傅里葉變換的基本性質(zhì)-傅里葉變換性質(zhì)

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1、傅里葉變換的基本牲質(zhì)（一） 傅電葉變換建立了時(shí)間函數(shù)和頻譜丙數(shù)之間轉(zhuǎn)換關(guān)系.4實(shí)際信號(hào)分析中.統(tǒng)常需要對(duì)信號(hào)的時(shí)域和頻域 Z間的對(duì)應(yīng)關(guān)系及轉(zhuǎn)換規(guī)律令一個(gè)淸楚而深入的理解。I人I此令必耍討論傅里葉變換的基木性質(zhì)，并說(shuō)明其 應(yīng)用. 一、線性 傅里葉變換是-種線性運(yùn)算。M（f）f E（M）了2 V戸2少） 功（f ）十 bf2（〉O aFx （丿少）十礙（丿0） （3-55） 其中a和b均為常數(shù)，它的證明只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出。 例3?6利用傅也葉變換的線性性質(zhì)求臥位階躍以打FJ頻譜西數(shù)叫助- /(/) = ^) = - + -sgn(/) 由式（3-55）得 F3 =

2、<{^))=；譏 1} + 1X 2兀撫少)+ x 2 二址應(yīng)勁 + 2 2 2 2 jaj 對(duì)稱性 心）》（妙則叫心切（-力）&56） 證明【人I為 將上式中變昴e換為X.積分結(jié)果不變.即 2 寸(-()=[F ^dx 丄一9 再將t用少代之.I：述關(guān)系依然成立.即 2譏-①）=P心）嚴(yán)dx FQ) h 2 磔(一卬) 若/是一個(gè)偶嗨數(shù)，即/（T）= /（）,相應(yīng)右J（一㈤二/⑷），則式（3-56）成為 F（并）<-> 2nf（a）） （3-57） 町見(jiàn)，傅里葉變換Z間存在著対稱關(guān)系，即信號(hào)波形與信號(hào)頻誥說(shuō)數(shù)的波形有著用相置換

3、的關(guān)系，其 幅度Z比為常數(shù)2燈。式中的一少農(nóng)示頻譜函數(shù)朋標(biāo)軸必須止負(fù)對(duì)調(diào)。例如： /W =占（0歹（丿①）=1 只3 = 1 <-> 2疥（助=加罠勁 例3-7若仁卩；/（◎的傅里葉變換為 片（丿少）二 2切 |e2?| Z2 試求/ o 解 將應(yīng)（丿少）中的少換成t.并考電刀（丿勸為少的實(shí)函數(shù).冇 F3 二 F = 2別 0 |i| r/2 該信號(hào)的傅里葉變換由式（3-54）uf知為 根據(jù)對(duì)稱性 (TJT 再將/（一少〉中的. -^..,w/w=aM> /為抽樣函數(shù)，

4、其波形和頻譜如圖920所示。 三. 折疊性 r：- /（/） J 尸(-》= Y 型 -F(Joj) （3-58） 四、尺度變換性 /W㈠刀0少） /）?丄F0-）（3為大于零的實(shí)常數(shù)） （3-59） 則 Q a 令X二加.則dx = adt t代入前式.可得 亦畑1>）嚴(yán)哼弓殲） 證畢 F （J ） 除數(shù)了（加）衣示/沿時(shí)間軸斥縮（或時(shí)間尺度擴(kuò)展）a倍，而 a則衣示 %少）沿頻率軸擴(kuò) 展（或頻率尺度壓縮）a倍。 該件質(zhì)反映了信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與戲占冇頻帶成反比，信號(hào)持續(xù)時(shí)間壓縮的倍數(shù)恰好等丁占冇頻帶的展 寬倍數(shù).反之亦然. /

5、= 例 M |/|

6、 例S9求 E 0 v的頻譜函數(shù)F(j叭 解根據(jù)詢|佃所討論的矩形脈沖信號(hào)和傅電葉變換的時(shí)移沐仃 F（j^= E妙聳河再“ 六、頻移性 幾）》（購(gòu) fgS 宀 7[；(^ + ^o)] (3-61) IJ 證明 rf/C），曲卜匸幾）嚴(yán)2“婦匸/妙*%咕心兒⑷干曲 證畢 頻移性說(shuō)明川”；/乘以€曲,加門(mén)的;所分斛的毎寸F數(shù)分M;乘以/曲，這就使頻譜 中的毎條譜線祁必須移％.亦即拾個(gè)頻諾相應(yīng)地掘移了 5位代.頻諾搬移技術(shù)川通信系統(tǒng)得到了廣泛 2用.謚如iO、同步解調(diào)、變頻1；過(guò)用都足在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻譜掘移實(shí)現(xiàn)原理是將佇?』 乘以所

7、謂載頻信號(hào)匕：如或彳山吋?即 /（f）皿則一右冋（少+嗣+殆（少一氣）］｝ / (f) sin 少也 O 〔尸［丿（少+5）._尸［丿（少_5）］｝ 七、時(shí)域微分性 柞 "）一刀0少） 讐"3 Z2） 則 證明, 因?yàn)? 幾）』「F0如％ 2究」? 兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù) W）_ 得處 —f* jQJtF(JtD)e^Tdnj 2tt J 若 幾）o） 蟲(chóng)?卑0（購(gòu)）于（購(gòu)） 證畢 同理，可推出 必 例30求幾）=㈤（的頻譜曲數(shù)刀（丿少）. 解：I人i為 旳一1 由時(shí)域微分性 叫斫。呼 例3-1

8、1圖3-22所示信號(hào)/（）為三角形旳數(shù) /W = A（i）= ^-7 0 求It?頻譜函數(shù)刀（丿少）. 解：將/（）微分兩次心，得到圏3?22（c）”i小函數(shù)，英展達(dá)比為 1 ? 1 T T T <{/" W）=（2 貞〃）} = I @琢 一 2 + 嚴(yán)）=-[cos 曲一1] 山微分性 廠 曠 r sin / 2) ^ (bi 所以 T（JG3） —iba ( ) 2 傅里葉變換的基本性質(zhì)（二） 八. 頻域微分性 則 day 廣/（（）㈠（丿嚴(yán)""丫妙 （3-63） 為證 例3d2求/C）=2"（Z）的頻誥曲數(shù)尸（臨。 U （?） <->兀爲(wèi)勁+

