[小學一年級]一年級數(shù)學應用題

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1、同學們已經(jīng)知道，下面的五組成對的數(shù)相加之和都等于10：1+9=102+8=103+7=104+6=105+5=10巧用這些結果，可以使計算又快又準。例1 計算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10解：對于這道題，當然可以從左往右逐步相加：1+2=3 3+3=66+4=10 10+5=1515+6=21 21+7=2828+8=36 36+9=4545+10=55這種逐步相加的方法，好處是可以得到每一步的結果，但缺點是麻煩、容易出錯；而且一步出錯，以后步步都錯。若是利用湊十法，就能克服這種缺點。二、湊整法同學們還知道，有些數(shù)相加之和是整十、整百的數(shù)，如：1+19=20 11+9=302+18=

2、20 12+28=403+17=20 13+37=504+16=20 14+46=605+15=20 15+55=706+14=20 16+64=807+13=20 17+73=908+12=20 18+82=1009+11=20又如：15+85=100 14+86=10025+75=100 24+76=10035+65=100 34+66=10045+55=100 44+56=100等等巧用這些結果，可以使那些較大的數(shù)相加又快又準。像10、20、 30、40、50、60、70、80、90、100等等這些整十、整百的數(shù)就是湊整的目標。例2 計算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19解

3、：這是求1到19共10個單數(shù)之和，用湊整法做：100例3 計算2+4+6+8+10+12+14+16+18+20解：這是求2到20共10個雙數(shù)之和，用湊整法做：110例4 計算2+13+25+44+18+37+56+75解：用湊整法：三、用已知求未知 利用已經(jīng)獲得較簡單的知識來解決面臨的更復雜的難題這是人們認識事物的一般過程，湊十法、湊整法的實質(zhì)就是這個道理，可見把這種認識規(guī)律用于計算方面，可使計算更快更準。下面再舉兩個例子。例5 計算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20解：由例2和例3，已經(jīng)知道從1開始的前10個單數(shù)之和以及從2

4、開始的前10個雙數(shù)之和，巧用這些結果計算這道題就容易了。1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）=100+110（這步利用了例2和例3的結果）=210例6 計算 5+6+7+8+9+10解：可以利用前10個自然數(shù)之和等于55這一結果。5+6+7+8+9+10=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4）（熟練后，此步驟可省略）=55-10=45四、改變運算順序在只有加減運算的算式中，有時改變加、減的運算順序

5、可使計算顯得十分巧妙！例7 計算10-9+8-7+6-5+4-3+2-1解：這題如果從左到右按順序進行加減運算，是能夠得出正確結果的。但因為算式較長，多次加減又繁又慢且容易出錯。如果改變一下運算順序，先減后加，就使運算顯得非?！捌痢?。下式括號中的算式表示先算，10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1）=1+1+1+1+1=5五、帶著“+”、“-”號搬家例8 計算1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11解：這題只有加減運算，而且1-2不夠減。我們可以采用帶著加減號搬家的方法解決。要注意每個數(shù)自己的符號就是這個數(shù)前面的那個“+”號

6、或“-”號，搬家時要帶著符號一起搬。1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）先減后加=1+1+1+1+1+1=6在這道題的運算中，把“+3”搬到“-2”的前面，把“+5”搬到了“-4”的前面，把“+11”搬到了“-10”的前面，這就叫帶著符號搬家。巧妙利用這種搬法，可以使計算簡便。習題一1計算：13+14+15+16+17+252計算：2+3+4+5+15+16+17+18+203計算：21+22+23+24+25+26+27+28+294計算：5+6+7+8+9+10+1

7、1+12+13+14+15+16+17+18+19+205計算：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-06計算：10-20+30-40+50-60+70-80+907計算：（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9）8計算：（2+4+6+20）-（1+3+5+19）9計算：（2+4+6+100）-（1+3+5+99）第二講 速算與巧算（二）例1 哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1塊，妹妹拿2塊；哥哥拿3塊，妹妹拿4塊；接著哥哥拿5塊、7塊、9塊、11塊、13塊、15塊，妹妹拿6塊、8塊、10塊、12塊、14塊、16塊。你說誰拿得多，多幾塊？解：方法1：先算哥哥共拿了多少塊？再算妹

8、妹共拿了多少塊？72-64=8（塊）方法2：這樣想：先算每次妹妹比哥哥多拿幾塊，再算共多拿了多少塊。(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)=1+1+1+1+1+1+1+1=8（塊）可以看出方法2要比方法1巧妙！平時注意積累，記住一些有趣的和重要的運算結果，非常有助于速算。比如，請同學記住幾個自然數(shù)相加之和：1+2=31+2+3=61+2+3+4=101+2+3+4+5=151+2+3+4+5+6=211+2+3+4+5+6+7=281+2+3+4+5+6+7+8=361+2+3+4+5+6+7+8+9=451+2+3+4+5

