傅里葉變換的基本性質-傅里葉變換性質

傅里葉變換的基本牲質（一）傅電葉變換建立了時間函數(shù)和頻譜丙數(shù)之間轉換關系.4實際信號分析中.統(tǒng)常需要對信號的時域和頻域 Z間的對應關系及轉換規(guī)律令一個淸楚而深入的理解。I人I此令必耍討論傅里葉變換的基木性質，并說明其 應用.一、線性傅里葉變換是-種線性運算。M（f）f E（M）了2 V戸2少）功（f ）十 bf2（O aFx （丿少）十礙（丿0）（3-55）其中a和b均為常數(shù)，它的證明只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出。例36利用傅也葉變換的線性性質求臥位階躍以打FJ頻譜西數(shù)叫助-/(/) = ) = - + -sgn(/)由式（3-55）得F3 = <)=；譏 1 + 1X 2兀撫少)+ x 2 二址應勁 +2222 jaj對稱性心）（妙則叫心切（-力）&56）證明【人I為將上式中變昴e換為X.積分結果不變.即2 寸(-()=F dx丄一9再將t用少代之.I：述關系依然成立.即2譏-）=P心）嚴dxFQ) h 2 磔(一卬)若/是一個偶嗨數(shù)，即/（T）= /（）,相應右J（一二/），則式（3-56）成為F（并）<-> 2nf（a）（3-57）町見，傅里葉變換Z間存在著対稱關系，即信號波形與信號頻誥說數(shù)的波形有著用相置換的關系，其幅度Z比為常數(shù)2燈。式中的一少農(nóng)示頻譜函數(shù)朋標軸必須止負對調(diào)。例如：/W =占（0歹（丿）=1 只3 = 1 <-> 2疥（助=加罠勁例3-7若仁卩；/（的傅里葉變換為片（丿少）二2切 |e2?| <r/20圈 >Z2試求/ o解 將應（丿少）中的少換成t.并考電刀（丿勸為少的實函數(shù).冇F3 二 F =2別0|i| <r/2|i| > r/2該信號的傅里葉變換由式（3-54）uf知為根據(jù)對稱性(TJT再將/（一少中的.-.,w/w=aM>/為抽樣函數(shù)，其波形和頻譜如圖920所示。三. 折疊性r：-/（/）J尸(-= Y 型-F(Joj)（3-58）四、尺度變換性/W刀0少）/）丄F0-）（3為大于零的實常數(shù)）（3-59）則Q a令X二加.則dx = adt t代入前式.可得亦畑1>）嚴哼弓殲）證畢F （J ）除數(shù)了（加）衣示/沿時間軸斥縮（或時間尺度擴展）a倍，而a則衣示 %少）沿頻率軸擴展（或頻率尺度壓縮）a倍。該件質反映了信號的持續(xù)時間與戲占冇頻帶成反比，信號持續(xù)時間壓縮的倍數(shù)恰好等丁占冇頻帶的展 寬倍數(shù).反之亦然./ =例 M|/| <r/4"4,求頻譜函數(shù)叫叭E解嘰討論了恥彳。|f| <r/2#卜"2的頻譜函敵，n根搖尺度變換竹佇汴；/比 ）的時間尺度擴展一倍，即波形壓縮了一半，岡此英頻i普函數(shù)叫斫軌畸）=滋（護ooO兩種信號的波形及頻譜函數(shù)如圖3-21所示。碎)E-r/20r/2aIwIKr/2五、時移性Y-幾心刀（皿f(t g) V F(j 產(chǎn)叭(3-60)則此性質町根據(jù)傅也葉變換定義不難得到證明。它衣明林任時域/平移時間,則其頻惜函數(shù)的振幅并不改變，但其相位卻將改變曲。/ =例S9求E 0 <Z <tf t<Oft>v的頻譜函數(shù)F(j叭解根據(jù)詢|佃所討論的矩形脈沖信號和傅電葉變換的時移沐仃F（j= E妙聳河再“六、頻移性幾）（購fgS 宀 7；( + o)(3-61)IJ證明rf/C），曲卜匸幾）嚴2“婦匸/妙*%咕心兒干曲證畢頻移性說明川”；/乘以曲,加門的;所分斛的毎寸F數(shù)分M;乘以/曲，這就使頻譜 中的毎條譜線祁必須移.亦即拾個頻諾相應地掘移了 5位代.頻諾搬移技術川通信系統(tǒng)得到了廣泛 2用.謚如iO、同步解調(diào)、變頻1；過用都足在頻譜搬移的基礎上完成的。頻譜掘移實現(xiàn)原理是將佇 乘以所謂載頻信號匕：如或彳山吋即/（f）皿則右冋（少+嗣+殆（少一氣）/ (f) sin 少也 O尸丿（少+5）._尸丿（少_5）七、時域微分性柞"）刀0少）讐"3Z2）則證明,因為幾）F0如2究兩邊對t求導數(shù)W）_ 得處f* jQJtF(JtD)eTdnj2tt J若幾）o）蟲?卑0（購）于（購） 證畢 同理，可推出 必例30求幾）=（的頻譜曲數(shù)刀（丿少）.解：I人i為旳1由時域微分性叫斫。呼例3-11圖3-22所示信號/（）為三角形旳數(shù)/W = A（i）= -70求It頻譜函數(shù)刀（丿少）.解：將/（）微分兩次心，得到圏322（c）”i小函數(shù)，英展達比為1 ?1TTT</" W）=（2 貞） = I 琢 一 2 + 嚴）=-cos 曲一1山微分性廠曠r sin / 2) (bi所以T（JG3）iba ()2傅里葉變換的基本性質（二）八. 頻域微分性則day廣/（）（丿嚴""丫妙（3-63）為證例3d2求/C）=2"（Z）的頻誥曲數(shù)尸（臨。