9、— 解：I月為 丿少 ■ tU{t） <-> j -^― 更曳少）+ -^- =嚴(yán)/ （少）-厶- 根據(jù)頻域微分性 加L 丿①」 ① 九、時(shí)域積分性 /■ /（/） F(jd) +曲（0）扌3） （3-64） 若 幾）o） 若 幾）o） 例A3根據(jù)處）㈠1和積分件求/）= S）的頻詵函數(shù)。 ?根據(jù)時(shí)域枳分性 解：I人1為死W "（）㈠丄+兀薊少） 若 幾）o） 若 幾）o） 例3-14求圖3 23所示信號(hào)/的頻譜因數(shù)月（丿少） 解］/（Q對(duì)上求兩次微分后.得 /*(/)= -

10、^ + r/2)--^-r/2) /? 0舄如2 _匕沖以》? siH(竺) r v t 2 由時(shí)域積分性 j F 嚴(yán)、：＞ 2 ?“ cur、 幾 ^/ 、 2 . , aj z .d?r 、 /C0 = L/ (x^x --(T)+ -xO^)=_sln(T)= ^(—) 丿少 2 f (z) = f f (x)dx b — sin(巴L + 於班0)占(q)=丸罠qj) +&^(孚^) J" j a* 2 c (a) 1/r 1 -r/2 0 Til y (b) S3 -23 十、頻域積分性

11、音/（/） S左（丿少） 丄加（0）犯）+ 1j^）㈠丄「FQ^dx （3-65） J t 『7 例15已知 t ,求F（阿。 解：因?yàn)? sin") = 2@力-e-^)o— [3(qj_ 1) 一 古3+1)]=丿胚[5(田 +1) — 占(少一 1)] 2j 2) 根據(jù)頻域枳分性 竺3 ㈠丄匸皿［占0 +1） —序0 -1）皿=規(guī)“田+1）— 5少一 1）］ 十一、時(shí)域卷積定理 若/1 (f) 0坷0少)/1⑴0 % 0少) /1（^） * /} 0）㈠戸1 0勁戸2 0㈤ （3-66） 則 證明： ^u*/2）=r『=r 〃）［「皿 b= 丿一^ I」一g I

12、 J—I 丿一< 匸Z”）碼（丿勁曠問(wèn)必=碼（丿勁匸必=禺（購(gòu)）國(guó)（購(gòu)）證畢 例A16圖324（a）所示的工角形函數(shù) L H .. /W= 1_7 .o kl>^ 可看做為兩個(gè)如圖3-24（b）所示門(mén)函數(shù)9）卷枳。試?yán)脮r(shí)域卷枳定理求其頻譜幣數(shù)刀（丿少）。 神 r (a) (b) sin（ G衛(wèi)）》—— （DT 又 gg對(duì) 所以 3皿焙 1 A _ 例?17 —個(gè)信號(hào)了的希們特變換/）是/和曲的卷枳.即 A 1 1 /（/） = /W*-=-f 7d rr 兒 9 gn（z）㈠—— 解：岡為 丿少 — 今 2席$奧（一勁 =一2址sgn（少）

13、 則對(duì)稱性 應(yīng) — G-J sgn（少） 山時(shí)域卷枳定理 八 ] /W = /W*— f -j 嘶時(shí)伽） 33-22 傅里葉變換的基本性質(zhì)（三） 十二、頻域卷積定理 /i 一巧（皿） A Q）一碼0㈤ 齊（。加）7丄用（何咧帥） （3-67） 例38利用頻域卷枳定理求/W=^W的傅里葉變換鞏阿. 解：因?yàn)?占（f）《今丿少 山對(duì)禰性 虛㈠2加$ * （-血）=一2加5 *〔0） jjrS (少)+t5?(

14、域卷枳定理?令 *—=嚴(yán) (@) + $ (ffl) *(—) Q} 0J f（j功=禍（功_（爲(wèi)） 少 十三、帕塞瓦爾定理 人（g 心⑴㈠碼0少） .I ［咒⑴A 0）必=匸巧（』力）力（皿）為 （3-68） 可推廣 匸|伽|%諄＞伽）|也 （3-69） 若&為實(shí)函數(shù)?則匚長(zhǎng)）止=匸匚片（皿）也 (3-70) 若為實(shí)幡數(shù)■則 匸ZW /2 （"必■ 匸用少）尸2 (3-71) 例皿 Sa2(ai)dcD 解：因 「Sa2(o})d J- 2兀 1 U — X 4 2充 r 」一9 2ta ㈣ 2xS

15、2j( af)d cd 2Sa㈣㈠G2 （f）. 山帕塞瓦爾定理町得 %）&2（切=膚 十四.奇偶性 若幾）? F（g）二F3）應(yīng)如二R（e） +疋（少）■則 （1）半/（）為實(shí)惰數(shù)時(shí).則 = （丿少）| = （-勁 祕(mì)勁=_旗_勁 J?(2?) = R(-ui) 乂(少)二—x(—q) (3T2) 若/為實(shí)偶函數(shù).即/（〉= /（-，）■則 （實(shí)偶函數(shù)） （3-73） 若＜7（。為實(shí)奇函數(shù).即幾）二一/（一f

16、） ■則 F（j勁二必（叫 陰）=0 J 隠奇函數(shù)） (3-74) （2）當(dāng)/為虛函數(shù)?即幾）=丿噸）時(shí).則 F(cu) = F (-少) 0(①)=- (-少) 農(nóng)(少)二(- QJ) xg = xz （3-75） 傅里葉變換的性質(zhì)表格 性質(zhì)名稱 時(shí)域 頻域 1.線性 妙+城(f) 2.對(duì)稱性 F3 2^(-0?) 3.折疊性 /(P ”（-丿少） 4.尺度變換性 丄尸舁） a a 5?時(shí)移性 F(j 論 g 6.頻移性 宀幾） 尸|丿（血干叫,）］  7?時(shí)域

17、微分 才北） 0少）嚇0少） 8.頻域微分 S) e怙) aa> 9時(shí)域枳分 f /0）必 尸⑷）+曲（加（少） 10.頻域積分 g旳十咲） t [2 -I叫如 11.時(shí)域卷積 鞏0少迅（丿少） 12.頻域卷枳 2咒 13.帕塞瓦爾定理 周期信號(hào)的傅里葉蠻換 周期信匕雖然不滿足絕對(duì)可枳的條件.但氏傅里葉變換是心在的。山丁?周期伏汀;頻譜是離散的，所以 它的螺甲.葉變換必然也是離散的.而II?是由一系列沖激信號(hào)紐成.卜?而先討論兒種常見(jiàn)的周期信號(hào)的傅世 葉變換?然后再討論一般周期信號(hào)的傅里葉變換. 一. 復(fù)指數(shù)信號(hào)的傅里葉變換 對(duì)「復(fù)