9、+6+7+8+9+10=55例2 星期天，小明家來了9名小客人。小明拿出一包糖，里面有54塊。小明說：“咱們一共10個人，每人都要分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，誰會分？”結果大家都無法分，你能幫他們分好嗎？解：按小明提的要求確實無法分。因為要使得每個人都得到糖，糖塊數(shù)人人不等，需要糖塊數(shù)最少的分法是：第一人分到1塊，第二人分到2塊，第十人分到10塊。但是，這種分法共需要有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（塊）而小明這包糖一共才54塊，所以按這種方法無法分。如果改變一下，有一人少得1塊糖，比如說，應該得10塊糖的小朋友只分到了9塊，但是這樣一來，他就和另一個先分得9塊糖的那

10、個小朋友一樣多了，這又不符合小明提出“每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多”的要求。（注意：“按小明提的要求無法分”就是此題的答案。在數(shù)學上“無解”也叫問題的答案。）例3 時鐘1點鐘敲1下，2點鐘敲2下，3點鐘敲3下，照這樣敲下去，從1點到12點，這12個小時時鐘共敲了幾下？解：這是一道美國小學奧林匹克試題，要求在3分鐘內(nèi)就要得出答案。方法1：湊十法方法2：如果能記住從1到10前十個自然數(shù)之和是55，計算會更快。（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+11+12=55+11+12=78（下）習題二1三個小朋友分5塊糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，你能分嗎？2把16只小雞分別裝進

11、5個籠子里，每個籠子里都要有雞，而且每個籠子里的雞的只數(shù)也不能相同，如何分裝？按同樣要求，把15只小雞裝進5個籠子能辦得到嗎？按同樣要求，把14只小雞分裝到5個籠子能辦得到嗎？3把100塊糖分給10個小朋友。要求每人都分到單數(shù)塊糖，而且每人分到糖塊數(shù)都不一樣，如何分？把99塊糖按同樣要求分給10個小朋友，你能分嗎？4從1到20這20個數(shù)中，所有的雙數(shù)之和與所有的單數(shù)之和的差是多少？5小方家的鐘除了幾點鐘敲幾下外，每半點鐘也敲一下。比如說，0點半敲1下，1點鐘敲1下，1點半敲1下，2點敲2下，2點半敲1下，照這樣敲下去，從夜里0點開始，計到白天中午12點鐘，在這12個小時之內(nèi)時鐘共敲了多少下？習

12、題二解答1答案是不能分。所需糖塊數(shù)最少的一種分法是：第1個人分1塊，第2個人分2塊，第3個人分3塊，這樣三個人共需要有1+2+3=6（塊），但總的糖塊數(shù)只有5塊，不夠分。如果第3個人也分得2塊，這樣糖是夠分了，但是這樣就有2個人分得糖塊數(shù)一樣多了，又不符合分糖的要求了。25只籠子裝16只小雞的裝法是1，2，3，4，6。1+2+3+4+6=16（只）5只籠子裝15只小雞的裝法是1，2，3，4，5。1+2+3+4+5=15（只）5只籠子裝14只小雞，要求每籠都有雞，而且籠籠雞數(shù)不等，無法分裝。3記住1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100立即可知100塊糖按要求分給10個人的分法是

13、：各人所得糖塊數(shù)分別為1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。99塊糖按要求分給10個小朋友無法分。4解：方法1：單數(shù)之和：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100雙數(shù)之和：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110差：110-100=10方法2：改變運算順序(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)+(18-17)+(20-19)=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=105

14、解：先記錄時鐘敲的整點數(shù)和半點數(shù)如下：列算式求和，并改變運算順序：1+1+1+2+1+3+1+4十1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)=78+12=90（下）第四講 數(shù)數(shù)與計數(shù)（二）數(shù)數(shù)與計數(shù)時，注意不應漏掉，不應重復。如果漏掉了，要加上；如果重復了，要減掉。例1 小朋友排隊，小紅前面4個人，后面3個人，問這隊共有幾個人？解：這隊的總人數(shù)要數(shù)上小紅，所以是4+3+1=8（人）。例2 排好隊，來報數(shù)，正著報數(shù)我報七，倒著報數(shù)我報九，一共多少小朋友？解：見下

15、圖正著報數(shù)“我”報了一次，倒著報數(shù)“我”又報了一次，所以把兩次報數(shù)加起來時，“我”被加了兩次。因此算這隊的總人數(shù)時，應從兩次報數(shù)之和減1。7+9-1=15（人）。也可以這樣想：正著報數(shù)報到我為止，倒著報數(shù)時，我就不報了，只報到我的后面相鄰的那個人他應該報8，所以全隊總人數(shù)是：7+（9-1）=15（人）。例3 少先隊員排成隊去參觀科技館。從排頭數(shù)起劉平是第20個；從排尾數(shù)起，張英是第23個。已知劉平的前一個是張英。問這隊少先隊員共有多少人？解：畫示意圖，用點代表少先隊員。由圖可見，從排頭數(shù)起時，把張英和劉平數(shù)了一次。由排尾數(shù)起時，又把劉平和張英數(shù)了一次，可見把他兩人多數(shù)了一次，所以點總人數(shù)時，應

