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1、
中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 代數(shù)式
一. 教學(xué)目標(biāo)：
1. 復(fù)習(xí)整式的有關(guān)概念，整式的運(yùn)算
2. 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分組分解法等因式分解方法，能把簡(jiǎn)單多項(xiàng)式分解因式。
3. 掌握分式的概念、性質(zhì)，掌握分式的約分、通分、混合運(yùn)算。
4. 理解平方根、立方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、立方根和算術(shù)平方根。會(huì)求實(shí)數(shù)的平方根、算術(shù)平方根和立方根，了解二次根式、最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式的概念，會(huì)辨別最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式。掌握二次根式的性質(zhì)，會(huì)化簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的二次根式，能根據(jù)指定字母的取值范圍將二次根式化簡(jiǎn)；掌握二次根式的運(yùn)算法
2、則，能進(jìn)行二次根式的加減乘除四則運(yùn)算，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的分母有理化。
二. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：
因式分解法在整式、分式、二次根式的化簡(jiǎn)與混合運(yùn)算中的綜合運(yùn)用。
三.知識(shí)要點(diǎn)：
知識(shí)點(diǎn)1 整式的概念
（1）整式中只含有一項(xiàng)的是單項(xiàng)式，否則是多項(xiàng)式，單獨(dú)的字母或常數(shù)是單項(xiàng)式；
（2）單項(xiàng)式的次數(shù)是所有字母的指數(shù)之和；
多項(xiàng)式的次數(shù)是多項(xiàng)式中最高次項(xiàng)的次數(shù)；
（3）單項(xiàng)式的系數(shù)，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)的系數(shù)均包括它前面的符號(hào)
（4）同類項(xiàng)概念的兩個(gè)相同與兩個(gè)無(wú)關(guān)：
兩個(gè)相同：一是所含字母相同，二是相同字母的指數(shù)相同；
兩個(gè)無(wú)關(guān)：一是與系數(shù)的大小無(wú)關(guān)，二是與字母的順序無(wú)關(guān)
3、；
（5）整式加減的實(shí)質(zhì)是合并同類項(xiàng)；
（6）因式分解與整式乘法的過程恰為相反。
知識(shí)點(diǎn)2 整式的運(yùn)算 （如結(jié)構(gòu)圖）
知識(shí)點(diǎn)3 因式分解
多項(xiàng)式的因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積．分解因式要進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止．分解因式的常用方法有：
（1）提公因式法
如多項(xiàng)式
其中m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，m既可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式．
（2）運(yùn)用公式法，即用
寫出結(jié)果．
（3）十字相乘法
對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為l的二次三項(xiàng)式 尋找滿足ab＝q，a＋b＝p的a，b，如有，則對(duì)于一般的二次三項(xiàng)
4、式尋找滿足
a1a2＝a，c1c2＝c，a1c2＋a2c1＝b的a1，a2，c1，c2，如有，則
（4）分組分解法：把各項(xiàng)適當(dāng)分組，先使分解因式能分組進(jìn)行，再使分解因式在各組之間進(jìn)行．
分組時(shí)要用到添括號(hào)：括號(hào)前面是“＋”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；括號(hào)前面是“－”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).
（5）求根公式法：如果有兩個(gè)根x1，x2，那么。
知識(shí)點(diǎn)4 分式的概念
（1）分式的定義：整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么稱為分式，其中A稱為分式的分子，B為分式的分母。
對(duì)于任意一個(gè)分式，分母都不能為零。
（2）分式的約分
（3）分式的通分
5、知識(shí)點(diǎn)5 分式的性質(zhì)
（1）（2）已知分式，分式的值為正：a與b同號(hào)；分式的值為負(fù)：a與b異號(hào)；分式的值為零：a＝0且b0；分式有意義：b0。
（3）零指數(shù)
（4）負(fù)整數(shù)指數(shù)
（5）整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
上述等式中的m、n可以是0或負(fù)整數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)6 根式的有關(guān)概念
1. 平方根：若x2＝a（a>0），則x叫做a的平方根，記為。
注意：①正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；②0的平方根是0；③負(fù)數(shù)沒有平方根；
2. 算術(shù)平方根：一個(gè)數(shù)的正的平方根叫做算術(shù)平方根；
3. 立方根：若x3＝a（a>0），則x叫做a的立方根，記為。
4. 最簡(jiǎn)二次根式
被
6、開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式。
5. 同類二次根式：化簡(jiǎn)后被開方數(shù)相同的二次根式。
知識(shí)點(diǎn)7 二次根式的性質(zhì)
①是一個(gè)非負(fù)數(shù)； ②
③ ④
⑤
