高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.2 導數(shù)的運算 3.2.2 函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)課件 蘇教選修11

《高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.2 導數(shù)的運算 3.2.2 函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)課件 蘇教選修11》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.2 導數(shù)的運算 3.2.2 函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)課件 蘇教選修11（39頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第第3 3章章 導數(shù)及其應用導數(shù)及其應用 3.2 導數(shù)的運算 3.2.2 函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù) 學習目標：1.掌握導數(shù)的和、差、積、商的四則運算法則(重點) 2.會利用導數(shù)公式表及導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)(難點) 自自 主主 預預 習習 探探 新新 知知 函數(shù)和、差、積、商的求導法則 公式 語言敘述 f(x)g(x) 兩個函數(shù)和的導數(shù)等于這兩個函數(shù)導數(shù)的 f(x)g(x) 兩個函數(shù)差的導數(shù)等于這兩個函數(shù)導數(shù)的 C(f(x) (C 為常數(shù)) 常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)等于常數(shù)與函數(shù)的導數(shù)的 Cf(x) f(x)g(x) f(x)g(x) 和 差 積 f(x) g(x) 兩個函數(shù)積的導數(shù)

2、等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘上第二個函數(shù)， 第一個函數(shù)乘上第二個函數(shù)的導數(shù) fxgx (g(x)0) 兩個函數(shù)商的導數(shù)等于分母上的函數(shù)乘上分子的導數(shù)， 分子乘以分母的導數(shù)所得的差除以分母的平方 fxgxfxgxg2x f(x)g(x)f(x)g(x) 加上 減去 基礎自測 1判斷正誤： (1)若f(x)a22axx2，則f(a)2a2x.( ) (2)運用法則求導時，不用考慮f(x)，g(x)是否存在( ) (3)f(x) g(x)f(x)g(x)( ) 【解析】 (1).f(x)2a2x，f(a)2a2a4a. (2).運用法則求導時，要首先保證f(x)、g(x)存在 (3).f(x) g(x)f

3、(x)g(x)f(x)g(x) 【答案】 (1) (2) (3) 2若f(x)xx2，則f(x)_. 【導學號：95902205】 【解析】 f(x)x2xx222x22. 【答案】 2x22 合合 作作 探探 究究 攻攻 重重 難難 導數(shù)運算法則的應用導數(shù)運算法則的應用 求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)yx43x25x6； (2)yx tan x； (3)y(x1)(x2)(x3); (4)yx1x1. 思路探究 仔細觀察和分析各函數(shù)的結構規(guī)律，緊扣導數(shù)公式，不具備求導條件的可進行適當?shù)暮愕茸冃?，再結合基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，小心計算 【自主解答】 (1) y(x43x25x6)(x4)(3x2)

4、(5x)64x36x5. (2) y(x tan x)xsin xcos x xsin xcos xxsin xcos xcos2 x sin xxcos xcos xxsin2xcos2xsin xcos xxcos2x. (3)(x1)(x2)(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6， y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11. (4)方法一：yx1x1 x1x1x1x1x12 x1x1x122x12. 方法二：yx1x1x12x112x1 y2x12x12x1x122x12. 規(guī)律方法 深刻理解和掌握導數(shù)的四則運算法則是解決求函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)問題

5、的前提.在具體求導時，可結合給定函數(shù)本身的特點，先分清函數(shù)結構，再將各部分的導數(shù)求出，具體的求解策略主要有以下幾種. (1)直接求導：利用導數(shù)運算法則直接求導數(shù)，此法適用于一些比較簡單的函數(shù)的求導問題. (2)先化簡后求導：在求導中，有些函數(shù)形式上很復雜，可以先進行化簡再求導，以減少運算量. (3)先分離常數(shù)后求導：對于分式形式的函數(shù)，往往可利用分離常數(shù)的方法使分式的分子不含變量，從而達到簡化求導過程的目的. 1求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)f(x)x134x2； (2)f(x)sin xcos x； (3)f(x)cos xx； (4)f(x)exsin x. 【導學號：95902206】 (2

6、)f(x)(sin xcos x)(sin x)(cos x) cos xsin x. (3)f(x)cos xxcos xxxcos xx2 xsin xcos xx2sin xxcos xx2. (4)f(x)(exsin x)(ex)sin xex(sin x) exsin xexcos xex(sin xcos x). 復雜曲線的切線問題復雜曲線的切線問題 (1)曲線yx(3ln x1)在點(1,1)處的切線方程為_ (2)曲線yx2x1在點(1,1)處的切線方程為_ 思路探究 利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再求出切點坐標，代入直線的點斜式方程得切線方程 【自主解答】 (1)y3l