16、減去多數(shù)的那一次才對。20+23-2=41（人）。例4 45個小朋友排成一隊去春游。從排頭往后數(shù)，小剛是第19個；從排尾往前數(shù)，小莉是第12個，問小剛和小莉中間有幾個人？解：畫示意圖。用點“”代表人由圖可見，小剛和小莉中間的人數(shù)是：45-（19+12）=14（人）。例5 一班同學做花，做紅花的有38人，做黃花的有39人，沒有做花的有3人。如果全班55人，那么既做紅花又做黃花的有多少人？解：畫圖如下：由圖可見，做花的人：55-3=52（人）。圖中陰影部分表示兩色花都做的人：38+39-52=25（人）。習題四1學生排成一隊，在小進的前面有6人，后面有8人，問這隊共有多少人？212輛汽車組成一列車

17、隊向前行進。從前面數(shù)起，紅色的小轎車是第7輛。問從后面數(shù)它是第幾輛？3游泳池里男生都戴藍帽，女生都戴紅帽。池中一個男生小強邊看邊數(shù)，他看見藍帽4個，紅帽5個。問池中男女生共多少人？4說稀奇、道稀奇，鴨子隊里有只雞。正著數(shù)它第六，倒著數(shù)它第七。請你幫助算一算，小鴨一共有幾只？5一個小組的小學生共有5人，已知他們都做了語文作業(yè)或數(shù)學作業(yè)。又知做完語文作業(yè)的有3人，做完數(shù)學作業(yè)的有4人。問語文和數(shù)學作業(yè)都做完的有幾人？6在100名學生中統(tǒng)計，有65人會騎自行車，有73人會游泳，有10人既不會騎自行車又不會游泳。問既會騎自行車又會游泳的人有多少？7某班有學生45人，訂閱中國少年報的有29人，訂閱小朋友

18、的有28人，其中兩種都訂閱的有16人，問兩種刊物都沒有訂閱的人有多少？習題四解答1解由圖可知：總人數(shù)是6+8+1=15人。2解：方法1：數(shù)一數(shù)；先畫示意圖如下，用代表紅色小轎車，用代表其他車。從后面往前數(shù)一數(shù)，紅色小轎車是第6輛。方法2：算一算；這隊車共有12輛，從前面往后數(shù)，紅色小轎車是第7輛，所以紅色小轎車前面有7-1=6輛車，因此從后面往前數(shù)，紅色小轎車是第12-6=6輛。3解：畫示意圖如下：因為男生小強邊看邊數(shù)時，沒有看見自己的藍帽，他把自己漏數(shù)了。所以算總人數(shù)時，要把他加上，即4+5+1=10（人）。4解：畫示意圖，用代表小鴨，用代表小雞。由圖可見，正數(shù)算上了小雞，倒數(shù)也算上了小雞。

19、這樣兩數(shù)之和6+7=13中，把小雞計算了兩次。所以求小鴨的數(shù)目時就要減去兩個小雞。6+7-2=11（只）。5解：畫示意圖如下：兩種作業(yè)都做完的人既算在了做完語文作業(yè)的3人中，又算在了做完數(shù)學作業(yè)的4人中，因此這部分人被多算了一次，（如圖中陰影部分所示）所以兩種作業(yè)都做完的人數(shù)是：3+4-5=2（人）。6解：畫圖如下：由圖可知：會騎車或是會游泳的總人數(shù)是100-10=90（人）。兩種都會的人數(shù)是65+73-90=48（人）。（圖中陰影部分所示）7解：畫示意圖如下：因為至少訂1份刊物的人：28+29-16=41（人）。兩種刊物都沒有訂的人：45-41=4（人）。第五講 數(shù)數(shù)與計數(shù)（三）例1小朋友，

20、張開手，五個手指人人有。手指之間幾個“空”，請你仔細瞅一瞅？（注）“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。解：見右圖看一看、數(shù)一數(shù)可知：5個手指間有4個“空”。“空”又叫“間隔”，也就是，人的一只手有5個手指4個間隔。例2 小朋友在一段馬路的一邊種樹。每隔1米種一棵，共種了11棵，問這段馬路有多長？解：畫示意圖如下：由圖可見，這段馬路的11棵樹之間有10個“空”，也就是10個間隔。每個間隔長1米，10個間隔長10米。也就是說這段馬路長10米。像這類問題一般叫做“植樹問題”?？梢缘贸鲆粋€公式：當兩頭都種樹時：例3 把一根粗細一樣的木頭鋸成5段，需要4分鐘。如果把這根木頭鋸成10段，需要幾分鐘？如果把這根

21、木頭鋸成100段，需要幾分鐘？解：畫出示意圖：由圖可見，把木頭鋸成5段，只需鋸4次。所以鋸一次需1分鐘。同樣道理，把這根木頭鋸成10段，只需鋸9次，所以需9分鐘。同理，把這根木頭鋸成100段，只需鋸99次，所以需99分鐘。例4 鼓樓的鐘打點報時，5點鐘打5下需要4秒鐘。問中午12點時打12下需要幾秒鐘？解：畫示意圖。鐘打一下用一個點代表，打5下畫5個點。由圖可見，鐘打5下中間有4個時間間隔，4個間隔是4秒鐘，每個間隔就是1秒鐘。由此推理鐘打12下時有12-1=11個時間間隔，故用11秒鐘。習題五1一隊男生8人。老師要求在2名男生中間插進1名女生，問可插進多少女生？2小冬用12張紙訂成一個本子。

