曲線積分與曲面積分 期末復(fù)習題 高等數(shù)學下冊 (上海電機學院)

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1、真誠為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當之處，請指正。第十章 曲線積分與曲面積分答案一、選擇題1曲線積分與路徑無關(guān)，其中有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則 BA. B. C. D.02閉曲線C為的正向，則 C A.0 B.2 C.4 D.63閉曲線C為的正向，則 DA. B. C.0 D. 4為YOZ平面上，則 DA.0 B. C. D. 5設(shè)，則 CA. B. C. D. 6. 設(shè)為球面，則曲面積分的值為 B A. B. C. D.7. 設(shè)L是從O(0,0)到B(1,1)的直線段，則曲線積分 C A. B. C. D. 8. 設(shè)I= 其中L是拋物線上點（0, 0）與點(1, 1)之間的一段弧,則I=D A.

2、 B. C. D. 9. 如果簡單閉曲線 所圍區(qū)域的面積為 ，那么 是（ D ） A. ； B. ； C. ； D. 。10設(shè)，為在第一卦限中部分，則有 CA. B. C. D.二、填空題1. 設(shè)L是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)為頂點的正方形邊界正向一周，則曲線積分 -2 2.S為球面的外側(cè),則0 3. = 4曲線積分，其中是圓心在原點，半徑為的圓周，則積分值為5設(shè)為上半球面，則曲面積分= 32 6. 設(shè)曲線為圓周,則曲線積分 .7. 設(shè)C是以O(shè)(0,0),A(1,0),B(0,1)為頂點的三角形邊界，則曲線積分1+ 8. 設(shè)為上半球面，則曲面積分的值為 。9

3、. 光滑曲面z=f（x，y）在xoy平面上的投影區(qū)域為D，則曲面z=f（x，y）的面積是 10設(shè)是拋物線上從點到點的一段弧，則曲線積分 1211、 。12、設(shè)為的正向，則 。三、計算題1，其中為圓周，直線及x軸在第一象限所圍圖形的邊界。解：記線段方程，圓弧方程線段方程。則原式 2，其中為曲線與直線段所圍閉區(qū)域的正向邊界。解：利用格林公式，則 ，故原式 3，其中為圓周的上半部分，的方向為逆時針。解：的參數(shù)方程為，從0變化到。故原式 4求拋物面被平面所割下的有界部分的面積。解：曲面的方程為，這里為在XOY平面的投影區(qū)域。故所求面積 5、計算，其中為圓的上半圓周，方向為從點沿到原點O。解：添加從原點

4、到點A的直線段后，閉曲線所圍區(qū)域記為D，利用格林公式，于是而，于是便有 6，其中為球面在第一卦限部分的邊界，當從球面外看時為順時針。解：曲線由三段圓弧組成，設(shè)在YOZ平面內(nèi)的圓弧的參數(shù)方程 ，從變化到0。于是由對稱性即得 7，其中為平面 所圍立體的表面的外側(cè)。解：記為該表面在XOY平面內(nèi)的部分，為該表面在YOZ平面內(nèi)的部分，為該表面在XOZ平面內(nèi)的部分，為該表面在平面內(nèi)的部分。的方程為，根據(jù)定向，我們有同理，的方程為，故，由對稱性可得，故 于是所求積分為 8計算曲面積分：，其中為曲面的外側(cè)。解：利用高斯公式，所求積分等于=8 9. 計算I=，其中S為x+y+z=1, x=0, y=0, z=0

5、所圍立體的表面外側(cè)解：設(shè)V是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所圍的立體由Gass公式得: I= = = 10計算I=,其中是從點A(3, 2, 1)到點B(0, 0, 0)的直線段AB解：直線段AB的方程是；化為參數(shù)方程得： x=3t, y=2t, z=t, t從1變到0， 所以： I= 11. 計算曲線積分I= 其中是由點A(a,0)至點O(0, 0) 的上半圓周解：在x軸上連接點O(0, 0), A(a, 0) 將擴充成封閉的半圓形AMOA 在線段OA上, 從而 又由Green公式得: 12. 計算曲線積分其中L是z=2與z=3 的交線沿著曲線的正向看是逆時針方向解：將L寫成參