U （?） <->兀爲勁+ 解：I月為丿少tUt） <-> j - 更曳少）+ - =嚴/ （少）-厶-根據(jù)頻域微分性加L丿九、時域積分性/ /（/）F(jd)+曲（0）扌3）（3-64）若幾）o）若幾）o）例A3根據(jù)處）1和積分件求/）= S）的頻詵函數(shù)。根據(jù)時域枳分性解：I人1為死W"（）丄+兀薊少）若幾）o）若幾）o）例3-14求圖3 23所示信號/的頻譜因數(shù)月（丿少）解/（Q對上求兩次微分后.得/*(/)= - + r/2)-r/2)/ 0舄如2 _匕沖以? siH(竺)rvt 2由時域積分性jF嚴、：2“ cur、幾 /、2., ajz .d?r 、/C0 = L/ (xx -(T)+ -xO)=_sln(T)= ()丿少2f (z) = f f (x)dx b sin(巴L + 於班0)占(q)=丸罠qj) +&(孚)J"j a* 2c(a)1/r1-r/2 0 Til y(b)S3 -23十、頻域積分性音/（/） S左（丿少）丄加（0）犯）+ 1j）丄FQdx（3-65）Jt7例15已知t ,求F（阿。解：因為sin") = 2力-e-)o 3(qj_ 1) 一 古3+1)=丿胚5(田 +1) 占(少一 1) 2j2)根據(jù)頻域枳分性竺3 丄匸皿占0 +1） 序0 -1）皿=規(guī)“田+1） 5少一 1）十一、時域卷積定理若/1 (f) 0坷0少)/10 % 0少)/1（） * / 0）戸1 0勁戸2 0（3-66）則證明：u*/2）=r=r ）皿 b=丿一 I一gIJI 丿一<匸Z”）碼（丿勁曠問必=碼（丿勁匸必=禺（購）國（購）證畢 例A16圖324（a）所示的工角形函數(shù)L H./W= 1_7.okl>可看做為兩個如圖3-24（b）所示門函數(shù)9）卷枳。試利用時域卷枳定理求其頻譜幣數(shù)刀（丿少）。神r(a)(b)sin（G衛(wèi)） （DT又 gg對所以3皿焙1A_例17 個信號了的希們特變換/）是/和曲的卷枳.即A 1 1/（/） = /W*-=-f7drr 兒 9gn（z）解：岡為丿少 今 2席$奧（一勁 =一2址sgn（少） 則對稱性應 G-J sgn（少）山時域卷枳定理八/W = /W* f -j 嘶時伽）33-22傅里葉變換的基本性質（三）十二、頻域卷積定理/i 巧（皿） A Q）碼0齊（。加）7丄用（何咧帥） （3-67）例38利用頻域卷枳定理求/W=W的傅里葉變換鞏阿.解：因為占（f）今丿少山對禰性虛2加$ * （-血）=一2加5 *0）jjrS (少)+t5?(<y)t O J2兀S (少)所以根據(jù)頻域卷枳定理令*=嚴 () + $ (ffl) *()Q0Jf（j功=禍（功_（爲）少十三、帕塞瓦爾定理人（g心碼0少）.I咒A 0）必=匸巧（力）力（皿）為（3-68）可推廣匸|伽|%諄伽）|也（3-69）若&為實函數(shù)則匚長）止=匸匚片（皿）也(3-70)若為實幡數(shù)則匸ZW /2 （"必 匸用少）尸2(3-71)例皿Sa2(ai)dcD解：因Sa2(o)dJ-2兀 1U X42充r一92ta 2xS2j( af)d cd2SaG2 （f）. 山帕塞瓦爾定理町得%）&2（切=膚十四.奇偶性 若幾） F（g）二F3）應如二R（e） +疋（少）則（1）半/（）為實惰數(shù)時.則= （丿少）| = （-勁 祕勁=_旗_勁J?(2?) = R(-ui)乂(少)二x(q)(3T2)若/為實偶函數(shù).即/（= /（-，）則（實偶函數(shù)）（3-73）若7（。為實奇函數(shù).即幾）二一/（一f） 則F（j勁二必（叫陰）=0 J隠奇函數(shù)）(3-74)（2）當/為虛函數(shù)即幾）=丿噸）時.則F(cu) = F (-少) 0()=- (-少)農(nóng)(少)二(- QJ) xg = xz（3-75）傅里葉變換的性質表格性質名稱時域頻域1.線性妙+城(f)2.對稱性F32(-0?)3.折疊性/(P”（-丿少）4.尺度變換性丄尸舁） aa5時移性F(j 論 g6.頻移性宀幾）尸|丿（血干叫,）7時域微分才北）0少）嚇0少）8.頻域微分S)e怙)aa>9時域枳分f /0）必尸）+曲（加（少）10.頻域積分g旳十咲）t2-I叫如11.時域卷積鞏0少迅（丿少）12.頻域卷枳2咒13.帕塞瓦爾定理周期信號的傅里葉蠻換周期信匕雖然不滿足絕對可枳的條件.但氏傅里葉變換是心在的。山丁周期伏汀;頻譜是離散的，所以 它的螺甲.葉變換必然也是離散的.而II是由一系列沖激信號紐成.卜而先討論兒種常見的周期信號的傅世 葉變換然后再討論一般周期信號的傅里葉變換.一. 復指數(shù)信號的傅里葉變換對復指數(shù)信號-00 <1 <00（3-76）因為2/5.山頻移性復指數(shù)信號是表示一個單位長度的柿嵐以網(wǎng)定的角頻率30隨時間旋轉.經(jīng)傅電葉變換后.英頻譜為 集中丁5,強度為2兀的沖激。這說明信弓時間特性的相移對應丁頻域中的頻率轉移.