22、從頭數(shù)起，每隔3紙夾進一片樹葉，問這個本子內(nèi)共放進多少片樹葉？3在一條20米長的小路兩旁種小松樹，如果每隔5米種一棵，而且兩頭都種樹，問這段小路上共種多少棵？4一根鋼管長6米，每分鐘鋸下1米，幾分鐘鋸完？5一根木頭鋸成4段，要付鋸工費1元。如果要把這根木頭鋸成13段，要付鋸工費多少元？6小明與爸爸一同上樓。小明上得快、爸爸上得慢，小明上2層，爸爸上1層。問小明上到五樓時，爸爸上到幾樓？7沿著跑道插著11面旗，旗與旗離得一樣遠，第一面旗插在起點。運動員從起點起跑經(jīng)過6秒鐘到達第6面旗，問運動員到達第11面旗時，需要跑11秒鐘嗎？8三點鐘時，掛鐘打響三下，用了12秒。到六點鐘時，掛鐘打響六下，要用

23、幾秒鐘？習題五解答1解：方法1：按老師要求，在2名男生中間插進1名女生后，寫出隊伍的排外情況是：男女男女男女男女男女男女男女男數(shù)一數(shù)，可知插進的女生共7人。方法2：也可以這樣想：這道題中，把男生看成“樹”，把女生看成“間隔”，就能按植樹問題的公式解這道題。因為兩頭都是男生，就像兩頭都有樹一樣，女生數(shù)應等于男生數(shù)減1，即8-1=7（人）。2解：畫示意圖如下：可以這樣想：把每3張紙粘在一起成為一張“厚紙”，12張紙共粘成4張厚紙。按題目要求，相當于每兩張厚紙之間放入一片樹葉，可知共放入3片樹葉。3解：畫示意圖如下：（只畫一旁種樹情況）由圖可見，每5米為一段，20米長的路可分為4段，由于路兩端都要種

24、樹，所以種的棵樹等于段數(shù)加1，即一旁種樹4+1=5（棵），兩旁共種5+5=10（棵）。4解：畫示意圖如下：由圖可見，把6米長的鋼管鋸成1米長的6段，只需鋸6-1=5（次），題中說，每分鐘鋸下1米，就是說鋸1次需要1分鐘，所以鋸5次需5分鐘即5分鐘把鋼管鋸完。5解：把一根木頭鋸成4段只需鋸4-1=3次，按題意付鋸工費1元。當把這根木頭鋸成13段時只需鋸13-1=12次，每鋸3次付費1元，鋸12次應付鋸工費4元。6解：見右圖當小明跑五樓時，實際上跑過了4層樓梯，所以爸爸此時只走過了2層樓梯，即走到了三樓。7解：畫出示意圖：在起點插著第一面旗，但在起點運動員起跑時，時間是從0秒開始計時的。運動員跑到

25、第六面旗時，實際上是跑了5段間隔，這時他用了6秒鐘的時間；當他跑到第11面旗時，實際上又跑了5段間隔，所以又用了6秒鐘，總起來共用了12秒鐘，而不是11秒鐘。8解：“當當當”鐘打響了三下，三響之間的間隔是兩次，兩個時間間隔用12秒，一個時間間隔就是122=6（秒）。如果鐘打六下，六響之間的間隔是5次，因而鐘打六下要65=30（秒）。第六講 數(shù)數(shù)與計數(shù)（四）本講采用枚舉法解決數(shù)數(shù)與計數(shù)的問題。比如老奶奶數(shù)雞蛋，她小心翼翼地把雞蛋從藍子里一個一個地往外拿，邊拿邊數(shù)?；@子里的雞蛋拿光了，有多少個雞蛋也就數(shù)出來了。這種最簡單的數(shù)數(shù)與計數(shù)的方法就叫做枚舉法。例1 用分別寫有數(shù)字1和2的兩張紙片，能夠排出

26、多少個不同的二位數(shù)？解：用代表這兩張紙片。把所有可能的排法枚舉出來，可知能排出兩個二位數(shù)來。它們是：例2 用分別寫有數(shù)字0，1，2的三張紙片能排出多少個不同的二位數(shù)？解：因為“0”不能作為首位數(shù)字，所以只能排出4個二位數(shù)，它們是：1作十位數(shù)字，0或2作個位數(shù)字：2作十位數(shù)字，0或1作個位數(shù)字：例3 用分別寫有數(shù)字1，2，3的三張紙片能排出多少不同的三位數(shù)？解：用枚舉法，即把所有可能排出的每一個三位數(shù)都寫出來。再數(shù)一數(shù)共有多少個。共6個不同的三位數(shù)。例4 小明左邊抽屜里放有三張數(shù)字卡片右邊抽屜里也放有三張卡片。如果他每次從左右兩邊抽屜里任意各拿一張出來，組成一個二位數(shù)，在紙上記下來之后，再把卡片