18、指數(shù)信號(hào) -00 <1 <00 （3-76） 因?yàn)?/5㈣.山頻移性 復(fù)指數(shù)信號(hào)是表示一個(gè)單位長(zhǎng)度的柿嵐以網(wǎng)定的角頻率30隨時(shí)間旋轉(zhuǎn).經(jīng)傅電葉變換后.英頻譜為 集中丁5,強(qiáng)度為2兀的沖激。這說(shuō)明信弓時(shí)間特性的相移對(duì)應(yīng)丁?頻域中的頻率轉(zhuǎn)移. 二、余弦、正弦信號(hào)的傅里葉變換 對(duì)丁余弦信巧 = COS 砒= 2 -00 <00 梵頻譜函數(shù) 勁=丄【2加戌少一叫）+2席次少+列）］ 2 二応頃也一％）+貢少+ %）］ 仙） -25 -25 曲_送

19、-z -oo = —42?- %) - 2瞰+%)] 6-78) 2J 二丿』或少+電）一&少一％）］ 它們的波形及其頻譜如圖3-25所示. -25 -25 A血爲(wèi)（丿? （詠 （一兀） -25 -25 單位沖激序列的傅里葉變換 若信號(hào)/（◎?yàn)樾∥粵_激徑列.即 -25 （3-79） (3-80)

20、 則其博里葉開(kāi)式為 對(duì)X進(jìn)行傅甲?葉變換?并利用線性和頻移性得 (3-81) [ 0 9 F（JcD）=—工 2席鳳eU-？3門(mén)）=門(mén)另 3（少一 〃G） T 足.TO "YD 可見(jiàn)?時(shí)域周期為T(mén)的爪位沖激序列，其傅也葉變換也是周期沖激序列.而頻域周期為G.沖激強(qiáng) 戌川；均為 d 周期單位沖激序列波形、傅里葉系數(shù)吒與頻諾兩數(shù)川丿少）如圖3?26所示. S 3-26 (D -2Q-Q0 Q 2C 3) 三. 一般周期信號(hào)的傅里葉變換 對(duì)「-般周期為T(mén)的周期信號(hào)/（力?其指數(shù)塑傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 /w=Z^ C 式中 =—

21、FM = - p Z 嚴(yán) di 丫 * 丁 J-iya 八 9  對(duì)上式兩邊取傅里葉變換.并利用其線性和頻移性?且考慮到4與時(shí)間f無(wú)關(guān).可得 Fg=工殆 2広次少—〃G） = 2% 另瑪 （3-82） 式082）衣明.一般周期信號(hào)的傅里葉變換（頻譜函數(shù)）是山無(wú)窮多個(gè)沖激函數(shù)紐成.這些沖激甫數(shù)位 r信號(hào)的各諧波頻率"G（"二士1，2,…）處，其強(qiáng)度為相應(yīng)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)兔的2x倍。 可見(jiàn)，周期的頻譜是離散的。但山「傅里葉變換是反映頻譜密度的槪念，岡此周期信弓/（◎的 傅退葉變換尸（丿勁不同T-MHl葉系數(shù)丘，它不足仃限值，而足沖激函數(shù).這農(nóng)明無(wú)窮小的頻帶范川（即 諧頻點(diǎn)）取得了無(wú)窮人

22、的頻諾值。 例420圖3-27（a）表示 周期為尸，脈沖寬度為丁，幅度為1的周期性矩形脈沖制；?記為耳（◎ 試求芷頻譜函數(shù)。 -T -T/1 0 1/2 T 3 八 解 山式026）可知.圖3?27（a）所小周期性矩形脈沖信巧/⑴=Fr（f）的傅里葉系數(shù)為 F(j8)= {# }=學(xué) 占(少-加) =z 2f.ro 數(shù)所爼成.1“ m = 處的強(qiáng)度為 2sin( 圖027(b)給出了丁= 2丁情況下的頻譜國(guó) (3-83) 式中 T 可見(jiàn)，周期矩形脈沖信兮與()的傅里葉變換山位t.^=0zO+2Q

23、,…處的沖激函 周期信號(hào)的頻譜 一、周期信號(hào)的頻譜 一個(gè)周期信；；/，只耍滿足狄也赫利條件.則可分解為一系列諧波分蛍之和.H各次諧波分丘可 以是正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，也可以足指數(shù)函數(shù).不同的周期信號(hào)?英展開(kāi)式組成悄況也不盡相同。在實(shí)際 丁?作中，為了表征不同信號(hào)的諧波組成惜況.時(shí)常倆出周期信號(hào)％次諧波的分布圖形，這種圖形稱為信號(hào) 的頻誥，它是信號(hào)頻域表示的一種方式。 描述各次諧波振幅與頻率關(guān)系的圖形稱為振幅頻詵，描述各次諧波相位與頻率關(guān)系的圖形稱為相位頻 誥。根據(jù)周期信號(hào)展成傅里葉級(jí)數(shù)的不同形式乂分為單邊頻譜和雙邊頻譜。 1 m邊頻譜 廿周期信勺/(的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為式(3J5),

24、即 f

26、 2 4 理1 = 0.225 F2 = 0.159 屜=0 075 t ~~ > 9 0.25 ? t ；n,225 「鼻 0.159 :?o OQ5 .:字0?04二 -I 2_-_? - ?50 ?3Q -Q 0 G 30 5Q > co 二 0 F劭=-0.045 = 0.053 > ? ??? 故呵 迅沁罠的雙邊頻譜圖如圖3?6所示. A arctai遲 -5Q ?3Q ?G 0 G 3Q 5Q 從上例頻譜圖上可以看出?單邊振幅頻諾是拆4 = 2氏 與疋負(fù)力值的關(guān)系?應(yīng)注意 所以

27、將炊邊掠輜荻譜 與正川值的關(guān)系?雙邊振幅頻譜是指 "|1彳繞縱軸將負(fù)嚴(yán)邊対折到" 邊.并將振幅相加.便得到單邊振幅4頻譜. X丘為實(shí)數(shù).1|/備諧波分童的樸 或TT?用形比較簡(jiǎn)單?時(shí)，也可將振幅頻i帶和相位頻譜 介金 幅圖中。比如.例34中的頻譜町用尺I嚴(yán)關(guān)系圖形反映，如圖3?7所示。 -[0-再：丨： :1?4G?3Q?0 0 3周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn) 圖7反映了周期知形佇:；/頻譜的一叫性質(zhì)，實(shí)際上它也是所冇周期信弓頻譜的泮遍性質(zhì)，這 就是： (1) 離散性.措傾譜山頻率戲散而不謹(jǐn)續(xù)的譜線紐成.這種煩譜稱為曲散頻譜哎線譜. Q =— (2) 諧波件?指乞次諧波分

