微分方程》網(wǎng)絡(luò)課形考任務(wù)3試題及答案 形考任務(wù)3 常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)3 第一章 初等積分法的綜合練習(xí) 本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過(guò)綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取盡快掌握． 要求：首先請(qǐng)同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請(qǐng)?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁(yè)面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相應(yīng)網(wǎng)頁(yè)界面完成任務(wù)，然后請(qǐng)將所做完的作業(yè)文檔以附件的
2、形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評(píng)分。
一、填空題 1．微分方程是 二 階微分方程． 2．初值問(wèn)題的解所滿足的積分方程是． 3．微分方程是 一階線性非齊次微分方程 ．（就方程可積類型而言）4．微分方程是 全微分方程 ．（就方程可積類型而言）5．微分方程是 恰當(dāng)?shù)箶?shù)方程 ．（就方程可積類型而言）6．微分方程的所有常數(shù)解是． 7．微分方程的常數(shù)解是 ． 8．微分方程的通解為． 9．微分方程的通解是. 10．一階微分方程的一個(gè)特解的圖像是 二 維空間上的一條曲線． 二、計(jì)算題 1．指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程：（1） 答：
3、一階，非線性 （2） 答：四階，線性 （3） 答：三階，非線性 2．用分離變量法求解下列方程：（1） （2） （3） 2．（1）解 通積分為 （2）解 當(dāng)時(shí)，分離變量，兩端取積分得 即 通積分為 另外，是常數(shù)解， 注: 在方程求解時(shí)，求出顯式通解或隱式通解（通積分）即可，常數(shù)解可以不求。
（3）解 當(dāng)時(shí), 方程可變?yōu)? ， 通積分為 或 , 上式代入初值條件. 得. 于是初值問(wèn)題解為 . 3．解下列齊次線性微分方程 （1） （2） （1）解 顯然是方程的解. 當(dāng)時(shí), 原方程
4、可化為 . 令, 則原方程可化為 , 即 易于看出, 是上面方程的解, 從而 是原方程的解. 當(dāng)時(shí), 分離變量得, . 兩端積分得 將換成, 便得到原方程的解 , . 故原方程的通解為（為任意常數(shù)）及 . （2）解 顯然是方程的解. 當(dāng)時(shí), 原方程可化為 . 令, 則原方程可化為 , 即 易于看出, 是上式的解, 從而是原方程的解. 當(dāng)時(shí), 分離變量得, . 兩端積分得 . 將換成, 便得到原方程的解 . 故原方程的通解為 . 4．解下列一階線性微分方程：（1） （2） （1）解
5、 先解齊次方程 . 其通解為 . 用常數(shù)變易法, 令非齊次方程通解為 . 代入原方程, 化簡(jiǎn)后可得. 積分得到 . 代回后即得原方程通解為 . （2）解 先解齊次方程 . 其通解為 . 用常數(shù)變易法, 令非齊次方程通解為 . 代入原方程, 化簡(jiǎn)后可得 . 積分得到 . 代回后即得原方程通解為 . 5．解下列伯努利方程 （1） （2） （1）解 顯然是方程解. 當(dāng)時(shí), 兩端同除, 得 . 令, 代入有 它的解為 于是原方程的解為，及 （2）解 顯然是方程解. 當(dāng)時(shí), 兩端同除, 得
6、 . 令, 代入有 它的解為 ， 于是原方程的解， 及 6．解下列全微分方程：（1） （2）（1）解 因?yàn)?, 所以這方程是全微分方程, 及 在整個(gè)平面都連續(xù)可微, 不妨選取. 故方程的通積分為 , 即 . （2）解 因?yàn)?, 所以這方程是全微分方程, 及 在整個(gè)平面都連續(xù)可微, 不妨選取. 故方程的通積分為 , 即 . 7．求下列方程的積分因子和積分：（1） （2） （1）解 因?yàn)?, 與y無(wú)關(guān), 故原方程存在只含x的積分因子. 由公式（1. 58）得積分因子，即 于是方程 為全微分方程
7、.取 . 于是方程的通積分為. 即 . （2）解 因?yàn)?, 與y無(wú)關(guān), 故原方程存在只含x的積分因子. 解方程 由公式（1. 58）得積分因子，即 于是方程 為全微分方程. 取 . 于是通積分為. 即. 8．求解下列一階隱式微分方程 （1） （2） （1）解 將方程改寫為 即或 解得通積分為：, 又是常數(shù)解. （2）解 顯然是方程的解. 當(dāng)時(shí), 方程可變?yōu)?, 令, 則上面的式子可變?yōu)?. 解出u得, . 即 . 對(duì)上式兩端積分得到方程的通解為 9．求解下列方程 （1） （2） （1）解
8、令 , 則. 代入原式得. 解出得 . 這是克萊洛方程，通解為 . 即 . 解之得 （為任意常數(shù)）. （2）解 化簡(jiǎn)得 ， 即 求積分得 . . 三、證明題 1．設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，且， （a, b為常數(shù)）．求證：方程 的一切解在上有界． 2．設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程 的一切解，均有． 1．證明 設(shè)y=y是方程任一解，且滿足y=y0, 則 由于，所以對(duì)任意ε＞0,存在＞x0,使得x＞時(shí) 有 令，則 于是得到 又在[x0，x1]上y有界設(shè)為M2，現(xiàn)取 ， 則 2．證明 設(shè)是方程任一解，滿足，該解的表達(dá)式為
9、 取極限 = 四、應(yīng)用題 1．按牛頓冷卻定律：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比, 已知空氣溫度為, 而物體在15分鐘內(nèi)由 冷卻到 , 求物體冷卻到所需的時(shí)間. 2．重為100kg的物體，在與水平面成30的斜面上由靜止?fàn)顟B(tài)下滑，如果不計(jì)磨擦，試求：（1）物體運(yùn)動(dòng)的微分方程；（2）求5 s后物體下滑的距離，以及此時(shí)的速度和加速度． 1． 解 設(shè)物體在時(shí)刻t的溫度為，由題意滿足初值問(wèn)題 其中為常數(shù)． 解得 設(shè)物體冷卻到40℃所需時(shí)間為，于是由得 解得 52分鐘. 2．解 取初始下滑點(diǎn)為原點(diǎn)，軸正向垂直向下，設(shè) 時(shí)刻速度為 , 距離為, 由題意滿足初值問(wèn)題 解得 再由解得 于是得到5秒后， ， , ．
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