二、余弦、正弦信號的傅里葉變換對丁余弦信巧= COS 砒=2-00 <00梵頻譜函數(shù)勁=丄【2加戌少一叫）+2席次少+列）2二応頃也一）+貢少+ %）仙）-25-25曲_送-z-oo <t <00並二sin琢二對丁正弦信號G爲 00> = 42?- %) - 2瞰+%)6-78)2J二丿或少+電）一&少一）它們的波形及其頻譜如圖3-25所示.-25-25A血爲（丿（詠（一兀）-25-25單位沖激序列的傅里葉變換 若信號/（為小位沖激徑列.即-25（3-79）(3-80)則其博里葉開式為對X進行傅甲葉變換并利用線性和頻移性得(3-81) 09F（JcD）=工 2席鳳eU-？3門）=門另 3（少一 G）T 足.TO"YD可見時域周期為T的爪位沖激序列，其傅也葉變換也是周期沖激序列.而頻域周期為G.沖激強 戌川；均為 d 周期單位沖激序列波形、傅里葉系數(shù)吒與頻諾兩數(shù)川丿少）如圖326所示.S 3-26(D-2Q-Q0 Q 2C3)三. 一般周期信號的傅里葉變換對-般周期為T的周期信號/（力其指數(shù)塑傅里葉級數(shù)展開式為/w=ZC 式中=FM = - p Z 嚴 di 丫*丁 J-iya 八9對上式兩邊取傅里葉變換.并利用其線性和頻移性且考慮到4與時間f無關.可得Fg=工殆 2広次少G） = 2% 另瑪（3-82）式082）衣明.一般周期信號的傅里葉變換（頻譜函數(shù)）是山無窮多個沖激函數(shù)紐成.這些沖激甫數(shù)位 r信號的各諧波頻率"G（"二士1，2,）處，其強度為相應傅里葉級數(shù)系數(shù)兔的2x倍。可見，周期的頻譜是離散的。但山傅里葉變換是反映頻譜密度的槪念，岡此周期信弓/（的 傅退葉變換尸（丿勁不同T-MHl葉系數(shù)丘，它不足仃限值，而足沖激函數(shù).這農(nóng)明無窮小的頻帶范川（即 諧頻點）取得了無窮人的頻諾值。例420圖3-27（a）表示 周期為尸，脈沖寬度為丁，幅度為1的周期性矩形脈沖制；記為耳（ 試求芷頻譜函數(shù)。-T -T/1 0 1/2 T3八解 山式026）可知.圖327（a）所小周期性矩形脈沖信巧/=Fr（f）的傅里葉系數(shù)為F(j8)= # =學 占(少-加)=z2f.ro數(shù)所爼成.1“ m =處的強度為2sin(圖027(b)給出了丁= 2丁情況下的頻譜國(3-83)式中 T 可見，周期矩形脈沖信兮與()的傅里葉變換山位t.=0zO+2Q,處的沖激函周期信號的頻譜一、周期信號的頻譜一個周期信；/，只耍滿足狄也赫利條件.則可分解為一系列諧波分蛍之和.H各次諧波分丘可 以是正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，也可以足指數(shù)函數(shù).不同的周期信號英展開式組成悄況也不盡相同。在實際 丁作中，為了表征不同信號的諧波組成惜況.時常倆出周期信號次諧波的分布圖形，這種圖形稱為信號 的頻誥，它是信號頻域表示的一種方式。描述各次諧波振幅與頻率關系的圖形稱為振幅頻詵，描述各次諧波相位與頻率關系的圖形稱為相位頻 誥。根據(jù)周期信號展成傅里葉級數(shù)的不同形式乂分為單邊頻譜和雙邊頻譜。1 m邊頻譜廿周期信勺/(的傅里葉級數(shù)展開式為式(3J5),即f<l) = 4 +S0 cos血Gr+Q(3-2i)則對屁的掘幅頻譜4和相位頻譜仇稱為單邊頻譜。例3-3求圖3-4所示周期矩形的單邊頻誥圖。解山/波形町知./)為偶曲數(shù)，其傅里葉系數(shù)T107T故幾）-如+ix COS說一 1 +乞2s垃（歸4） cos說X-1邱75, 12 血4)蟲0 = "7& =因此4*njz即4 = 0.45>刃2 0.329Z3 w 0.15i- = 09A5 0.0994 0.106 .單邊撮福頻譜如圖35所示。0.45:0.32 則打“G所描述的振幅頻i普以及丘的相位MCtan尺=此ijnCl所描述的郴位頻譜稱為雙邊頻-r/20r/20.25n學。呼;3 Q2Q3Q4Q5Q6Q7 Q陽3-52 XX邊頻譜若周期制；/的傅也葉級數(shù)展開式為式（3J7）.即幾）=茹嚴幵.ro(3 - 25)in-傍34怖出圖34所小妙形周期信巧$ 的以邊頻譜圖形。解111X(3-18)和圖34可知兔冷j:;處叫"1 2sin(”x/4) x4nrr24 理1 = 0.225 F2 = 0.159 屜=0 075 t >90.25 t；n,225 鼻 0.159:o OQ5.:字004二-I2_-_-50 3Q -Q 0 G 30 5Q> co二 0 F劭=-0.045= 0.053> 故呵迅沁罠的雙邊頻譜圖如圖36所示.A arctai遲-5Q 3Q G 0 G 3Q 5Q從上例頻譜圖上可以看出單邊振幅頻諾是拆4 = 2氏與疋負力值的關系應注意所以將炊邊掠輜荻譜與正川值的關系雙邊振幅頻譜是指"|1彳繞縱軸將負嚴邊対折到"邊.并將振幅相加.便得到單邊振幅4頻譜.X丘為實數(shù).1|/備諧波分童的樸或TT用形比較簡單時，也可將振幅頻i帶和相位頻譜介金 幅圖中。比如.例34中的頻譜町用尺I嚴關系圖形反映，如圖37所示。