28、雖的頻率都是基波頻率 T的整數(shù)倍.而［|.郴鄰諧波的頻率間隔是 均勻的.即譜線隹頻率軸上的位世是Q的整數(shù)倍。 (3) 收斂性。指譜線幅度隨"TO□而衰減到零＜ |人］此這種頻譜具何收斂性或衰懣性. 二、周期信號(hào)的有效頻譜寬度 在周期信昂的頻諾分析中?周期矩形脈沖信號(hào)的頻諾J1冇典烈的總義，得到廣泛的應(yīng)用?下而以圖3-8 所示的周期矩形脈沖信號(hào)為例，進(jìn)一步研究其頻譜寬度與脈沖寬度Z間的圖3-8關(guān)系。 -T -r/20r/2 T S 3-2 圖3-8所示仞；/的脈沖寬度為乂 ,脈沖幅度為S. jeumj期為T(mén),巫復(fù)角頻率為G T ; 2；將了展丿I為式(3■仃)傅里葉級(jí)數(shù).則ll

29、lA(3-18)nff!/ (3-26) 在這里幾為實(shí)數(shù)。為此一般把報(bào)福頻譜和相位頻譜合畫(huà)在-仙圖中.W 3-9所示。 圖3 ? 9 由此圖可以看出’ Q二竺 (1)周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜是離散的，為譜線間隔為 T . (2)直流分鍛、基波及各次諧波分雖的大小疋比于脈幅占和脈寬J 反比于周期八其變化受包絡(luò) sin x 線x 的牽制? (3)當(dāng) 時(shí)，誥線的包絡(luò)線過(guò)零點(diǎn)?因此 T 稱為零分嵌頻率.  (4) 周期竝形脈沖信號(hào)包金無(wú)限多條譜線?它可分解為無(wú)限篡個(gè)頻率分址?但其匸耍能城集中在第 "0?絲 個(gè)零分呈頻率Z內(nèi)。岡此通常把 7這

30、段頻率范IM稱為矩形倍巧的仃效頻譜寬度或缶巧的山仃頻 帶.記作 （3-27） 顯然.有效頻譜寬度〃只與脈沖寬度"有關(guān),而且成反比關(guān)系：仃效頻譜寬度是研究信號(hào)與系統(tǒng)頻 率特性的巫要內(nèi)容?要使信匕通過(guò)線性系統(tǒng)不火JX?就要求系統(tǒng)木巾所JI仃的頻率特性必須與信號(hào)的頻寬 相適應(yīng)? 對(duì)T 傲周期信號(hào)，同樣也可得到離散頻譜,也存在零分尼頻率和信號(hào)的占有頻帶。 三. 周期信號(hào)頻譜與周期丁的關(guān)系 卜M仍以圖3?8所示的周期拒形信號(hào)為例進(jìn)行分析。肉為 所以在脈沖寬度廠保持不變的悄況下,若增大周期丁,則可以看tfh Q =— ⑴離散譜線的仙隔 T將變小，即譜線變密。 (2) 并譜線的蚓度將

31、變小.包絡(luò)線變化緩慢.即振幅收斂速度變慢。 (3) 由F*不變,故零分最頻率位置不變，信號(hào)有效頻譜寬度亦不變。 圖3?10給出了脈沖寬度丁相同而周期f不同的周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜。山圖可見(jiàn)，這時(shí)頻譜包絡(luò) 線的零點(diǎn)所在位代不變，而半周期T増大時(shí)，頻i普線變密，即在信弓占冇頻帶內(nèi)諧波分吊増多，同時(shí)振幅 減小.半周期無(wú)限增人時(shí).變?yōu)榉侵芷谌氏噜徸V線旬隔趨近「?零。相應(yīng)撮幅總「無(wú) 仁 從 而周期信號(hào)的離散頻譜過(guò)渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜.這將4：卜一節(jié)中討論? T = 4r -2jr/r ; -i ?—1 j ?3G ?20 - Q 0 0 2G 3Q ? 2^/r ——?—— w

32、■ 樣） E ■— —■ Er!T ■ ? ? * ! ? —00 fl 圖3?ID 如果保持周期矩形信號(hào)的周期T不變,而改變脈沖寬度生?則可知此時(shí)譜線間隔不變.若減小J 2只 (23 = 則信巧頻譜中的第，個(gè)零分呈頻率 丁 增人.即倍號(hào)的頻譜寬度増人?同時(shí)出現(xiàn)零分雖頻率的次數(shù) 減小，相鄰兩個(gè)零分嵐頻率間所含?的諧波分試增大。并II各次諧波的振幅減小，即振幅收斂速度變慢.若卩 增大，則反Z。 四、周期信號(hào)的功率譜 周期信巧/的平均功率可定義為在1電陽(yáng)上消兀的平均功率.即 (3-28) 周期信■； f 的平均功率可以用式(3?28)在時(shí)域進(jìn)行計(jì)覽?也可以

33、心頻域進(jìn)ffil W?若/的指數(shù) 型傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 /=乞丘嚴(yán) Jtf.—CD 則將此式代入式(3-28),并利用尺的仃關(guān)性質(zhì)，可得 丄 M— 該式稱為帕塞任爾(Parseval)宦理。它農(nóng)明周期信號(hào)的半均功率完全可以在頻域用凡加以確定。實(shí)際 上它反映周期信金時(shí)域的平均功率等「?頻域中的“流功率分：iifH族次諧波半均功率分it之和。國(guó)I 0 "C的關(guān)系稱為周期信號(hào)的功率頻譜.簡(jiǎn)稱為功率i乩 顯然.周期Q；的功率譜也足離敬譜? 1 20. 例口 試求圖3?8所小周期如形脈沖信號(hào)/C)/仃汶頻譜寬度內(nèi). 介：訓(xùn)!1仃的忖"： E = \,T = — rT = 個(gè)信號(hào)平均功率

34、的百分比。設(shè) 4 解肉為 1 sin(^ /5) 1 1 作出頻譜和功率譜圖.如圖3?11所示』■個(gè)零分為 所以在信號(hào)頻諾寬度內(nèi).包禽一個(gè)克流分戢和四個(gè)諧波分吊:。 1/5 0} 二 4附 丁 ： 1 ??32介16朮0 16^32加?右 ?327T-167T o 16兀32加? j 0} 1 1 圖 3-11 1 /T/2 佯 P^-\ 子 2（。處二 0.2 琢 周期信弓的平均功率為 T 在冇效頻譜寬度內(nèi)（H巧的平均功率為 耳=1對(duì)+2{|對(duì)+|對(duì)+吋+囲2} 1