27、放回各自原來的抽屜里。然后再拿、再組數(shù)、再記、再放回這樣一直做下去，問他一共可能組成多少個不同的二位數(shù)？解：不妨假設小明先從左邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在十位；再從右邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在個位。下面是記下來的所有不同的二位數(shù)：11，12，13，21，22，23，31，32，33。共9個不同的二位數(shù)。例5 有一群人，若規(guī)定每兩個人都握一次手而且只握一次手，求他們共握多少次手？假設這群人是：兩個人，三個人，四個人解：畫圖。用點“”代表人。如果兩人握一次手就在兩個點之間連一條線。那么，點和點之間連線的條數(shù)就代表握手的次數(shù)。見以下的圖。兩個人：兩點之間只能連一條線，表示兩個人共握1次手。三個

28、人：三點之間有三條連線，表示三個人共握3次手。四個人：四點之間有六條連線，表示四個人共握6次手。例6 鐵路上的火車票價是根據(jù)兩站距離的遠近而定的，距離愈遠，票價愈高。如果一段鐵路上共有五個車站，每兩站間的距離都不相等，問這段鐵路上的火車票價共有多少種？解：如圖所示，用一條線段表示這段鐵路，用線段上的五個點代表五個車站，各點間距離不同表示各車站間距離不同，因而票價不同。由圖可見，各段長度不同的線段就表示各種不同的票價。數(shù)一數(shù)，票價種數(shù)是：4+3+2+1=10種。例7 小明到小華家有甲、乙兩條路，小華到小英家有a，b，c三條路（如下圖所示）。小明經(jīng)過小華家去找小英，他想每次都不走完全重復的路線，問

29、有多少種不同的走法？解：共有6種不同的走法，見下圖。習題六1用三張數(shù)字卡片，可以排出多少個不同的三位數(shù)？其中最大的比最小的大多少？2有四張數(shù)字卡片從中抽出三張組成三位數(shù)，問這些卡片可能組成多少個不同的三位數(shù)？3用兩套數(shù)字卡片可組成多少個不同的二位數(shù)？4在一次小學數(shù)學競賽的領獎臺上有五名同學上臺領獎，他們每兩個人都互相握了一次手。問他們共握了多少次手？5全區(qū)六所小學舉行小足球賽，每個學校派出一個代表隊，要求規(guī)定每兩個校隊之間都要賽一場，問一共要賽多少場？6右圖是小英家和學校之間的街道圖。問小英去上學時，共有多少種不同的走法？（不準故意繞遠走）7如右圖所示，一只螞蟻從一個正方體的A點沿著棱爬向B點

30、，如不故意繞遠，一共有幾種不同的走法？習題六解答1解：注意，0不能當作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共有4個。它們是：407，470，704，740。最大的數(shù)是740，最小的數(shù)是407。最大的數(shù)比最小的數(shù)大740-407=333。2解：注意0不能當作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共18個。102，104，120，124，140，142；201，204，210，214，240，241；401，402，410，412，420，421。3解：共組成25個不同的二位數(shù)。11，12，13，14，15；21，22，23，24，25；31，32，33，34，35；41，42，43，44，45；51，52，53，

31、54，55。4解：畫圖。用點代表人，用兩點之間的連線代表兩個人的一次握手。按這種規(guī)定連線的總條數(shù)就是握手的總次數(shù)。數(shù)一數(shù)，共有10條連線，所以共握手10次。5解：共賽15場。見下圖。方法1：如右圖所示這樣數(shù)：一小和二小、三小、四小、五小、六小共賽5場；二小再和三小、四小、五小、六小共賽4場；（二小不能再和一小賽，因為它們已經(jīng)比賽過了，下同）三小再和四小、五小、六小共賽3場；四小再和五小、六小共賽2場；五小再和六小共賽1場。比賽場次總數(shù)：5+4+3+2+1=15（場）。方法2：每個學校都要和其他的五個學校各賽一場，共5場。因而六個學校所賽的場次是56=30場。但是這樣計算還有個問題，比如說一小和

32、二小賽了一場，這一場比賽被兩個學校都計算在了自己所賽的場次里，因而被計了兩次。所以總場數(shù)也就多計了一倍。也就是說，六個學校實際賽的總場次數(shù)是302=15（場）。6解：小英由家到學校共有6種走法，見下圖粗黑線所示。7解：螞蟻沿著棱由A點爬到B點有6種不同的走法，見下圖粗黑線所示。第七講 填圖與拆數(shù)（一）例1 如右圖，把3、4、6、7四個數(shù)填在四個空格里，使橫行、豎行三個數(shù)相加都得14。怎樣填？解：先看豎行，最上格中已有個5。要使5+（ ）=14，括號里的數(shù)就要填9。把9拆成兩個數(shù)：9=3+6，（因為3和6是題中給出的數(shù)）分別填在豎行的兩個空格里。但進一步想，應該把哪一個填在中間空格里呢？這就需要