-0-再：丨：:14G3Q0 03周期信號頻譜的特點圖7反映了周期知形佇:；/頻譜的一叫性質，實際上它也是所冇周期信弓頻譜的泮遍性質，這 就是：(1) 離散性.措傾譜山頻率戲散而不謹續(xù)的譜線紐成.這種煩譜稱為曲散頻譜哎線譜.Q =(2) 諧波件指乞次諧波分雖的頻率都是基波頻率T的整數(shù)倍.而|.郴鄰諧波的頻率間隔是均勻的.即譜線隹頻率軸上的位世是Q的整數(shù)倍。(3) 收斂性。指譜線幅度隨"TO而衰減到零 |人此這種頻譜具何收斂性或衰懣性.二、周期信號的有效頻譜寬度在周期信昂的頻諾分析中周期矩形脈沖信號的頻諾J1冇典烈的總義，得到廣泛的應用下而以圖3-8 所示的周期矩形脈沖信號為例，進一步研究其頻譜寬度與脈沖寬度Z間的圖3-8關系。-T -r/20r/2 TS 3-2圖3-8所示仞；/的脈沖寬度為乂 ,脈沖幅度為S. jeumj期為T,巫復角頻率為GT ;2；將了展丿I為式(3仃)傅里葉級數(shù).則lllA(3-18)nff!/(3-26)在這里幾為實數(shù)。為此一般把報福頻譜和相位頻譜合畫在-仙圖中.W 3-9所示。圖3 9由此圖可以看出Q二竺(1)周期矩形脈沖信號的頻譜是離散的，為譜線間隔為 T .(2)直流分鍛、基波及各次諧波分雖的大小疋比于脈幅占和脈寬J 反比于周期八其變化受包絡sin x線x 的牽制(3)當時，誥線的包絡線過零點因此T稱為零分嵌頻率.(4) 周期竝形脈沖信號包金無限多條譜線它可分解為無限篡個頻率分址但其匸耍能城集中在第"0絲個零分呈頻率Z內(nèi)。岡此通常把7這段頻率范IM稱為矩形倍巧的仃效頻譜寬度或缶巧的山仃頻帶.記作（3-27）顯然.有效頻譜寬度只與脈沖寬度"有關,而且成反比關系：仃效頻譜寬度是研究信號與系統(tǒng)頻 率特性的巫要內(nèi)容要使信匕通過線性系統(tǒng)不火JX就要求系統(tǒng)木巾所JI仃的頻率特性必須與信號的頻寬 相適應對T 傲周期信號，同樣也可得到離散頻譜,也存在零分尼頻率和信號的占有頻帶。三. 周期信號頻譜與周期丁的關系卜M仍以圖38所示的周期拒形信號為例進行分析。肉為所以在脈沖寬度廠保持不變的悄況下,若增大周期丁,則可以看tfhQ =離散譜線的仙隔T將變小，即譜線變密。(2) 并譜線的蚓度將變小.包絡線變化緩慢.即振幅收斂速度變慢。(3) 由F*不變,故零分最頻率位置不變，信號有效頻譜寬度亦不變。圖310給出了脈沖寬度丁相同而周期f不同的周期矩形脈沖信號的頻譜。山圖可見，這時頻譜包絡 線的零點所在位代不變，而半周期T増大時，頻i普線變密，即在信弓占冇頻帶內(nèi)諧波分吊増多，同時振幅 減小.半周期無限增人時.變?yōu)榉侵芷谌氏噜徸V線旬隔趨近零。相應撮幅總無 仁 從 而周期信號的離散頻譜過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜.這將4：卜一節(jié)中討論T = 4r-2jr/r ;-i1j 3G 20 - Q 00 2G 3Q? 2/rw樣）E Er!T * ! 00 fl圖3ID如果保持周期矩形信號的周期T不變,而改變脈沖寬度生則可知此時譜線間隔不變.若減小J2只(23 =則信巧頻譜中的第，個零分呈頻率丁 增人.即倍號的頻譜寬度増人同時出現(xiàn)零分雖頻率的次數(shù)減小，相鄰兩個零分嵐頻率間所含的諧波分試增大。并II各次諧波的振幅減小，即振幅收斂速度變慢.若卩增大，則反Z。四、周期信號的功率譜周期信巧/的平均功率可定義為在1電陽上消兀的平均功率.即(3-28)周期信； f 的平均功率可以用式(328)在時域進行計覽也可以心頻域進ffil W若/的指數(shù) 型傅里葉級數(shù)展開式為/=乞丘嚴Jtf.CD則將此式代入式(3-28),并利用尺的仃關性質，可得丄M該式稱為帕塞任爾(Parseval)宦理。它農(nóng)明周期信號的半均功率完全可以在頻域用凡加以確定。實際 上它反映周期信金時域的平均功率等頻域中的“流功率分：iifH族次諧波半均功率分it之和。國I 0 "C的關系稱為周期信號的功率頻譜.簡稱為功率i乩 顯然.周期Q；的功率譜也足離敬譜120.例口 試求圖38所小周期如形脈沖信號/C)/仃汶頻譜寬度內(nèi).介：訓!1仃的忖"：E = ,T = rT = 個信號平均功率的百分比。設4解肉為1 sin( /5)11作出頻譜和功率譜圖.如圖311所示個零分為所以在信號頻諾寬度內(nèi).包禽一個克流分戢和四個諧波分吊:。1/50二 4附 丁 ：1 32介16朮01632加右327T-167T o 16兀32加 j011圖 3-111/T/2 佯P-子 2（。處二 0.2 琢周期信弓的平均功率為T在冇效頻譜寬度內(nèi)（H巧的平均功率為耳=1對+2|對+|對+吋+囲211+（）+對（）=0.1806 爐1_ 0.1806P 0.2從上式町以看出，在所給出的周期矩形脈沖怙況包介在仃效頻譜寬度內(nèi)的信匕均功率約占整個信號平均功率的90%非周期信號的頻譜一. 非周期信號的頻譜函數(shù)/W=寸嚴（3-50） 對丁周期信號/（己知它可表示為"i(3-31)式中（3-32）將式（3-31） A寫為*!