35、 1 +〃（）+對(duì)（）}= 0.1806 爐 1 _ 0.1806 ~P~ 0.2 從上式町以看出，在所給出的周期矩形脈沖怙況■包介在仃效頻譜寬度內(nèi)的信匕均功率約占整個(gè) 信號(hào)平均功率的90% 非周期信號(hào)的頻譜 一. 非周期信號(hào)的頻譜函數(shù) /W=寸嚴(yán)（3-50） 對(duì)丁周期信號(hào)/（?己知它可表示為 "i (3-31) 式中 （3-32） 將式（3-31） A寫(xiě)為 **!（；. J / 的周期尸矩丁?無(wú)限人時(shí)，山I：廿討論町知譜線何隔趙J 小，譜銭密集成為連續(xù)頻 離散變戢變?yōu)檫B續(xù)變戢.即此時(shí)記 鞏丿）= Inn RZ=「/

36、（）廠琢必 （3-33） I*Tg 」一9 用（丿少）稱為頻譜密度曲數(shù)，簡(jiǎn)稱頻誥的數(shù)，其意義為單位頻率上的諧波幅度。尸（丿少）為少的復(fù)函數(shù), 可寫(xiě)作 嗆少）十⑷）嚴(yán) 其中I用（丿少）丨代衣非周期信號(hào)中各頻率分加幅值的相對(duì)人小，輻角瓏0）則代衣相應(yīng)各頻率分爪的 相位. Ill J?? H 伽)二 lim TTtp G lim 7? = lim y*Tc& j*T9 F(jg N 所以式(3-30)在于To□時(shí)為 / =「F(J叭叫也二 J_「FQ畤叫a (3-34) Lg 2兀 2網(wǎng)兒9 ?個(gè)

37、分就的復(fù)數(shù) 該式農(nóng)明.一?個(gè)井周期信號(hào)可以看做足無(wú)限多個(gè)幅度無(wú)限小的父指數(shù)諧波之和.而苴中毎 振幅為 2冗 * 二. 傅里葉變換 式(3?33)和式(3?34)豎一對(duì)很取要的變換式.現(xiàn)眾寫(xiě)如下: [F(Jai)e"dd 」p (3-35) 前者是由信號(hào)的時(shí)間函數(shù)變換成頻那函數(shù).稱為傅里葉正變換式.有時(shí)記為 川九)2 F伽)或/@)TF伽) 麻音是山信匕的頻率函數(shù)變換為時(shí)間函數(shù).稱為傅嘰葉反變換式.冇時(shí)記為 如果上述變換中的n變迪不用角頻率?少而用頻率/.則山\?"2對(duì)?可寫(xiě)為 32匸心叫2

38、 /w=w>/2^J 頻譜密度怖數(shù)F（臨込 復(fù)變幣數(shù).可以寫(xiě)為 F(J功=|尸0少)|昇3’ = &a?) +樓(少) 式中I 少）I和日（少）分別為刀（丿勁的模和相位，人（㈤和X（0＞分別為刀“少）的實(shí)部和虛部. 傅也葉反變換式也町寫(xiě)成 /（/） = — [e F0詼川才心=丄「憾（丿0）*曲"3咕0 = 2?！?2龍」~ 血|%/勁|述[血+炯悶+丿右圜代/啡尬血+畑血二上@） +広 （ 3-； 町見(jiàn)-個(gè)卄周期（『，；/（◎也町以分解成許多不同頻率的止、余弦分址，也町以分解為/的父變函數(shù) 若/是實(shí)函數(shù),則I用（丿砂I和瓏皿）分別是3的偶函數(shù)和奇函數(shù)，并且 cos[ a

39、t + &(tu)Rtu （3-38） 三、傅里葉變換的存在條件 前面根據(jù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)導(dǎo)出了傅里葉變換。而從理論上講,傅里葉變換也應(yīng)滿足一定條件才 能g傅里葉變換“在的必耍和充分條件的證明需耍較多的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論，在此僅對(duì)其充分條件加以討 論。 如果制；/（滿足絕対可積條件.即 r 1/(2) 1^ <00 (3-39) ■-<30 則其縛里葉變換FQ血 存在，井滿足反變換式。所右能址佇號(hào)都能満足上述絕対叮枳條件。這一條件是 傅甲?葉變換心在充分條件而不是必耍條件.一叫不滿足絕對(duì)可積條件的幡數(shù)也可右傅甲-葉變換，例如抽樣 sin QJL 函數(shù)al ,階躍因數(shù)"（）?符

40、號(hào)說(shuō)數(shù)和周期函數(shù)等。 卜面說(shuō)明為什么式（3-39）成立時(shí)./和只（詢一定存在.I人1為 /-(D 嬰使嗆?chē)\在必須滿足= Z） 式（340）中的被積函數(shù)妙是變就上的換數(shù).它可正可負(fù).但如果取絕對(duì)值再逍行積分.則必仃 又.r 「/Q）宀如「血） _9 dt t 1 ,故「畑一7 ＜「必購(gòu)（3-41） 訛（屮畑如果1＞刪 ＜co ，則 四. 典型信號(hào)的頻謙函數(shù) 1爪邊指數(shù)信號(hào) 單邊指數(shù)信號(hào)力的表達(dá)式為 /! = L >0 L <0 a>0 (3-42)

41、 代入式（3?33）得 fs=r 產(chǎn)曠期泓=—!— 2 CE+ JOJ （3-43） 1^10 少）| = / 2 2’ （型=一 arctan — 幅度賴譜為 "a +少，相位頻譜為 a e uf見(jiàn)幅度頻譜和柑位頻譜曲 數(shù)分別是頻率田的偶函數(shù)和奇西數(shù)。單邊指數(shù)信號(hào)X波形.幅度諾冋（丿少）1和郴位謙&㈣如圖 3/2所示. 田3?12 2偶雙邊指數(shù)倍弓 纓"邊指數(shù)信＜；& )的表達(dá)式為

42、 -co <2 0 (3-44) JI：頻說(shuō)曲數(shù)為 瑪(g)=卜專九+『宀h = 2o a2 +a? (3-45) 屁(2)卜 故幅度頻誥 2a Jo? + 少2 相位頻譜仇㈣二。 (f)波形和幅度頻譜岡咧如圖 3奇雙邊指數(shù)信號(hào) 對(duì)「?奇雙邊指數(shù)信號(hào) 處)=3 L <0 / > 0 a >0 (3-46) 其頻誥函數(shù) ^(jcd) = -f 4-pe~^e~3^ =

43、 -j 2 (3-47) J JO OS + CD I禺0勁卜 故 $3) = " 広/2 ~^/2 其波形和幅度頻譜如圖3-14所示。 圖345 4符弓函數(shù)信匕 符號(hào)怖數(shù)或正負(fù)號(hào)怖數(shù)以記，其表示式為 +1 / > 0 z（Q 二哪（巧二 S 1 .門(mén) 48） —1 i < U 顯然.這種信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件.但它卻存在傅里葉變換。對(duì)奇雙邊指數(shù)信號(hào) 處）= I <0 t > 0 CE > 0 當(dāng)” TO時(shí), 有忸"）■聘，故符弓函數(shù)的頻譜