知識(shí)點(diǎn)8 二次根式的運(yùn)算
（1）二次根式的加減
二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同類二次根式分別合并．
（2）二次根式的乘法
二次根式相乘，等于各個(gè)因式的被開方數(shù)的積的算術(shù)平方根，即
二次根式的和相乘，可參照多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行．
兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有
7、二次根式，那么這兩個(gè)二次根式互為有理化因式．
（3）二次根式的除法
二次根式相除，通常先寫成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根號(hào)化去（或分子、分母約分）．把分母的根號(hào)化去，叫做分母有理化．
例題精講
例1. 如果單項(xiàng)式與的和①為0時(shí)，a、m、n各為多少？ ②仍為一個(gè)單項(xiàng)式，a、m、n各為多少？
解：① ②
a為有理數(shù)
例2. 因式分解：（1） （2） （3）－2x2＋5xy＋2y2
解：①原式＝m（2x＋3y）（2x－3y）
②原式
③令
∴ ∴
原式＝－2
8、（x－）（x－）
例3. （1）已知的結(jié)果中不含項(xiàng)，求k的值；
（2）的一個(gè)因式是，求k的值；
解：（1）a2的系數(shù)為：3k－2＝0 ∴k＝
（2）當(dāng)a＝－1時(shí)（－1）3－（－1）2＋（－1）＋k＝0 ∴k＝3
例4. 利用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）的值，
你能確定積的個(gè)位數(shù)是幾嗎？
解：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）
＝264－1 ∵264的個(gè)位數(shù)為6 ∴積的個(gè)位數(shù)字為5
例5. x為何值時(shí)，下列分式的值為0?無(wú)意義？
（1） （2）
9、
解：當(dāng)①x＝2 ②x＝1 時(shí)為零 當(dāng)③x＝－2 ④x＝2，x＝－1時(shí)分式無(wú)意義
例6. 分式的約分與通分
1. 約分： 2. 通分，，
解：①原式＝ ②,,
例7. 先化簡(jiǎn)后再求值：，其中
原式＝＋
＝＋＝
當(dāng)x＝＋1時(shí)，原式＝1
例8. 若最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，求a的值。
解：1＋a＝4a2－2＝0, a1＝1 ， a2＝－
例9. 已知:a＝,求值
解：∵a＝ ∴a＝2－＜1
原式＝＋1 ＝－（a－1）＋1 ＝－a＋1＋1＝－a＋2
當(dāng)a＝時(shí)，a＝2－,
∴原式＝－2－－2＋＋2＝－2
10、例10. 把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)：
（1）； （2）； （3）； （4）
解：（1）原式＝ （2）原式＝ （3）原式＝ （4）原式＝
例11. 觀察下列各式及其驗(yàn)證過程
2。驗(yàn)證：
3。驗(yàn)證：
根據(jù)上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想4的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證。
針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為任意自然數(shù)，且n≥2）表示的等式,并給出證明。
解：（1）
（2）
課后練習(xí)
一. 選擇題
1. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
2. 把a(bǔ)2－a－6分解因式，正確的是（ ）
A
11、. a（a－1）－6 B. （a－2）（a＋3） C. （a＋2）（a－3） D. （a－1）（a＋6）
3. 設(shè)（x＋y）（x＋2＋y）－15＝0,則x＋y的值是（ ?。?
A. －5或3 B. －3或5 C. 3 D. 5
4. 不論ａ為何值，代數(shù)式－ａ2＋4ａ－5的值（ ?。?
A. 大于或等于0 B. 0 C. 大于0 D. 小于0
5. 化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列命題：（1）任
12、何數(shù)的平方根都有兩個(gè)（2）如果一個(gè)數(shù)有立方根，那么它一定有平方根（3）算術(shù)平方根一定是正數(shù)（4）非負(fù)數(shù)的立方根不一定是非負(fù)數(shù)，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 當(dāng)1
13、
10. 若x2＋kx－6有一個(gè)因式是（x－2），則k的值是 ;
11. 的平方根是 ，9的算術(shù)平方根是 ， 是－64的立方根。
12. 的倒數(shù)是 ；的絕對(duì)值是 。的有理化因式是 ，的有理化因式是 。
三. 計(jì)算與解答題
13. 三角形某一邊等于，第二邊比第一邊?。ǎ?，而第三邊比第一邊大（），這個(gè)三角形周長(zhǎng)為多少？
14. ａ、ｂ、ｃ為⊿ABC三邊，利用因式分解說(shuō)明ｂ2－ａ2＋2ａｃ－ｃ2的符號(hào)
15. 實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解
（1）ｘ2－2ｘ－4 ?。?）4ｘ2＋8ｘ－
14、1 ?。?）2ｘ2＋4ｘｙ＋ｙ2
16. 已知 x2－5xy＋6y2＝0 求的值
17. 試求函數(shù)ｔ＝2－的最大值和最小值。
練習(xí)答案
試題答案
一. 選擇題。
1~5 CCADB 6~7DC
二. 填空題。
8. 3x＋5
9. 是原來(lái)的
10. 1
11. , 3,－4
12.
三. 解答題
13. 2a＋b－（）＝2a＋ 2a＋b＋（）＝2a＋
（2a＋b）＋（2a＋b－2）＋（2a＋）＝6a＋3b－4
14. 原式＝b2－（a－c）2＝（b＋a－c）（b－a＋c）＞0
15. （1）原式＝（x－1－）（x－1＋）
（3）原式＝2（x－）（x－）
（2）原式＝4（x－）（x－）
16. 解：（x－2y）（x－3y）＝0
∴x＝2y或x＝3y
當(dāng)x＝2y時(shí)，
當(dāng)x＝3y時(shí)，
17. 解：t＝2
∵ 0≤－3（x－2）2＋3≤3
∴t最大值＝2，t最小值＝
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