（；. J / 的周期尸矩丁無限人時，山I：廿討論町知譜線何隔趙J小，譜銭密集成為連續(xù)頻離散變戢變?yōu)檫B續(xù)變戢.即此時記鞏丿）= Inn RZ=/（）廠琢必（3-33）I*Tg一9用（丿少）稱為頻譜密度曲數(shù)，簡稱頻誥的數(shù)，其意義為單位頻率上的諧波幅度。尸（丿少）為少的復函數(shù), 可寫作嗆少）十）嚴其中I用（丿少）丨代衣非周期信號中各頻率分加幅值的相對人小，輻角瓏0）則代衣相應各頻率分爪的 相位.Ill JH 伽)二 limTTtp Glim 7? = lim y*Tc&j*T9F(jgN所以式(3-30)在于To時為/ =F(J叭叫也二 J_FQ畤叫a(3-34)Lg 2兀2網(wǎng)兒9個分就的復數(shù)該式農(nóng)明.一個井周期信號可以看做足無限多個幅度無限小的父指數(shù)諧波之和.而苴中毎振幅為 2冗*二. 傅里葉變換式(333)和式(334)豎一對很取要的變換式.現(xiàn)眾寫如下:F(Jai)e"ddp(3-35)前者是由信號的時間函數(shù)變換成頻那函數(shù).稱為傅里葉正變換式.有時記為川九)2 F伽)或/)TF伽)麻音是山信匕的頻率函數(shù)變換為時間函數(shù).稱為傅嘰葉反變換式.冇時記為如果上述變換中的n變迪不用角頻率少而用頻率/.則山"2對可寫為32匸心叫2/w=w>/2J頻譜密度怖數(shù)F（臨込 復變幣數(shù).可以寫為F(J功=|尸0少)|昇3 = &a?) +樓(少)式中I少）I和日（少）分別為刀（丿勁的模和相位，人（和X（0分別為刀“少）的實部和虛部.傅也葉反變換式也町寫成/（/） = e F0詼川才心=丄憾（丿0）*曲"3咕0 =2兀2龍血|%/勁|述血+炯悶+丿右圜代/啡尬血+畑血二上） +広（ 3-；町見-個卄周期（，；/（也町以分解成許多不同頻率的止、余弦分址，也町以分解為/的父變函數(shù)若/是實函數(shù),則I用（丿砂I和瓏皿）分別是3的偶函數(shù)和奇函數(shù)，并且cos at + &(tu)Rtu（3-38）三、傅里葉變換的存在條件前面根據(jù)周期信號的傅里葉級數(shù)導出了傅里葉變換。而從理論上講,傅里葉變換也應滿足一定條件才 能g傅里葉變換“在的必耍和充分條件的證明需耍較多的數(shù)學基礎理論，在此僅對其充分條件加以討 論。如果制；/（滿足絕対可積條件.即r 1/(2) 1 <00(3-39)-<30則其縛里葉變換FQ血 存在，井滿足反變換式。所右能址佇號都能満足上述絕対叮枳條件。這一條件是 傅甲葉變換心在充分條件而不是必耍條件.一叫不滿足絕對可積條件的幡數(shù)也可右傅甲-葉變換，例如抽樣 sin QJL函數(shù)al ,階躍因數(shù)"（）符號說數(shù)和周期函數(shù)等。卜面說明為什么式（3-39）成立時./和只（詢一定存在.I人1為/-(D嬰使嗆嘰在必須滿足=Z） 式（340）中的被積函數(shù)妙是變就上的換數(shù).它可正可負.但如果取絕對值再逍行積分.則必仃又.r/Q）宀如血）_9dtt1 ,故畑一7 必購（3-41）訛（屮畑如果1刪co，則四. 典型信號的頻謙函數(shù)1爪邊指數(shù)信號單邊指數(shù)信號力的表達式為/! =L >0L <0a>0(3-42)代入式（333）得fs=r 產(chǎn)曠期泓=!2CE+ JOJ（3-43）110 少）| = / 22（型=一 arctan 幅度賴譜為"a +少，相位頻譜為a e uf見幅度頻譜和柑位頻譜曲數(shù)分別是頻率田的偶函數(shù)和奇西數(shù)。單邊指數(shù)信號X波形.幅度諾冋（丿少）1和郴位謙&如圖3/2所示.田3122偶雙邊指數(shù)倍弓纓"邊指數(shù)信；& )的表達式為-co <2 <oo ct > 0(3-44)JI：頻說曲數(shù)為瑪(g)=卜專九+宀h =2oa2 +a?(3-45)屁(2)卜故幅度頻誥2aJo? + 少2相位頻譜仇二。 (f)波形和幅度頻譜岡咧如圖3奇雙邊指數(shù)信號對奇雙邊指數(shù)信號處)=3L <0/ > 0a >0(3-46)其頻誥函數(shù)(jcd) = -f4-pee3 = -j2(3-47)JJOOS + CDI禺0勁卜 故$3) = "広/2/2其波形和幅度頻譜如圖3-14所示。圖3454符弓函數(shù)信匕符號怖數(shù)或正負號怖數(shù)以記，其表示式為+1 / > 0z（Q 二哪（巧二 S 1.門48）1 i < U顯然.這種信號不滿足絕對可積條件.但它卻存在傅里葉變換。對奇雙邊指數(shù)信號處）=I <0t > 0CE > 0當” TO時,有忸"）聘，故符弓函數(shù)的頻譜函數(shù)（3-49）2aa2冋（2）1帀一禎2其波形和福度頻譜如圖3-15所示。5爪位克流信號對丁單位山流信T；JL衣達式為/j(r) = 1 -co < <00(3-50)可見孩信號也不滿足絕対可積條件.山川利川上述力（取極限對求即此傅股葉變換。