44、函數(shù) （3-49） 2a a2 冋（2）1帀 一禎2 其波形和福度頻譜如圖3-15所示。 5爪位克流信號(hào) 對(duì)丁單?位山流信T；?JL衣達(dá)式為 /j(r) = 1 -co < <00 (3-50) 可見(jiàn)孩信號(hào)也不滿足絕対可積條件.山川利川上述力（取極限?對(duì)求即此傅股葉變換。即 /5(Z)= lim /2=limn^=l 17# 0 少=0 e—>U fir->U 此（g） =lim 碼 0 少）二応 r_^_ 故 G十少 2ck 2 +/

45、 顯然.這農(nóng)明烏。少）為一個(gè)沖激強(qiáng)度為2「出現(xiàn)在力=0的沖激曲數(shù)?即 = 2 広董勁（3-51） 其波形和頻譜如圖3-16所示。 對(duì)丁?也位階躍他‘6（』）="（）.可利川求其傅里葉變換■即 扎QX U抽二曲人二靈尹U◎ 1 .. r a l = lim [ : 費(fèi)TO a + jgj “to 0# + 少 a ->0 ar—> 0 九（丿少）=lim 片（Jq） = lim 少一>0 匚: 故 lim —5 二歷薊少） 利用心a +心 ■有 F6 （jo?）=兀罠方）+ — （3-52） 其波形和頻譜如圖3?17所示。

46、 陽(yáng)3?16 圖3?17 7單位沖激信號(hào)扌（ 單位沖激信號(hào)的時(shí)域表示式為 Fq 0 CD)= F{3(ty)= 1 (3-53) 其傅里葉變換式為 可見(jiàn)」丫1位沖激信號(hào)的頻譜函數(shù)是簾數(shù)仁它均勻分布丁型個(gè)頻率范I譏其波形和頻譜如圖3-18所示. 八馬(間I 1 S3 ? 12 8矩形脈沖信號(hào)山) 九(f)= 的表達(dá)式為 ⑷ vf2 sin(—) 耳 0勁

47、=「Ee^dt = Et——「 其頻譜函數(shù) ~ (3-54) S垮)> 0 吋。  -r/20r/2 木I瓦0切）| 其波形和頻譜如圖A9所示.可以看出,矩形脈沖信號(hào)在時(shí)域中處于有限范他內(nèi),而其頻譜卻以 g） 0丄 2 規(guī)律變化.分布于無(wú)限寬的頻率范國(guó)內(nèi).但英卞要能吊處丁? 營(yíng)范帕. 所以.通常認(rèn)為這種常；的占冇頻帶為眄=2小 或表二2列出了站用信號(hào)的傅世 葉變換? 表32常用信號(hào)的傅里葉變換 時(shí)間函數(shù)/（ 傅立葉變換少） 單邊指數(shù)信號(hào) 幾)之 F(f) a>0 1/(qj + Jg?) 偶雙邊指數(shù)信號(hào) /（2）= ^W >0 2dz/(a2 +

48、/) 詢雙邊指數(shù)信巧 一戶 L <0 a a > 0 嚴(yán) i >0 ■ - 0 SSQ(O=1-1 Y 2 ja 直流仃號(hào) /(/) = E -co 0 單位階躍信號(hào) 1 1 <0 rrtS(cb) +」- 單位沖激信號(hào) 奐）= 8上=0 「8（e）dt = 1 \e lil

49、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù) 周期信號(hào)足泄義4（8嚴(yán)）區(qū)間.毎隔?定時(shí)間匚 按相同規(guī)律巫以化的信號(hào)。?般表示為 幾）=/@+和乃 ^ = QD士團(tuán)（3-12） 式中，丁為該信右的匝復(fù)周期.英倒數(shù)稱為該信兮的頻率.記為 或角頻率 對(duì)J; II 11?^周期國(guó)數(shù)，根據(jù)定理3?仁可以用在區(qū)仙（S心+。內(nèi)兄備的止交函數(shù)集來(lái)表示。下血 討論幾種不同形式的表示式. 一、三角函效表示式 宙上節(jié)討論町知，三血數(shù)集"osM/sin mQL）（n,m = 0,12…）在區(qū)何血,如+O內(nèi)為完 涪正交函數(shù)集.根據(jù)定B|! 3-1,對(duì)I：周期為F的一啖信:;（兩數(shù)）中任一個(gè)信號(hào)于都町以將確地表示為 g沁仙 G｝

50、的線性組合，即對(duì)于 幾）= /（（ +切 2 a /(}) = (3-13) + 工 cosrO 也 sinnQ) ■>! 山式(3-10),得 2 2 2 rr/2 b=-\ /sin G-14) ” T Lm 八’ 2 rT,2 G上 T 代(3?13)稱為周期X；/⑷的旳側(cè)、艸葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。從數(shù)學(xué)上講，當(dāng)周期信兮/滿足伙嘰赫利條 件時(shí)才可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù).但在電子、通信、控制等工程技術(shù)中的周期信號(hào)?般都能滿足這個(gè)條件,故 以后-?般不再特別注明此條件. 若將式(313)中同頻率

51、項(xiàng)加以合并,還可寫(xiě)成另一種形式,即 f = 4 +YH COSgt +何)(3-15) x 4 比較式(13)和式(3-15),可看出傅里葉級(jí)數(shù)中族雖Z何仃如卜關(guān)系： -arctan □ □ □ □□□ □ □ □ nB > ‘ 2 2 式(3邛5)稱為周期信巧了⑷的余眩熨傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。 式(13)和式(3J5)表明，任何周期信號(hào)，只耍滿足狄里赫利條件.都可以分解為許多頻率成整數(shù)倍 關(guān)系的正(余)技信號(hào)的線性組合。在式(3-13)中，如‘2是宜淤成分；sinCtt稱為基波分 C二2児 気 T為基波頻率3八處"込皿稱"次

52、諧波分顯宜流分戢的大小?基波分戢和 各次諧波的振幅、相位収決「?周期信兮/的波形。從式(3J4)和式(3J6)町知，外分M的振幅盒，5,4 和相位條都是"G的用數(shù)?并冇: 4厲是沁的偶函數(shù).r卩= 例02圖3?3所示鋸齒波.求其二角空傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式. 皿) 圖？?3 解 山圖3?3可知?該信號(hào)/(0在一個(gè)周期區(qū)間(?TTJT)內(nèi).冇 周期T = 2j T 由式(3-14),得 一路 <1 5 f =切 化=0 0? = 0」2??) F 耳=蕓八丹 式中4