33、看橫行。橫行兩頭的空格應填剩下的兩個數(shù)4和7，因為4和7相加和為11，而11+3=14，可見中間空格應填3。例2 如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上三個數(shù)相加之和都等于12。解：見下圖（1）、（2）、（3）。把12分拆成三個不同的數(shù)相加之和，得七種分拆方式：12=9+2+1 12=8+3+112=7+4+1 12=7+3+212=6+5+1 12=6+4+212=5+4+3從各式中選擇有一個相同加數(shù)的兩個式子。12=1+5+6和12=1+4+7兩式，將相同的加數(shù)1填在中間圓圈里，不同的加數(shù)分別填在橫行和豎行的其他圓圈里。答案有很多種不同的填法，這里只填了三種，同學們還可以自己選擇另外

34、的填法。例3 如右圖所示。把1、2、3、4、5五個數(shù)填入五個圓圈里，要求分別滿足以下條件：（1）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于8；（2）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于9；（3）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于10。解：見下圖（1）、（2）、（3）（1）將8分拆成三個數(shù)之和（注意，這三個數(shù)要從1、2、3、4、5中選取）8=1+2+5 8=1+3+4因為中間圓圈里的數(shù)是要公用的，所以應把“1”填在中間圓圈里其他四個數(shù)填在邊上；（2）解法思路與（1）相同，分拆方式如下：9=1+3+5 9=2+3+4（3）解法思路與（1）相同10=1+4+5 10=2+3+5。習題七1如右圖所示。在正方形的

35、空格里填上適當?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的三個數(shù)相加得數(shù)都是18。2如右圖所示。在正方形空格里填上適當?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的四個數(shù)相加都得34。3如右圖所示。把適當?shù)臄?shù)填到三角形的空圈里，使每條直線上3個圈中的數(shù)相加都是10。4如圖所示。從2、3、4、5、6中選取適當?shù)臄?shù)填入小圓圈，使同一個大圓上的小圓圈中的四個數(shù)的和都等于15，都等于16。5如右圖所示，圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個數(shù)相加之和都等于10。6如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個數(shù)相加之和都是15。7如下頁圖所示。把1、2、3、4、5、6、7、8、9分為三組，填到三個小三角形的各個角上的圓圈里，使

36、每個小三角形的三個角的圓圈里的數(shù)之和都是15。同時使大三角形三個角的圓圈里的數(shù)之和也是15。習題七解答1在圖中，用較大的黑體字表示方格中原有的已知數(shù)，如10、6、7三個數(shù)。仔細觀察可知，可以先在第二橫行右邊空格里填2，因為要使橫行三個空格里的數(shù)之和是18，（已有的兩個數(shù)之和是10+6=16）就需要在這個空格中填上18-16=2。當然，也可以先填左下角空格的那個數(shù)，因為它所在的斜行中已有兩個數(shù)7和6，而7+6=13，所以應在這個空格里填18-13=5。接著用同樣的思考方法就可以填出其他空格里的數(shù)了。2見圖。解法思路與第1題相同。因為要求每行的四個數(shù)之和是34，而第三橫行已有的三個數(shù)之和為9+7+

37、12=28，所以此行空格中可填6。也可先填圖中另一斜行，因這斜行中已有的三個數(shù)之和是13+10+7=30，所以，這斜行的空格，也就是圖的左下角的空格中應填4。接著，用同樣的思考方法填出其余所有空格。3見圖。解法與第1題相同。因為三角形的一邊已有兩個數(shù)3和2，其和為3+2=5，要使這邊的三數(shù)之和是10，可知這邊的右下角圓圈中應填10-5=5。其余兩圓圈中的數(shù)可按同樣方法填出。4見圖。和是15：因為大圓上有兩個小圓圈中已有了1和7，它們的和是1+7=8，所以同一個大圓上另外的兩個小圓圈中應填的兩個數(shù)之和應是15-8=7，將7分拆成兩個數(shù)有兩種分拆方式：將2和5填入一個大圓上的兩個空圈中，將3和4填

38、入另一個大圓上的兩個空圈中。見右圖。和是16，解法思路和相同。因為1+7=8，16-8=8將8分拆成兩個數(shù)，有兩種分拆方式：將2和6、3和5分別填入大圓上的空圈中。5解：見下圖（1）（4）把10分拆成三個不同的數(shù)的和，共有4種分拆方式：10=1+2+7=1+3+6=1+4+510=2+3+5選擇有一個共同加數(shù)的兩個式子，把共同的加數(shù)填在中間的圓圈里，其他四個加數(shù)分別填在兩頭的圓圈里就構成一種填法。本題有6種符合題目要求的填法，這里只舉其中4種填法，還有2種填法你能找出來嗎？6 解見下圖。把15分拆成三個不同的數(shù)相加之和，共有12種分拆方式：15=1+2+12 15=1+3+1115=1+4+1

39、0 15=1+5+915=1+6+8 15=2+3+1015=2+4+9 15=2+5+815=2+6+7 15=3+4+815=3+5+7 15=4+5+6因為題目中已有2、3、8三個數(shù)填在3個圓圈里，觀察上面各式，既用到2、3、8這三個數(shù)，又要有另一個數(shù)是共同的，這樣的式子有如下三個：15=1+2+12，15=1+3+11，15=1+6+8，將三式中共用的加數(shù)“1”寫在中間圓圈里，再在其他三個圓圈里填上適當?shù)臄?shù)。7解：見下面兩圖，將15分拆，采取兩步分拆法如下：適當選取四組數(shù)，填入四個三角形中（3個小三角形與1個大三角形），可以得到一些不同的填法。選法的竅門是：先任選一組數(shù)如3、5、7，將

