高中數(shù)學 第2章 推理與證明階段復習課學案 新人教A版選修12

第二課推理與證明核心速填1合情推理(1)歸納推理：由部分到整體、由個別到一般的推理(2)類比推理：由特殊到特殊的推理(3)合情推理： 歸納和類比是常用的合情推理，都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納類比，然后提出猜想的推理2演繹推理(1)演繹推理是由一般到特殊的推理(2)三段論是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷3直接證明與間接證明(1)直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法： 綜合法是從條件推導出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法；(2)間接證明一種方法是反證法，它是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法題型探究合情推理(1)觀察下列等式：1，1，1，據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為_(2)類比三角形內(nèi)角平分線定理：設ABC的內(nèi)角A的平分線交BC于點M，則.若在四面體P­ABC中，二面角B­PA­C的平分面PAD交BC于點D，你可得到的結(jié)論是_，并加以證明. 【導學號：48662093】1(2)(1)等式的左邊的通項為，前n項和為1；右邊的每個式子的第一項為，共有n項，故為.(2)畫出相應圖形，如圖所示由類比推理得所探索結(jié)論為.證明如下：由于平面PAD是二面角B­PA­C的平分面，所以點D到平面BPA與平面CPA的距離相等，所以.又因為.由知成立規(guī)律方法1歸納推理的特點及一般步驟2類比推理的特點及一般步驟跟蹤訓練1(1)觀察下圖2­1中各正方形圖案，每條邊上有n(n2)個點，第n個圖案中圓點的總數(shù)是Sn.圖2­1按此規(guī)律，推出Sn與n的關(guān)系式為_(2)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設等比數(shù)列bn的前n項積為Tn,則T4，_，_，成等比數(shù)列(1)Sn4n4(n2，nN*)(2)(1)依圖的構(gòu)造規(guī)律可以看出：S22×44，S33×44，S44×44(正方形四個頂點重復計算一次，應減去)猜想：Sn4n4(n2，nN*)(2)等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：設等比數(shù)列bn的前n項積為Tn，則T4，成等比數(shù)列綜合法與分析法若a、b、c是ABC的三邊長，m0，求證：. 【導學號：48662094】思路探究：根據(jù)在ABC中任意兩邊之和大于第三邊，再利用分析法與綜合法結(jié)合證明不等式成立證明要證明，只需證明0即可a0，b0，c0，m0，(am)(bm)(cm)0，a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2，ABC中任意兩邊之和大于第三邊，abc0，(abc)m20，2abmabc(abc)m20，.母題探究：1.(改變條件)本例刪掉條件“m0”，證明：>.證明要證>.只需證ab(ab)c>(1ab)c.即證ab>c.而ab>c顯然成立所以>.2(改變條件)本例增加條件“三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列”，求證：.證明要證.即證3，即證1.即證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即證c2a2acb2.ABC三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列B60°.由余弦定理，有b2c2a22cacos 60°，即b2c2a2ac.c2a2acb2成立，命題得證規(guī)律方法分析法，綜合法的應用綜合法由因?qū)Ч?，分析法?zhí)果索因，因此在實際解題時，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，即先利用分析法尋找解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程.反證法已知xR，ax2，b2x，cx2x1，試證明a，b，c至少有一個不小于1. 【導學號：48662095】證明假設a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，則有abc3，而abc2x22x3233，兩者矛盾，所以假設不成立，故a，b，c至少有一個不小于1.規(guī)律方法反證法的關(guān)注點(1)反證法的思維過程：否定結(jié)論推理過程中引出矛盾否定假設肯定結(jié)論，即否定推理否定(經(jīng)過正確的推理導致邏輯矛盾，從而達到新的“否定”，即肯定原命題).(2)反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題時，也常用反證法.跟蹤訓練2若x，y，z(0,2)，求證：x(2y)，y(2z)，z(2x)不可能都大于1.證明假設x(2y)>1，且y(2z)>1，且z(2x)>1均成立，則三式相乘有xyz(2x)(2y)(2z)>1，由于0<x<2，所以0<x(2x) 1，同理0<y(2y)1,0<z(2z)1，三式相乘得0<xyz(2x)(2y)(2z)1，與矛盾，故假設不成立所以x(2y)，y(2z)，z(2x)不可能都大于1.轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用已知，k，(kZ)且sin cos 2sin ，sin cos sin2.求證：. 【導學號：48662096】證明要證成立，即證.即證cos2sin2(cos2sin2)，即證12sin2(12sin2)，即證4sin22sin21，因為sin cos 2sin ，sin cos sin 2 ，所以(sin cos )212sin cos 4sin2，所以12sin24sin2，即4sin22sin2 1.故原結(jié)論正確規(guī)律方法轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學中最基本的思想方法，數(shù)學中的一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸.轉(zhuǎn)化與化歸的原則是將不熟悉的或難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的、易解或已經(jīng)解決的問題；將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問題；將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題；將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的特殊問題；將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.本章中無論是推理過程還是用分析法、綜合法、反證法、數(shù)學歸納法證明問題的過程中都用到了轉(zhuǎn)化與化歸思想.跟蹤訓練3已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，a，bR.(1)求證：如果ab0，那么f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判斷(1)中的命題的逆命題是否成立？并證明你的結(jié)論解(1)證明：當ab0時，ab且ba.f(x)在R上是增函數(shù)，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)(2)(1)中命題的逆命題為“如果f(a)f(b)f(a)f(b)，那么ab0”，此命題成立用反證法證明如下：假設ab0，則ab，f(a)f(b)同理可得f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，這與f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，故假設不成立，ab0成立，即(1)中命題的逆命題成立我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。