53、由式(3/0)可求得為 (3-18) Qidt = — — C0SM5T = (―1)如一 故吻淚;/的:?角空傅甲?葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 /(/) = 2(sin d-sin 2Qi +*sin 3C^ + ■ ?■) 二、指數(shù)形式 因?yàn)楦钢笖?shù)函數(shù)集2曲}二0，1，竝，…)在區(qū)間&，陽(yáng)+了)內(nèi)也足一個(gè)完務(wù)的正交函數(shù)如 t=^L 其中 C，因此 根據(jù)泄理3舁?對(duì)丁任總周期為丁的f："；/,可在區(qū)間(5，陽(yáng)+。內(nèi)衣示為 r ＞的線性組合.即 (3-17) 式(47)稱為周期信巧/(。的指數(shù)也傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)心 山「?幾通常為復(fù)數(shù)，所以式(3-17)乂

54、稱為 復(fù)系數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。 同個(gè)周期信巧/?既可以展開(kāi)成式(3-13)所示的三如型傅里葉級(jí)數(shù)式，也可以展成式(3-17)所示 的指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)式.所以??者Z何必仃確定的關(guān)系。 cos = 因?yàn)?2 sin nCll = 2j /w = 代入式(3-13),得 a 0 =—+》(J8 cosC1Z +6足 sin nCli) 2 .i  所以 =+滂嚴(yán) 孑弧-兒）二半產(chǎn)“12… 彳 2 （3-19） +A）=寸“兀=-1，一 2,… 在周期信號(hào)展開(kāi)式（3/7）中./表示成境頻率為0，2,3宀…的指數(shù)函數(shù)之和。雖然山 丁?引用一"而出現(xiàn)了角頻率

55、-沁,但這并不表示實(shí)際上存在負(fù)頻率，而只足將第n項(xiàng)諧波分磧耳成了兩 個(gè)指數(shù)項(xiàng)而出現(xiàn)的一種數(shù)學(xué)形式?事實(shí)匕?以Q和廠附必然成對(duì)出現(xiàn)?IL都扼蕩在用。卜.，它們的和 給出了 ?個(gè)振蕩頻率為刃的時(shí)間實(shí)函數(shù)，即 亠"Q +如評(píng)％=兔COS（Q +呂） 2 2 三、周期信號(hào)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 耍把C知周期信號(hào)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，如果為實(shí)函數(shù)，1L它的波形滿足某種劉稱性?則 在其穌里葉級(jí)數(shù)中何些項(xiàng)將不出現(xiàn)，留卜的各項(xiàng)系數(shù)的表示式也變得比較簡(jiǎn)單。周期信號(hào)的対稱關(guān)系上耍 仃兩種：?種是整個(gè)周期相對(duì)丁?縱坐標(biāo)軸的對(duì)稱關(guān)系.這取決丁周期信巧是偶函數(shù)還是奇函數(shù)，也就足展 開(kāi)式中是否倉(cāng)冇正弦項(xiàng)或余弦項(xiàng)：

56、另-種是滋個(gè)周期詢麻的對(duì)稱關(guān)系.這將決定傅嘰葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中足否 含有偶次項(xiàng)或奇次項(xiàng)。下面簡(jiǎn)單說(shuō)明函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系。 1偶函數(shù) 若周期信y/波形相對(duì)r縱軸是対稱的，即滿足 則/（"是偶旳數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只:門(mén)1.流分駅和余弦分最，即 2奇函數(shù) 人周期信巧/（波形相對(duì)J?縱幫標(biāo)是反對(duì)稱的.即汕 gs （3-21） 此時(shí)/稱為奇函數(shù).比傅甲?葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只含仃正恢項(xiàng).即 4嚴(yán)2 乞=—L /(i) sin nQtdt 3 = 0丄2,…) 3奇諧函數(shù) 人周期信巧丁 波形沿時(shí)間軸半移半個(gè)周期丿門(mén)川!波形柑對(duì)r時(shí)何

57、軸像對(duì)稱? u卩満足 /0 = -/(ri) (3-22) 則/（Z）稱為奇諧函數(shù)或半波對(duì)稱函數(shù)。這類(lèi)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只會(huì)仃止弦和余戎項(xiàng)的奇次潛我 分雖. 4偶諧函數(shù) 人周期信巧波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期丿門(mén)刖衛(wèi)I 即滿足 幾）5 士韋） （3-23） 則為偶諧函數(shù)或半周期璽疊函數(shù)?其傅里葉級(jí)數(shù)展丿I式屮只:M ill弦和余弦波的傅 rft. 熟悉并掌握J(rèn)周期信號(hào)的奇.偶和奇諧、偶諧等性質(zhì)垢?対「?一些波形所包金的諧波分戢?？梢宰鞒?迅速判斷，并便傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的計(jì)算得到一定簡(jiǎn)化。 表A給出了周期信號(hào)波形的各種對(duì)稱情況.

58、性質(zhì).以及對(duì)應(yīng)的傅里葉系數(shù)an和bn的計(jì)算公式。 表3-1周期信號(hào)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 慚數(shù)/ 性質(zhì) dg # 0) H 0) 偶函數(shù) 只冇直流 分呆和余 2心2 討。/cos(QO^ 0 幾）=心） 弦項(xiàng) 奇函數(shù) 只冇正弦 項(xiàng) 0 0 4 fri 亍 I 奇諧函數(shù) 只有奇次 諧波分雖 0 4…？ 討0 /②cos〔心）慶 汀,*）沁沁）盤(pán) T /⑴一門(mén)士壬 S為奇數(shù)） （〃為奇數(shù)） 偶諧函數(shù) 只有偶次 諧波分雖 亍丄/⑦cos（位妙 4 fri ?。鄱鷋QM AO =

59、/a^) （"為偶數(shù)） S為偶數(shù)） 四.傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì) 科.rr ，則丿問(wèn)的傅甲?葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式八仃以下忡質(zhì)（證明略）: kU 代-心 20^^ ⑶f Q)=勃明嚴(yán) 0 O (4〉 f(t)cosCi=X^ N?《0 X-D 4/ 用完備正交函數(shù)集表示信號(hào) 一、正交矢雖 在平而空間中,兩個(gè)矢雖正交是指兩個(gè)矢量相互垂直。如圖3-1 (a)所示的A】和血足正交的,它們 Z間的銳夾角為90。。眾然，平面空間兩個(gè)矢呈止交的條件是 Aj *[3