40、它們分別填在大三角形的三個角頂圓圈中，再找分別包含3、5、7的三組數(shù)填在小三角形中，它們是3，8，4；5，9，1；7，6，2。如上圖所示。第八講 填圖與拆數(shù)（二）本講主要介紹在填圖與拆數(shù)中找關鍵數(shù)的思考方法。例1 如右圖所示。把三個1、三個2、三個3分別填在九個格內(nèi)，使橫行、豎行、斜行三個數(shù)加起來的和都等于6。解：找關鍵數(shù)先填。因為中間格的數(shù)和橫行、豎行、斜行都有關，所以它是關鍵數(shù)，確定了它，其他各格就容易填了。（1）嘗試法：若中間填“1”，再填其他格，如右圖。結果有一條斜線上的數(shù)都是1，其和為3，不合題目要求。若中間格填“3”，再填其他格，如右圖結果有一條斜行上的數(shù)都是3，其和為9，不合題目

41、要求。若中間格填“2”，再填其他格，經(jīng)檢查，符合題目要求，如圖。（2）分析法：顯然在每一橫行、豎行和斜行只能填一個“1”或一個“3”。因為若填兩個1后，即使再填一個最大的3，這一行的這三個數(shù)之和才是5，小于6，不符合題目要求；同樣，若填兩個3后，即使再填一個最小的數(shù)1，這一行的三個數(shù)之和就是7，大于6，也不符合題目要求。如果在一行里填入兩個“2”，即使在此行里再填一個2，這一行的三個數(shù)之和也可等于6，符合題要求。由此得出，中間方格必須填“2”。中間方格填好之后其他各格中的數(shù)也就容易填出了。例2 如圖。把1、2、3、4、5填入右圖的圓圈中，使每條斜線上的三個數(shù)相加之和都是8。解：中間圓圈里的數(shù)是

42、個關鍵數(shù)，應該首先確定它。如何確定它呢？這樣想：假如我們已經(jīng)按題目要求把1、2、3、4、5填入了五個圓圈中，這樣每條斜線上的三個數(shù)相加都得8。那么當我們把兩條斜線上的數(shù)都加起來，它們的和應為8+8=16，但是五個圓圈中所填數(shù)之和應為1+2+3+4+5=15，兩個和數(shù)之差是1，即：16-15=1。這個差是如何產(chǎn)生的呢？這是因為把兩條斜線上的和數(shù)相加時，中間圓圈中的數(shù)被加了兩次，即多加了一次。把一個數(shù)多加了一次和就多了1，可見此數(shù)是1。然后，再求每條斜線兩端的數(shù)?？汕蟪鰞蓴?shù)之和應為8-1=7把7分拆成兩個數(shù)，有兩種分拆方式：把2和5填入一條斜線兩端的圓圈中。把3和4填入另一條斜線兩端的圓圈中。例3

43、 如圖所示。把1、2、3、4、5、6、7七個數(shù)填在右圖中的七個圓圈里，每個數(shù)只能用一次，使每條線上的三個數(shù)相加之和都等于12。解：見圖。中間圓圈里的數(shù)是關鍵數(shù)，應該如何確定它呢？與例2的想法類似。假設已經(jīng)按題目要求把數(shù)全部填入了圓圈，那么每條線上的三個圓圈中的數(shù)相加應該都得12。我們?nèi)绻M一步把三條直線上的數(shù)都加起來，得數(shù)應為：12+12+12=36。不難看出，這樣就把中間圓圈里那個數(shù)加了三次。因而它比七個圓圈中的數(shù)相加之和：1+2+3+4+5+6+7=28多了 36-28=8也就是8應是中間圓圈里的數(shù)的2倍所以中間圓圈里的數(shù)應是8的一半，即 82=4下面再確定每條線上另外的兩個圓圈里的數(shù)，方

44、法如下：12-4=8例4 如圖所示。把1、2、3、4、5、6六個數(shù)分別填入右圖的圓圈里，使三角形每條邊上三個數(shù)之和都等于9。解：見圖。三個角上圓圈里的數(shù)是關鍵數(shù)，因為它們中的每個都是兩條邊上共有的數(shù)。先確定關鍵數(shù)。這樣想：六個數(shù)之和是1+2+3+4+5+6=21每條邊上三個數(shù)之和是9，9+9+9=27這樣算每個角上圓圈里的數(shù)都被加了兩次，因此角上三個圓圈中的數(shù)之和是27-21=6把6分拆成三個數(shù)之和：6=1+2+3；把1、2、3分別填入三個角上的圓圈里，其余的圓圈里的數(shù)就容易填了。習題八1見圖。把2、3、4、5、6、7、8、9、10、11填入右圖空白圓圈內(nèi)，使每個大圓上四個小圓圈內(nèi)的數(shù)的和都是