7、n x4，k3ln 144，故切線方程為y14(x1)，即4xy30. (2)由y2x12x2x1212x12， 所以k1，得切線方程為y1(x1)， 即xy20. 【答案】 (1)4xy30 (2)xy20 規(guī)律方法 利用常見函數(shù)的導數(shù)與導數(shù)運算公式來簡化曲線切線的求法. 1在點Px0，y0處的切線方程：yy0fx0 xx0； 2過點Px1，y1的切線方程：設切點坐標為x0，y0，則切線方程為yy0fx0 xx0，代入點Px1，y1求出x0，即可得出切線方程求出的x0的個數(shù)就是過這點的切線的條數(shù). 跟蹤訓練 2若直線ykx是曲線yx3x2x的切線，則k的值為_ 【解析】 設切點為(x0，y0

8、)，y3x22x1，則k3x202x01，又ky0 x0 x30 x20 x0 x0 x20 x01，3x202x01x20 x01，解得x00或x012，k1或k34. 【答案】 1或34 導數(shù)的綜合應用導數(shù)的綜合應用 探究問題 1在曲線yf(x)上有一點(x0，f(x0)，那么曲線在這一點處切線的斜率是什么？ 【提示】 kf(x0) 2在探究1中，若還已知切線上另外一點(x1，f(x1)，那么該切線的斜率還可以如何表示？和探究1中得到的結論有什么關系？ 【提示】 kfx1fx0 x1x0，f(x0)fx1fx0 x1x0. 3若已知曲線yax2在點P處的切線方程為y2x1，能否求出切點P的

9、坐標？能否求出曲線的方程？ 【提示】 設切點P的坐標為(x0，y0)，因為y2ax，所以切線的斜率為2ax02，又因為切點(x0，y0)在曲線yax2和切線y2x1上，所以有y0ax20，且y02x01， 即 2ax02y02x01，y0ax20 解之得 x01y01a1，所以切點P的坐標為(1,1)，曲線的方程為yx2. 4通過以上討論，你認為如何解決有關曲線切線的問題？ 【提示】 解決曲線的切線問題應充分利用切點滿足的三個關系式：一是切線的斜率是函數(shù)在此切點處的導數(shù)；二是切點的坐標滿足切線的方程；三是切點的坐標滿足切線的方程可根據(jù)上述三個方面的條件建立相關的方程(組)求解未知數(shù) 設函數(shù)f(

10、x)axbx，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為7x4y120. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線yf(x)上任一點處的切線與直線x0和直線yx所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值. 【導學號：95902207】 思路探究 (1)利用已知切線的斜率、切點的坐標滿足曲線的方程和切線的方程構建方程組可求出a，b的值，可得函數(shù)f(x)的解析式； (2)根據(jù)已知條件求出曲線yf(x)上任一點處的切線方程，得到所求面積的表達式即知其為定值 【自主解答】 (1)由7x4y120，得y74x3.當x2時，y12， f(2)12， 又f(x)abx2，f(2)74. 由得 2ab21

11、2，ab474，解得 a1，b3.故f(x)x3x. (2)證明：設P(x0，y0)為曲線上任一點，由y13x2知，曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為yy013x20(xx0)，即yx03x013x20(xx0)令x0，得y6x0， 從而得切線與直線x0的交點坐標為0，6x0. 令yx，得yx2x0， 從而得切線與直線yx的交點坐標為(2x0,2x0)所以點P(x0，y0)處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形面積為：12|6x0|2x0|6.故曲線yf(x)上任一點處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6. 規(guī)律方法 利用導數(shù)來處理與切線斜率有關的問題是一種非常有效

12、的方法，它適用于任何導數(shù)存在的函數(shù)，一般可以根據(jù)條件建立相關的方程(組)求解未知量. 跟蹤訓練 3已知函數(shù)f(x)2x3ax與g(x)bx2cx的圖象都過點P(2,0)，且在點P處有公共切線求f(x)和g(x)的表達式及在點P處的公切線的方程 【解】 由題意，得f(2)g(2)，f(2)g(2)0. f(x)6x2a，g(x)2bxc， 162a0，4b2c0，24a4bc，解得 a8，b8，c16. f(x)2x38x，g(x)8x216x，即f(x)6x28，f(2)16，在點P處的公切線方程為y16(x2) 構建 體系 當當 堂堂 達達 標標 固固 雙雙 基基 1函數(shù)yx3cos x的導

13、數(shù)是_ 【解析】 y3x2cos xx3(sin x)3x2cos xx3sin x. 【答案】 3x2cos xx3sin x 2函數(shù)yxx2的導數(shù)為 _. 【導學號：95902208】 【解析】 yxx2xx2xx2x22x2xx222x22. 【答案】 2x22 3函數(shù)f(x)sin x2cos x，則f(0)的值為_ 【解析】 f(x)sin x2cos xsin x2cos x2cos x2 cos x2cos xsin xsin x2cos x2 2cos x12cos x2，f(0)2cos 012cos 021. 【答案】 1 4曲線f(x)13x3x25在x1處的切線的傾斜角為_. 【導學號：95902209】 【解析】 f(x)x22x，kf(1)1，故切線的傾斜角為34. 【答案】 34 5求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)yx2sin x；(2)yln x1x；(3)ycos xex； 【解】 (1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x. (2)yln x1x(ln x)1x1x1x2. (3)ycos xexcos xexcos xexex2sin xcos xex. 謝謝觀看