60、^2 = 0 (3-1) 這樣.可將一個(gè)平血中任總矢雖A.在吒角朋標(biāo)系中分觥為兩個(gè)正交矢就的集合 A = C1Al 十 Q& <3-2) 同理?對(duì) 個(gè)二維空間中的矢W.A必須用?]維的止交矢呈集來(lái)表小?如圖x(b)所 示。有 A = q 爲(wèi) + G九 C 3*3) (a> 圖3 - 1 其中A】，A2t A3相互正交。在三維空間中個(gè)完務(wù)的正交矢雖集.而二維正交矢 雖集則在此悄況卜鬼不完備的。 依次類(lèi)推，在〃維空間中，只冇〃個(gè)正交矢JfAi. A2. A3?...?矗九構(gòu)成的正交矢環(huán)傑 3]上2，啟3,…,AJ才是完備的，也就是說(shuō).在〃維空間中的任一欠雖A,必須用〃維止交

61、矢雖集 （A1>A2,A3,- 表示，即 A = C] % + C? ^2 + C2 Ag +-D + CnA^ 雖然n維矢戢空間并不存在于客觀世界,但是這種概念有許多應(yīng)用.例如,"個(gè)獨(dú)立變戢的一個(gè)線 性方程，可看做〃維坐標(biāo)系中n個(gè)分雖紐成的矢氐 二、正交函數(shù)與正交函數(shù)集 正交矢雖分解的概念.可推廣應(yīng)用丁?信號(hào)分析，信號(hào)常以時(shí)間函數(shù)來(lái)表示，故信號(hào)的分解，也就足時(shí) 間惰數(shù)的分解.仿照矢戢正交概念，也可定義函數(shù)的正交。 設(shè)和去⑴是定義在山」2）區(qū)何上的兩個(gè)實(shí)變函數(shù)（信號(hào)）.卄在（」耳）區(qū)間上仃 廿縱處=0 （3-5） 則稱久⑴和在（上"）內(nèi)正交? 若久（丄）易（。,...,

62、（。定義在區(qū)間（必2）上，并且在（上“）,內(nèi)有 B r H - j f □nus - 則W）v’y）｝在山）內(nèi)稱為正交函數(shù)集，其中zh,2,.s先為一正數(shù)。如果 □ns 則稱W）4◎??，（）｝為歸一化n-交怖數(shù)集. 對(duì)M區(qū)何內(nèi)的復(fù)變怖數(shù)集厲％（"…丿山）｝ ?若満足 H = ?r ?— □nuE //>1 IL - 口 8 - (3 則稱此奴變函數(shù)集為正交復(fù)變函數(shù)集.英中力（為力的共犯復(fù)變函數(shù). 三、完備的正交函數(shù)集 如果在正交函數(shù)集｛&（%（" ?，（）｝之

63、外.找不到另外一個(gè)非零兩數(shù)與該函數(shù)集◎（）｝中 毎一個(gè)函數(shù)都正交.則稱該函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。否則為不完備正交函數(shù)集. 對(duì)J：完備止交函數(shù)集，仃兩個(gè)巫耍圧理。 定理a 設(shè)｛&⑵，並（"…，人⑵｝在（ss）區(qū)間內(nèi)是某-類(lèi)信號(hào)（函數(shù)）的完備疋交函數(shù)集，則 這一類(lèi)信號(hào)中的任何一個(gè)信號(hào)仗）都町以粘確地農(nóng)示為｛』i⑵，並（"…，人⑵｝的線性組合。即 f（t） = +af2 + ?□ + qx （3-9） 式中.為加權(quán)系數(shù),且有 (3-10) 式(3-9)常稱正交展開(kāi)式，仃時(shí)也稱為歐拉傅里葉公式或廣義傅里葉級(jí)數(shù)，G稱為傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。 定理32在式(3-9)條件下.冇 fjr陸二百

64、 (3-11) A(3-11)nr以理解為：的能,1；「芻個(gè)分雖的陡MZ和，即反映能雖抽仁怎理3?2也稱為帕塞瓦爾 定理. 例M(2知余弦函數(shù)集{cos/,cos2/,...,cosn/}(/7為整數(shù)) ⑴證明該函數(shù)集在區(qū)間(0,2n)內(nèi)為止交函數(shù)集： (2) 該怖數(shù)集在區(qū)間(O?2tt)內(nèi)是完條iE交幣數(shù)集嗎？ (3) 該函數(shù)集住區(qū)問(wèn)(0. 2 )內(nèi)璉疋交函數(shù)策嗎？ 解：(1)岡為當(dāng)丙時(shí) 檢曲譏。$曲"丄[蘭匕+迥二=0 JLJ 2 I +r I -r o rr 11" 當(dāng)時(shí) J^jcos j/cosr/^Z = —[/ + — sin 2it] - 可見(jiàn)該函數(shù)集任區(qū)

65、何(0. 2tt)內(nèi)滿足式(3?6),故它在區(qū)間(0. 2TT)內(nèi)足-個(gè)正交函數(shù)集。 (2)因?yàn)閷?duì)「?非零函數(shù)sin*仃 即sint在區(qū)間(0. 2tt)內(nèi)與｛cos/7t｝iE交?故因數(shù)集｛cosnt｝在區(qū)間(0. 2tt)內(nèi)不是完備正交幡數(shù)集。 對(duì)「?任總整數(shù)?此式丿卞不恒軫于零?因此,根據(jù)正交函數(shù)集的定義.該甌數(shù)集｛cos/#｝在區(qū)間(0, x/2)內(nèi)不是正交用數(shù)集. 山上例町以看到，一個(gè)函數(shù)集是否正交，與它所在區(qū)何有關(guān)，在某一區(qū)間町能止交，而在列一區(qū)間乂 可能不正交。另外.在判斷函數(shù)集正交時(shí).是指函數(shù)集中所仃函數(shù)應(yīng)兩兩正交.不能從-個(gè)函數(shù)集中的某 〃個(gè)甬?dāng)?shù)相互正交，就判斷該函數(shù)集是正交函數(shù)集. 四?常見(jiàn)的完備正交函數(shù)集 ⑴ 三角函數(shù)集｛cos班Msin = 0J2…)在區(qū)間&易+C內(nèi).有 0 ( m) cos nQi cos mCiLdt = 7/2 ?72 (n = fn) r ( = w = 0) 0 〔〃 H 加,〃=胡=0) Tf2 n = m 式中,  可見(jiàn)在區(qū)間（‘皿+內(nèi)，三角函數(shù)集"os沁以in刃創(chuàng)對(duì)丁?周期為尸的信測(cè)成正交函數(shù) 幾而」Um務(wù)的止交函數(shù)集⑴完務(wù)性在此不討論）。而函數(shù)集fco$"G, （sm wCte）也匕|交函數(shù) 集，但它們