45、29。你能填嗎？2見圖。把2、3、4、6、7、10、11分別填入大圓上的小圓圈內(nèi)，使每個圓上四個小圓圈中的數(shù)字和都是24。你能填嗎？3見圖。把2、3、4、5、6填入右圖的五個方格里，使橫行、豎行的三個數(shù)之和等于：11、12、13。4見圖。把5、6、7、8、9、10六個數(shù)分別填入右圖中的六個圓圈里，使三角形每條邊上的三個數(shù)之和都等于21。5見圖。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這十個數(shù)分別填入圓圈里，使每個正方形的四個數(shù)相加之和都等于24。6見圖。把1、2、3、4、5、6、7填入右圖圓圈中，使橫行、豎行、斜行三個圓圈中的數(shù)相加之和都等于12。7見圖。把11、12、13、14、15、16

46、、17七個數(shù)填入右圖的圓圈中，使橫行、豎行的圓圈中的每三個數(shù)之和都是42。8見圖。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11這十一個數(shù)，分別填入圖中空格內(nèi)，使相鄰的兩個或三個空格內(nèi)的和等于14、15。9把1、2、3、4、5、6、7、8、9各數(shù)分別填入“七一”圖形中的九個空格內(nèi)，使每一橫行、豎行的四個、三個或兩個空格中的數(shù)相加之和都等于13。（見下圖）10見下圖。把1、2、3、4、5、6、7各數(shù)填入“十一”圖形中的七個空格里，使每一橫行、豎行的三個或兩個空格中的數(shù)相加之和都是10習題八解答1解：見圖。找關鍵數(shù)先填。三個大圓相交處的小圓圈中的數(shù)是關鍵數(shù)。仔細觀察。圖中一個大圓上已有9和7兩個

47、數(shù)，所以這個大圓上A，B兩個小圓圈（如圖示）所填的兩數(shù)之和應為29-（9+7）=13。把13分拆成兩數(shù)之和（注意要選用題中已給的數(shù)）只有11+2和8+5兩種分拆方式可供選用；經(jīng)試驗可知8和5這組數(shù)不合用，只能選用11和2這組數(shù)。最后可確定將11填入三個大圓相交處的A圈中。接著可較容易地填上其他數(shù)了。2解：見圖。由中間的大圓圈上的三個已知數(shù)1，5，8，可求出這個大圓上的最后一個數(shù)：24-（1+5+8）=10，這樣還剩下2、3、4、6、7、11六個數(shù)未被選用。應把它們分別填入六個小圓圈。仔細觀察可知：另外的兩個大圓相交處的小圓圈（B圈）中的數(shù)是關鍵數(shù)。而且有一個大圓上已經(jīng)給出了數(shù)9，所以該大圓上其

48、余三個小圓圈所填數(shù)之和應為24-9=15。因而將15分拆成三個數(shù)之和（注意必須選用題中所給的數(shù)）15=7+6+2經(jīng)嘗試B圈中只能填6。然后再確定左邊大圓上三個小圓圈應填的數(shù)是11、4和3。3解：見下圖，解題思路與例3相同，略寫如下：2+3+4+5+6=20。11+11-20=2即中間格填2。12+12-20=4即中間格填4。13+13-20=6即中間格填6。4解：見圖解題思路與例4相同，略寫如下：21+21+21=635+6+7+8+9+10=4563-45=18（三個角上的三個數(shù)之和）分拆18=5+6+7即三個角上的三個圓圈里應填5、6、7。5解：見圖，找關鍵數(shù)先填，不難看出，標有字母A和B

49、的兩圓圈中的數(shù)是關鍵數(shù)，因為它們是正方形公用的數(shù)，解法：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=5524+24+24=7272-55=1717=10+7=9+8（這就是兩組關鍵數(shù)10和7，以及9和8）。6解：見圖，找關鍵數(shù)先填。不難看出，中間圓圈里的數(shù)是關鍵數(shù)。求關鍵數(shù)：1+2+3+4+5+6+7=2812+12+12=3636-28=8（相當兩個中間圓圈里的數(shù)之和）82=4（就是一個中間圓圈里的數(shù)）12-4=8行三個數(shù)之和他是12。7解：先求關鍵數(shù)：橫行和豎行公用的兩個圓圈的數(shù)是關鍵數(shù)。11+12+13+14+15+16+17=9842+42+42=126126-98=28（28是橫行和豎行公用的兩個圓圈里的數(shù)的和）將28分拆：（見下面三個圖）。8解：先求關鍵數(shù)。六字的“點”和“橫”公用的方格中的數(shù)是關鍵數(shù)。方法1：145=701+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66公用的方格中的數(shù)是70-66=4再適當選擇其他的數(shù)填入其他空格。方法2：見下圖155=75 75-66=9公用的方格中填9，再適當選擇其他各數(shù)填入方格。9解：見下圖，求關鍵數(shù)即共用方格中的數(shù)1+2+3+4+5+6+7+8+9=45134=52 52-45=710解：見下圖，先確定“十”字中間方格中的數(shù)1+2+3+4+5+6+7=28103=3030-28=2（中間方格中的數(shù)39