即/5(Z)= lim /2=limn=l17# 0少=0e>Ufir->U此（g） =lim 碼 0 少）二応 r_ 故G十少2ck2 +/顯然.這農(nóng)明烏。少）為一個沖激強度為2出現(xiàn)在力=0的沖激曲數(shù)即= 2 広董勁（3-51）其波形和頻譜如圖3-16所示。對丁也位階躍他6（）="（）.可利川求其傅里葉變換即扎QX U抽二曲人二靈尹U1. r al = lim :費TO a + jgj “to 0# + 少a ->0ar> 0九（丿少）=lim 片（Jq） = lim 少一>0匚:故lim 5二歷薊少）利用心a +心有F6 （jo?）=兀罠方）+ （3-52）其波形和頻譜如圖317所示。陽316圖3177單位沖激信號扌（單位沖激信號的時域表示式為Fq 0 CD)= F3(ty)= 1(3-53)其傅里葉變換式為可見丫1位沖激信號的頻譜函數(shù)是簾數(shù)仁它均勻分布丁型個頻率范I譏其波形和頻譜如圖3-18所示.八馬(間I1S3 128矩形脈沖信號山)九(f)=的表達式為 <r/2|f| > vf2sin()耳 0勁=Eedt = Et其頻譜函數(shù)(3-54)S垮)> 0 吋。-r/20r/2木I瓦0切）|其波形和頻譜如圖A9所示.可以看出,矩形脈沖信號在時域中處于有限范他內(nèi),而其頻譜卻以g）0丄2 規(guī)律變化.分布于無限寬的頻率范國內(nèi).但英卞要能吊處丁營范帕.所以.通常認為這種常；的占冇頻帶為眄=2小 或表二2列出了站用信號的傅世 葉變換表32常用信號的傅里葉變換時間函數(shù)/（傅立葉變換少）單邊指數(shù)信號幾)之 F(f) a>01/(qj + Jg?)偶雙邊指數(shù)信號/（2）= W >02dz/(a2 +/)詢雙邊指數(shù)信巧一戶 L <0aa > 0 嚴 i >0-</2cu/(ck2 + a?)符號函數(shù)+1 i > 0SSQ(O=1-1 Y2 ja直流仃號/(/) = E -co <z <w2鹿fl r >0單位階躍信號1 1 <0rrtS(cb) +-單位沖激信號奐）=8上=08（e）dt = 1e lil <r/2矩形脈沖信號1rl話心（邊/2）三角脈沖信號1 - tfj k| <t F o Eh濟二（斬/2）F非正弦周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)周期信號足泄義4（8嚴）區(qū)間.毎隔定時間匚 按相同規(guī)律巫以化的信號。般表示為 幾）=/+和乃 = QD士團（3-12）式中，丁為該信右的匝復周期.英倒數(shù)稱為該信兮的頻率.記為或角頻率對J; II 11?周期國數(shù)，根據(jù)定理3仁可以用在區(qū)仙（S心+。內(nèi)兄備的止交函數(shù)集來表示。下血 討論幾種不同形式的表示式.一、三角函效表示式宙上節(jié)討論町知，三血數(shù)集"osM/sin mQL）（n,m = 0,12）在區(qū)何血,如+O內(nèi)為完 涪正交函數(shù)集.根據(jù)定B|! 3-1,對I：周期為F的一啖信:;（兩數(shù)）中任一個信號于都町以將確地表示為 g沁仙 G的線性組合，即對于幾）= /（ +切2a/() =(3-13)+ 工 cosrO 也 sinnQ)>!山式(3-10),得222 rr/2 b=- /sinG-14)” T Lm 八2 rT,2G上T代(313)稱為周期X；/的旳側、艸葉級數(shù)展開式。從數(shù)學上講，當周期信兮/滿足伙嘰赫利條 件時才可展開為傅里葉級數(shù).但在電子、通信、控制等工程技術中的周期信號般都能滿足這個條件,故 以后-般不再特別注明此條件.若將式(313)中同頻率項加以合并,還可寫成另一種形式,即f = 4 +YH COSgt +何)(3-15)x 4比較式(13)和式(3-15),可看出傅里葉級數(shù)中族雖Z何仃如卜關系：-arctan nB> 22式(3邛5)稱為周期信巧了的余眩熨傅里葉級數(shù)展開式。式(13)和式(3J5)表明，任何周期信號，只耍滿足狄里赫利條件.都可以分解為許多頻率成整數(shù)倍 關系的正(余)技信號的線性組合。在式(3-13)中，如2是宜淤成分；sinCtt稱為基波分C二2児気T為基波頻率3八處"込皿稱"次諧波分顯宜流分戢的大小基波分戢和各次諧波的振幅、相位収決周期信兮/的波形。從式(3J4)和式(3J6)町知，外分M的振幅盒，5,4和相位條都是"G的用數(shù)并冇:4厲是沁的偶函數(shù).r卩=例02圖33所示鋸齒波.求其二角空傅里葉級數(shù)展開式.皿)圖？3解 山圖33可知該信號/(0在一個周期區(qū)間(TTJT)內(nèi).冇周期T = 2j T由式(3-14),得一路 <1 5 f =切化=00? = 02)F耳=蕓八丹式中4由式(3/0)可求得為(3-18)Qidt = C0SM5T = (1)如一故吻淚;/的:角空傅甲葉級數(shù)展開式為/(/) = 2(sin d-sin 2Qi +*sin 3C + )二、指數(shù)形式因為父指數(shù)函數(shù)集2曲二0，1，竝，)在區(qū)間&，陽+了)內(nèi)也足一個完務的正交函數(shù)如t=L其中 C，因此 根據(jù)泄理3舁對丁任總周期為丁的f："；/,可在區(qū)間(5，陽+。