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1、
哈爾濱市第六中學(xué)校2015屆第三次模擬考試
文科數(shù)學(xué)
考試說(shuō)明：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
（1）答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚；
（2）選擇題必須使用2B鉛筆填涂, 非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫, 字體工整, 字跡清楚；
（3）請(qǐng)?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效；
（4）保持卡面清潔，不得折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀．
參考公式：
柱體體積公式，其中為底面面積，為高；錐體體積公式，其中為底面面積，為高，球的表面
2、積和體積公式，，其中為球的半徑，
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
3．若，則（ ）
A. B. 0 C. D. 1
4. 已知向量, 向量，則的最大值，最小值分別是
3、( )
A．4，0 B．，4
C．，0 D．16，0
5. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面
積為（ ）
A. B. C. D.
6. 已知滿足約束條件，則下列目標(biāo)函數(shù)中，在點(diǎn)處取得最小值的是（ ）
A. B.
C. D.
7．執(zhí)行右邊的程序框圖，若，則輸出的為（ ）
A． B．
C． D．
8. 柜子里有3雙不同的鞋，隨機(jī)地取出2只，則
4、取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但它們不成對(duì)的概率為（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函數(shù)，若的圖像的一條切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則這條切線與直線及軸所圍成的三角形面積為（ ）
A. B.1 C. 2 D.
10. 如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90，BC1⊥AC，則C1在底
面ABC上的射影H必在( )
A．直線AB上 B．直線BC上
C．直線AC上
5、 D．△ABC內(nèi)部
11. 過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)作軸的垂線與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A，若以的右焦點(diǎn)F為圓心，半徑為4的圓經(jīng)過(guò)A,O兩點(diǎn)（O為原點(diǎn)），則雙曲線的方程為（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意都有，且當(dāng)時(shí)導(dǎo)函數(shù)滿足，若，則（ ）
A. B.
C. D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。
13. 已知函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，則的取值范圍是 .
14. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與
6、拋物線在第一、
四象限分別交于兩點(diǎn)，則 .
15. 給出下列4個(gè)函數(shù)：①；②；③；④，則滿足對(duì)定義域D內(nèi)的，,使成立的函數(shù)序號(hào)為 .
16. 正三角形的邊長(zhǎng)為2，分別在三邊上，為的中點(diǎn)，，且，則 .
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明過(guò)程或演算步驟。
17. （本小題滿分12分）
已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足： 且是的等差中項(xiàng).
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，其前項(xiàng)和為，求.
18. （本小題滿分12分）
某氣象
7、站觀測(cè)點(diǎn)記錄的連續(xù)4天里，AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見(jiàn)度（單位cm）的情況如下表1：
M
900
700
300
100
0.5
3.5
6.5
9.5
哈爾濱市某月AQI指數(shù)頻數(shù)分布如下表2：
M
頻數(shù)
3
6
12
6
3
（1）設(shè),根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程；
（參考公式：；其中，）
（2）小張開(kāi)了一家洗車店，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)M不高于200時(shí)，洗車店平均每天虧損約2000元；當(dāng)M在200至400時(shí)，洗車店平均每天收入約4000元；當(dāng)M大于400時(shí)，洗車店平均每天收入約7000元；根據(jù)表2估計(jì)小張的洗車店該月份平均每天的
8、收入.
19. （本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐中，為菱形，平面,,是棱上的動(dòng)點(diǎn)，面積的最小值是3.
（1）求證：；
（2）求四棱錐的體積.
20. （本小題滿分12分）
已知分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線交橢圓于點(diǎn).
（1）若點(diǎn)C坐標(biāo)為，且，求橢圓的方程；
（2）若, 求橢圓的離心率.
21. （本小題滿分12分）
已知函數(shù).
（1）證明：； （2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.
