高中數(shù)學 第2章 推理與證明階段復(fù)習課學案 新人教A版選修12

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1、第二課推理與證明核心速填1合情推理(1)歸納推理:由部分到整體、由個別到一般的推理(2)類比推理:由特殊到特殊的推理(3)合情推理: 歸納和類比是常用的合情推理,都是根據(jù)已有的事實,經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進行歸納類比,然后提出猜想的推理2演繹推理(1)演繹推理是由一般到特殊的推理(2)三段論是演繹推理的一般模式,包括:大前提已知的一般原理;小前提所研究的特殊情況;結(jié)論根據(jù)一般原理,對特殊情況做出的判斷3直接證明與間接證明(1)直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法: 綜合法是從條件推導出結(jié)論的證明方法;分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法;(2)間接證明一種方法是反證法,它是從結(jié)論反面成

2、立出發(fā),推出矛盾的證明方法題型探究合情推理(1)觀察下列等式:1,1,1,據(jù)此規(guī)律,第n個等式可為_(2)類比三角形內(nèi)角平分線定理:設(shè)ABC的內(nèi)角A的平分線交BC于點M,則.若在四面體P­ABC中,二面角B­PA­C的平分面PAD交BC于點D,你可得到的結(jié)論是_,并加以證明. 【導學號:48662093】1(2)(1)等式的左邊的通項為,前n項和為1;右邊的每個式子的第一項為,共有n項,故為.(2)畫出相應(yīng)圖形,如圖所示由類比推理得所探索結(jié)論為.證明如下:由于平面PAD是二面角B­PA­C的平分面,所以點D到平面BPA與平面CPA的距離相等,所

3、以.又因為.由知成立規(guī)律方法1歸納推理的特點及一般步驟2類比推理的特點及一般步驟跟蹤訓練1(1)觀察下圖2­1中各正方形圖案,每條邊上有n(n2)個點,第n個圖案中圓點的總數(shù)是Sn.圖2­1按此規(guī)律,推出Sn與n的關(guān)系式為_(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,則S4,S8S4,S12S8,S16S12成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有:設(shè)等比數(shù)列bn的前n項積為Tn,則T4,_,_,成等比數(shù)列(1)Sn4n4(n2,nN*)(2)(1)依圖的構(gòu)造規(guī)律可以看出:S22×44,S33×44,S44×44(正方形四個頂點重復(fù)計算一次,應(yīng)減去)猜想:Sn4n4

4、(n2,nN*)(2)等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時,和類比于積,減法類比于除法,可得類比結(jié)論為:設(shè)等比數(shù)列bn的前n項積為Tn,則T4,成等比數(shù)列綜合法與分析法若a、b、c是ABC的三邊長,m0,求證:. 【導學號:48662094】思路探究:根據(jù)在ABC中任意兩邊之和大于第三邊,再利用分析法與綜合法結(jié)合證明不等式成立證明要證明,只需證明0即可a0,b0,c0,m0,(am)(bm)(cm)0,a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2,ABC中任意兩邊之

5、和大于第三邊,abc0,(abc)m20,2abmabc(abc)m20,.母題探究:1.(改變條件)本例刪掉條件“m0”,證明:>.證明要證>.只需證ab(ab)c>(1ab)c.即證ab>c.而ab>c顯然成立所以>.2(改變條件)本例增加條件“三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列”,求證:.證明要證.即證3,即證1.即證c(bc)a(ab)(ab)(bc),即證c2a2acb2.ABC三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列B60°.由余弦定理,有b2c2a22cacos 60°,即b2c2a2ac.c2a2acb2成立,命題得證規(guī)律方法分析法,綜合法

6、的應(yīng)用綜合法由因?qū)Ч?,分析法?zhí)果索因,因此在實際解題時,常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用,即先利用分析法尋找解題思路,再利用綜合法有條理地表述解答過程.反證法已知xR,ax2,b2x,cx2x1,試證明a,b,c至少有一個不小于1. 【導學號:48662095】證明假設(shè)a,b,c均小于1,即a1,b1,c1,則有abc3,而abc2x22x3233,兩者矛盾,所以假設(shè)不成立,故a,b,c至少有一個不小于1.規(guī)律方法反證法的關(guān)注點(1)反證法的思維過程:否定結(jié)論推理過程中引出矛盾否定假設(shè)肯定結(jié)論,即否定推理否定(經(jīng)過正確的推理導致邏輯矛盾,從而達到新的“否定”,即肯定原命題).(2)反證法常用于

7、直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題;涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題時,也常用反證法.跟蹤訓練2若x,y,z(0,2),求證:x(2y),y(2z),z(2x)不可能都大于1.證明假設(shè)x(2y)>1,且y(2z)>1,且z(2x)>1均成立,則三式相乘有xyz(2x)(2y)(2z)>1,由于0<x<2,所以0<x(2x) 1,同理0<y(2y)1,0<z(2z)1,三式相乘得0<xyz(2x)(2y)(2z)1,與矛盾,故假設(shè)不成立所以x(2y),y(2z),z(2x)不可能都大于1.轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用已知,k,

8、(kZ)且sin cos 2sin ,sin cos sin2.求證:. 【導學號:48662096】證明要證成立,即證.即證cos2sin2(cos2sin2),即證12sin2(12sin2),即證4sin22sin21,因為sin cos 2sin ,sin cos sin 2 ,所以(sin cos )212sin cos 4sin2,所以12sin24sin2,即4sin22sin2 1.故原結(jié)論正確規(guī)律方法轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學中最基本的思想方法,數(shù)學中的一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸.轉(zhuǎn)化與化歸的原則是將不熟悉的或難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的、易解或已經(jīng)解決的問題;

9、將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問題;將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題;將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的特殊問題;將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.本章中無論是推理過程還是用分析法、綜合法、反證法、數(shù)學歸納法證明問題的過程中都用到了轉(zhuǎn)化與化歸思想.跟蹤訓練3已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),a,bR.(1)求證:如果ab0,那么f(a)f(b)f(a)f(b);(2)判斷(1)中的命題的逆命題是否成立?并證明你的結(jié)論解(1)證明:當ab0時,ab且ba.f(x)在R上是增函數(shù),f(a)f(b),f(b)f(a),f(a)f(b)f(a)f(b)(2)(1)中命題的逆命題為“如果f(a)f(b)f(a)f(b),那么ab0”,此命題成立用反證法證明如下:假設(shè)ab0,則ab,f(a)f(b)同理可得f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b),這與f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾,故假設(shè)不成立,ab0成立,即(1)中命題的逆命題成立我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài),需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式,改變粗放式增長模式,不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu),實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展,推進新型城鎮(zhèn)化,推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因:我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。

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