內(nèi)衣示為r 的線性組合.即(3-17)式(47)稱為周期信巧/(。的指數(shù)也傅里葉級數(shù)展開心 山幾通常為復數(shù)，所以式(3-17)乂稱為 復系數(shù)傅里葉級數(shù)展開式。同個周期信巧/既可以展開成式(3-13)所示的三如型傅里葉級數(shù)式，也可以展成式(3-17)所示 的指數(shù)型傅里葉級數(shù)式.所以者Z何必仃確定的關系。cos =因為2sin nCll =2j/w =代入式(3-13),得a0=+(J8 cosC1Z +6足 sin nCli)2.i所以=+滂嚴孑弧-兒）二半產(chǎn)“12彳2（3-19）+A）=寸“兀=-1，一 2,在周期信號展開式（3/7）中./表示成境頻率為0，2,3宀的指數(shù)函數(shù)之和。雖然山 丁引用一"而出現(xiàn)了角頻率-沁,但這并不表示實際上存在負頻率，而只足將第n項諧波分磧耳成了兩 個指數(shù)項而出現(xiàn)的一種數(shù)學形式事實匕以Q和廠附必然成對出現(xiàn)IL都扼蕩在用。卜.，它們的和 給出了 個振蕩頻率為刃的時間實函數(shù)，即亠"Q +如評=兔COS（Q +呂）2 2三、周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關系耍把C知周期信號展開為傅里葉級數(shù)，如果為實函數(shù)，1L它的波形滿足某種劉稱性則 在其穌里葉級數(shù)中何些項將不出現(xiàn)，留卜的各項系數(shù)的表示式也變得比較簡單。周期信號的対稱關系上耍 仃兩種：種是整個周期相對丁縱坐標軸的對稱關系.這取決丁周期信巧是偶函數(shù)還是奇函數(shù)，也就足展 開式中是否倉冇正弦項或余弦項：另-種是滋個周期詢麻的對稱關系.這將決定傅嘰葉級數(shù)展開式中足否 含有偶次項或奇次項。下面簡單說明函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關系。1偶函數(shù)若周期信y/波形相對r縱軸是対稱的，即滿足則/（"是偶旳數(shù)，其傅里葉級數(shù)展開式中只:門1.流分駅和余弦分最，即2奇函數(shù)人周期信巧/（波形相對J縱幫標是反對稱的.即汕gs （3-21）此時/稱為奇函數(shù).比傅甲葉級數(shù)展開式中只含仃正恢項.即4嚴2乞=L /(i) sin nQtdt3 = 0丄2,)3奇諧函數(shù)人周期信巧丁 波形沿時間軸半移半個周期丿門川!波形柑對r時何軸像對稱 u卩満足/0 = -/(ri)(3-22)則/（Z）稱為奇諧函數(shù)或半波對稱函數(shù)。這類函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式中只會仃止弦和余戎項的奇次潛我分雖.4偶諧函數(shù)人周期信巧波形沿時間軸平移半個周期丿門刖衛(wèi)I即滿足幾）5 士韋）（3-23）則為偶諧函數(shù)或半周期璽疊函數(shù)其傅里葉級數(shù)展丿I式屮只:M ill弦和余弦波的傅rft.熟悉并掌握J周期信號的奇.偶和奇諧、偶諧等性質垢対一些波形所包金的諧波分戢?？梢宰鞒?迅速判斷，并便傅里葉級數(shù)系數(shù)的計算得到一定簡化。表A給出了周期信號波形的各種對稱情況.性質.以及對應的傅里葉系數(shù)an和bn的計算公式。表3-1周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關系慚數(shù)/性質dg # 0) H 0)偶函數(shù)只冇直流 分呆和余2心2討。/cos(QO0幾）=心）弦項奇函數(shù)只冇正弦項004 fri 亍 I奇諧函數(shù)只有奇次 諧波分雖04？討0 /cos心）慶汀,*）沁沁）盤T/一門士壬S為奇數(shù)）（為奇數(shù)）偶諧函數(shù)只有偶次 諧波分雖亍丄/cos（位妙4 fri亍耳hQMAO = /a)（"為偶數(shù)）S為偶數(shù)）四.傅里葉級數(shù)的性質科.rr，則丿問的傅甲葉級數(shù)展開式八仃以下忡質（證明略）:kU<i)心)=嚴(2> 代-心 20f Q)=勃明嚴0 O(4f(t)cosCi=XN0X-D4/用完備正交函數(shù)集表示信號一、正交矢雖在平而空間中,兩個矢雖正交是指兩個矢量相互垂直。如圖3-1 (a)所示的A】和血足正交的,它們Z間的銳夾角為90。眾然，平面空間兩個矢呈止交的條件是Aj *32 = 0(3-1)這樣.可將一個平血中任總矢雖A.在吒角朋標系中分觥為兩個正交矢就的集合A = C1Al 十 Q&<3-2)同理對 個二維空間中的矢W.A必須用維的止交矢呈集來表小如圖x(b)所 示。