（22題圖）
請(qǐng)考生在（22）、（23）、（24）三題中任
9、選一題作答，如果多答，則按做的第一題記分．作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)題號(hào)右側(cè)的方框涂黑．
22．（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講
如圖所示,已知圓外有一點(diǎn),作圓的切線,為切點(diǎn),過(guò)的中點(diǎn),作割線,交圓于、兩點(diǎn),連接并延長(zhǎng),交圓于點(diǎn),連接交圓于點(diǎn),若.
（1）求證：△∽△;
（2）求證：四邊形是平行四邊形.
23．(本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系有相同的長(zhǎng)度單位，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸，已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），M為曲線C上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作軸的垂線段MN，垂足為N, MN中點(diǎn)P的軌跡方程為.
10、
（1）求曲線的參數(shù)方程；
（2）已知曲線上的兩點(diǎn) ，求面積的最小值及此時(shí)的值.
24．（本小題滿分10分）選修4—5；不等式選講．
對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．
哈六中2015屆高三第三次模擬考試文科數(shù)學(xué)試題答案
一、選擇題：CDDA DBBB CAAC
二、填空題：13. 14. 3 15. ①③④ 16.
三、解答題：
17.（1）解：由 得 ，………………2分
由且為遞增數(shù)列，解得，…………………4分
11、故，則……………………6分
（2）……………………8分
………………12分
18.解：（1）……………………2分
，…4分
，…………………………6分
關(guān)于的回歸方程是 ……………………………7分
（2）根據(jù)表2知：30天中有3天每天虧損約2000元，有6天每天收入約4000元，有21天每天收入約7000元，……………………………9分
故該月份平均每天的收入約為（元）………12分
19. （1）證明：∵ABCD是菱形，∴
∵平面, ∴……………2分
又………………
12、3分
∴平面，平面, ∴…………………4分
（2）解：連接∵且平面，∴
又∵且為公共邊，則≌,∴,則…6分
∵, ∴
當(dāng)面積的最小值是3時(shí)，有最小值1…………………8分
∵當(dāng)時(shí)，取最小值，∴,
由 ，得,又……………10分
故…………………12分
20. 解：（1）∵， ∴ ①
∵點(diǎn)在橢圓上， ∴ ②…………………2分
由①②解得，故所求橢圓方程為……………………4分
13、
（2）已知，設(shè)，∵軸，∴，
則，，
∵，∴ ①……………………………6分
∵在橢圓上，∴ ② 由①②解得………7分
∵在第四象限，∴③
又∵三點(diǎn)共線，∴∥, 故，④………………9分
將③代入④得，整理得，即，………11分
則，故…………………12分
21.解：（1）∵，∴，令，由=0解得，
0
0
↘
極小值1
↗
∴， 故…………………5分
（2）①若，則時(shí)，，不等式不成立；…………6分
②若，則當(dāng)時(shí)，，不等式成立；………………7分
14、③若，則等價(jià)于
設(shè)，則
若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，；…………9分
若，則當(dāng)時(shí)，
，單調(diào)遞減，，不等式不恒成立?！?1分
綜上，的取值范圍是……………………………………12分
22．證明：（1）∵是圓的切線, 是圓的割線, 是的中點(diǎn),
∴, ∴,
又∵, ∴△∽△,
∴, 即.
∵, ∴, ∴,
∴△∽△. …………………5分
（2）∵,∴,即,
∴, ∵△∽△,∴,
∵是圓的切線,∴,
∴,即,
∴, ∴四邊形PMCD是平行四邊形.………………10分
23.解：（1）設(shè)
∵軸于點(diǎn)，∴
∵為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為為參數(shù)）…………4分
（2）的普通方程為，化為極坐標(biāo)方程為………5分
∵在上，∴ ，
解得，…………………6分
……………9分
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，即，
∵， ∴或……………………10分
24．解：原式等價(jià)于，設(shè)，
則原式變?yōu)閷?duì)任意恒成立． 2分
因?yàn)?，最小值為時(shí)取到，為． 6分
所以有≥解得． 10分
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黑龍江省哈爾濱第六中學(xué)高三第三次模擬考試 文科數(shù)學(xué)試題及答案