6、數(shù)方程: x=cost, y=sint, z=2 t: 0 于是: = = 另證：由斯托克斯公式得=上側(cè)，則： 13. 設(shè)曲面S為平面x+y+z=1在第一卦限部分，計算曲面S的面積I解：S在xoy平面的投影區(qū)域為： I= 14. 計算曲線積分其中L是沿著圓 從點A(0,1)到點B(2, 1)的上半單位圓弧 解：設(shè)， 當時，故：所求曲線積分在不包圍原點的區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān) 則：= =ln5-arctan2 15. 確定的值，使曲線積分在平面上與路徑無關(guān)。當起點為，終點為時，求此曲線積分的值。解：由已知，；由條件得 , 即 , 16. 設(shè)曲面S為球面被平面z=1截出的頂部，計算I=解：S的方程為：S

7、在xoy平面的投影區(qū)域為： I= 17. 計算I=，其中是，取下側(cè)解：作輔助曲面: z=a，取上側(cè) 設(shè)為,所圍閉區(qū)域 為平面區(qū)域 = = 18.為上半橢圓圓周，取順時針方向，求ABxy0解： 19計算曲面積分，其中為錐面與所圍的整個曲面的外側(cè)。解： 由高斯公式，可得 20計算曲線積分，其中是橢圓的正向。解：令, , 則。設(shè)所圍成的閉區(qū)域為，則其面積。從而由格林公式可得. 21設(shè)為柱面在使得，的兩個卦限內(nèi)被平面及所截下部分的外側(cè)，試計算。解：將分成與，其中：（取上側(cè)），：（取下側(cè)），與在面上的投影為，故 22 計算曲面積分，其中是柱面介于的部分。解：設(shè)為在第一卦限的部分曲面。，得。在面上的投影域

8、為。故 23. 計算曲面積分，其中是旋轉(zhuǎn)拋物面介于及之間部分的下側(cè)。解：利用高斯公式，取且。取上側(cè)，與構(gòu)成封閉的外側(cè)曲面，所圍的閉域為，對應(yīng)的為：。 24計算曲線積分，其中是自點沿曲線到點的曲線段。解：,取小圓周充分小,取逆時針方向,則由Green公式可得: 25用高斯公式計算，其中柱面及平面圍成封閉曲面的外側(cè)。解： 原式= = = = = 26計算曲面積分，其中是曲面被平面所截下的部分，取下側(cè)。解：補,取上側(cè), 而,其中 , 27計算曲線積分，其中L是區(qū)域0x1，0y1的邊界正向。解：利用Green公式= 28、計算曲面積分，其中為平面方程x+y+z=1在第一卦限的上側(cè)。解：= 或由對稱性：

9、，而，故?；蚩芍?29. 計算，其中L是由點A（0，0）到B（，2）的直線段。解：AB的方程 30、設(shè)可微，且曲線積分與路徑無關(guān)。求。解：因該項積分與路徑無關(guān)，所以。令，得微分方程，解得，（2分）代入條件得C=1從而有 31、計算對面積的曲面積分 。解:曲面在XOY平面上的投影為 原式= =32、計算曲面積分，其中是曲面在的部分的下側(cè)。解：補充曲面且取上側(cè)，又，由高斯公式 = 四、綜合題1、證明在整個XOY平面上，是某個函數(shù)的全微分，求這樣的一個函數(shù)并計算，其中L為從到的任意一條道路。解：令，則有 ，故知是某個函數(shù)的全微分。取路徑，則一個原函數(shù)為 最后 2、證明曲線積分在XOY面與路徑無關(guān)，并求值。解： ， 可知該曲線積分與路徑無關(guān)。 14 / 14