有A = q 爲 + G九 C 3*3)(a>圖3 - 1其中A】，A2t A3相互正交。在三維空間中個完務的正交矢雖集.而二維正交矢 雖集則在此悄況卜鬼不完備的。依次類推，在維空間中，只冇個正交矢JfAi. A2. A3.矗九構成的正交矢環(huán)傑3上2，啟3,AJ才是完備的，也就是說.在維空間中的任一欠雖A,必須用維止交矢雖集 （A1>A2,A3,-表示，即A = C % + C? 2 + C2 Ag +-D + CnA雖然n維矢戢空間并不存在于客觀世界,但是這種概念有許多應用.例如,"個獨立變戢的一個線 性方程，可看做維坐標系中n個分雖紐成的矢氐二、正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交矢雖分解的概念.可推廣應用丁信號分析，信號常以時間函數(shù)來表示，故信號的分解，也就足時 間惰數(shù)的分解.仿照矢戢正交概念，也可定義函數(shù)的正交。設和去是定義在山2）區(qū)何上的兩個實變函數(shù)（信號）.卄在（耳）區(qū)間上仃廿縱處=0（3-5）則稱久和在（上"）內(nèi)正交若久（丄）易（。,.,（。定義在區(qū)間（必2）上，并且在（上“）,內(nèi)有B rH -j fnus-則W）vy）在山）內(nèi)稱為正交函數(shù)集，其中zh,2,.s先為一正數(shù)。如果ns則稱W）4，（）為歸一化n-交怖數(shù)集.對M區(qū)何內(nèi)的復變怖數(shù)集厲（"丿山） 若満足H =r nuE/>1 IL-口8-(3則稱此奴變函數(shù)集為正交復變函數(shù)集.英中力（為力的共犯復變函數(shù).三、完備的正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集&（%（" ，（）之外.找不到另外一個非零兩數(shù)與該函數(shù)集（）中 毎一個函數(shù)都正交.則稱該函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。否則為不完備正交函數(shù)集.對J：完備止交函數(shù)集，仃兩個巫耍圧理。定理a 設&，並（"，人在（ss）區(qū)間內(nèi)是某-類信號（函數(shù)）的完備疋交函數(shù)集，則這一類信號中的任何一個信號仗）都町以粘確地農(nóng)示為i，並（"，人的線性組合。即f（t） =+af2 + + qx （3-9）式中.為加權系數(shù),且有(3-10)式(3-9)常稱正交展開式，仃時也稱為歐拉傅里葉公式或廣義傅里葉級數(shù)，G稱為傅里葉級數(shù)系數(shù)。定理32在式(3-9)條件下.冇fjr陸二百(3-11)A(3-11)nr以理解為：的能,1；芻個分雖的陡MZ和，即反映能雖抽仁怎理32也稱為帕塞瓦爾定理.例M(2知余弦函數(shù)集cos/,cos2/,.,cosn/(/7為整數(shù))證明該函數(shù)集在區(qū)間(0,2n)內(nèi)為止交函數(shù)集：(2) 該怖數(shù)集在區(qū)間(O2tt)內(nèi)是完條iE交幣數(shù)集嗎？(3) 該函數(shù)集住區(qū)問(0.2 )內(nèi)璉疋交函數(shù)策嗎？解：(1)岡為當丙時檢曲譏。$曲"丄蘭匕+迥二=0JLJ2 I +rI -r orr11"當時Jjcos j/cosr/Z = / + sin 2it -可見該函數(shù)集任區(qū)何(0. 2tt)內(nèi)滿足式(36),故它在區(qū)間(0. 2TT)內(nèi)足-個正交函數(shù)集。(2)因為對非零函數(shù)sin*仃即sint在區(qū)間(0. 2tt)內(nèi)與cos/7tiE交故因數(shù)集cosnt在區(qū)間(0. 2tt)內(nèi)不是完備正交幡數(shù)集。對任總整數(shù)此式丿卞不恒軫于零因此,根據(jù)正交函數(shù)集的定義.該甌數(shù)集cos/#在區(qū)間(0,x/2)內(nèi)不是正交用數(shù)集.山上例町以看到，一個函數(shù)集是否正交，與它所在區(qū)何有關，在某一區(qū)間町能止交，而在列一區(qū)間乂 可能不正交。另外.在判斷函數(shù)集正交時.是指函數(shù)集中所仃函數(shù)應兩兩正交.不能從-個函數(shù)集中的某 個甬數(shù)相互正交，就判斷該函數(shù)集是正交函數(shù)集.四常見的完備正交函數(shù)集 三角函數(shù)集cos班Msin= 0J2)在區(qū)間&易+C內(nèi).有0( m)cos nQi cos mCiLdt = 7/2?72 (n = fn) r ( = w = 0)0 H 加,=胡=0)Tf2 n = m式中,可見在區(qū)間（皿+內(nèi)，三角函數(shù)集"os沁以in刃創(chuàng)對丁周期為尸的信測成正交函數(shù) 幾而Um務的止交函數(shù)集完務性在此不討論）。而函數(shù)集fco$"G, （sm wCte）也匕|交函數(shù) 集，但它們