2、ab2，＝2>1，>，故A、B、D都不成立，排除A、B、D，選C．
3．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：
按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖形需要火柴棒的根數為( C )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
[解析] 歸納“金魚”圖形的構成規(guī)律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數構成一首項為8，公差是6的等差數列，通項公式為an＝6n＋2.
4．已知數列{an}的前n項和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過計算a2、a3、a4，猜想an＝( B )
A． B．
C．
3、 D．
[解析] a2＝S2－S1＝22a2－1，∴a2＝，
a3＝S3－S2＝32a3－22a2＝9a3－4，
∴a3＝.
a4＝S4－S3＝42a4－32a3＝16a4－9，
∴a4＝.
由此猜想an＝.
5．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明“設a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證<”，索的因應是( C )
A．a－b>0 B．a－c<0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
[解析] 0，即證a2－c2＋a2－a
4、c>0，即證(a＋c)(a－c)＋a(a－c)>0，即證(a－c)[(a＋c)＋a]>0.又b＝－(a＋c)，即證(a－c)(a－b)>0.故選C．
6．已知圓x2＋y2＝r2(r>0)的面積為S＝πr2，由此類比橢圓＋＝1(a>b>0)的面積最有可能是( C )
A．πa2 B．πb2
C．πab D．π(ab)2
[解析] 圓的方程可以看作是橢圓方程＋＝1(a>b>0)中，a＝b時的情形，∵S圓＝πr2，∴類比出橢圓的面積為S＝πab.
7．(2017全國Ⅱ文，9)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成
5、績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據以上信息，則( D )
A．乙可以知道四人的成績
B．丁可以知道四人的成績
C．乙、丁可以知道對方的成績
D．乙、丁可以知道自己的成績
[解析] 由甲說：“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀，1個良好”．乙看丙的成績，結合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績．丁看甲的成績，結合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績．
故選D．
8．已知f1(x)＝cos x，f2(x
6、)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，則f2016(x)等于( A )
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
[解析] 由已知，有f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，
f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，可以歸納出：
f4n(x)＝sin x，f4n＋1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝－sin x，
f4n＋3(x)＝－cos x(n∈N*)．所以f2016(x)＝f4(x)＝sin x.
9．已知各項均不為零的數列{an}
7、，定義向量cn＝(an，an＋1)，bn＝(n，n＋1)，n∈N*.下列命題中真命題是( A )
A．若?n∈N*總有cn∥bn成立，則數列{an}是等差數列
B．若?n∈N*總有cn∥bn成立，則數列{an}是等比數列
C．若?n∈N*總有cn⊥bn成立，則數列{an}是等差數列
D．若?n∈N*總有cn⊥bn成立，則數列{an}是等比數列
[解析] ∵對?n∈N*總有cn∥bn，則存在實數λ≠0，使cn＝λbn，∴an＝λn，∴{an}是等差數列．
10．下列函數f(x)中，滿足“對任意x1、x2∈(0，＋∞)，當x1f(x2)”的是( A )
A．
8、f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
[解析] 若滿足題目中的條件，則f(x)在(0，＋∞)上為減函數，在A、B、C、D四選項中，由基本函數性質知，A是減函數，故選A．
11．已知函數f(x)＝lg，若f(a)＝b，則f(－a)等于( B )
A．b B．－b
C． D．－
[解析] f(x)定義域為(－1,1)，f(－a)＝lg＝lg()－1＝－lg＝－f(a)＝－b.
12．已知f(x)＝x3＋x，a、b、c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，則f(a)＋f(b)＋f(c)的值( A )
A．一定大于零 B．一定等
9、于零
C．一定小于零 D．正負都有可能
[解析] f(x)＝x3＋x是奇函數，且在R上是增函數，
由a＋b>0得a>－b，
所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0，
同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，
所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.
二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，將正確答案填在題中橫線上)
13．“因為AC、BD是菱形ABCD的對角線，所以AC、BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是__菱形對角線互相垂直且平分__.
14．設函數f(x)＝(x>0)，觀察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x)
10、)＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根據以上事實，由歸納推理可得：
當n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝ .
[解析] 由已知可歸納如下：f1(x)＝，
f2(x)＝，f3(x)＝，
f4(x)＝，…，
fn(x)＝.
15．由代數式的乘法法則類比推導向量的數量積的運算法則：
①“mn＝nm”類比得到“ab＝ba”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)c＝ac＋bc”；
③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c≠0，ac＝bc?a＝b”；
④“|mn|＝|m||n|”類比得到“|a
11、b|＝|a||b|”；
⑤“(mn)t＝m(nt)”類比得到“(ab)c＝a(bc)”；
⑥“＝”類比得到“＝”．
以上類比得到的結論正確的是__①②__.
[解析]?、佗诙颊_；③⑥錯誤，因為向量不能相除；④可由數量積定義判斷，所以錯誤；⑤向量中結合律不成立，所以錯誤．
16．觀察下列等式：
1＝1 13＝1
1＋2＝3 13＋23＝9
1＋2＋3＝6 13＋23＋33＝36
1＋2＋3＋4＝10 13＋23＋33＋43＝100
1＋2＋3＋4＋5＝15 13＋23＋33＋43＋53＝225
… …
可以推測：13＋23＋33＋…＋n3＝
12、.(n∈N*，用含有n的代數式表示)
[解析] 由條件可知：
13＝12,13＋23＝9＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不難得出．
13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2
＝[]2＝.
三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本題滿分10分)已知a、b、c∈R＋，求證：≥.
[解析] 分析法：要證≥，
只需證：≥()2，
只需證：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需證：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需證：(a－
13、b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而這是顯然成立的，
所以≥成立．
綜合法：
∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，
∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，
∴≥.
18．(本題滿分12分)(1)類比“等差數列”給出“等和數列”的定義；
(2)探索等和數列{an}的奇數項與偶數項各有什么特點，并加以說明．
[解析] (1)如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的和等于同一個常數，那么這個數列就叫做等和數列．
14、
(2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an.
∴等和數列的奇數項相等，偶數項也相等．
19．(本題滿分12分)某同學在一次研究性學習中發(fā)現，以下五個式子的值都等于同一個常數.
(1)sin2 13＋cos2 17－sin 13cos 17.
(2)sin2 15＋cos2 15－sin 15cos 15.
(3)sin2 18＋cos2 12－sin 18cos 12.
(4)sin2 (－18)＋cos2 48－sin (－18)cos 48.
(5)sin2 (－25)＋cos2 55－sin (－25)cos 55.
①試從上述五個式子中選擇一
15、個，求出這個常數；
②根據①的計算結果，將該同學的發(fā)現推廣為三角恒等式，并證明你的結論．
[解析]?、龠x擇(2)式計算如下sin2 15＋cos2 15－sin 15cos 15＝1－sin2 30＝.
②三角恒等式為
sin2 α＋cos2 (30－α)－sin αcos (30－α)＝.
證明如下：sin2 α＋cos2 (30－α)－sin αcos (30－α)＝sin2 α＋(cos 30cos α＋sin 30sin α)2－sinα (cos 30cos α＋sin 30sin α)
＝sin2 α＋cos2 α＋sin αcos α＋sin2 α－
sin αco
16、s α－sin2 α
＝sin2 α＋cos2 α＝.
20．(本題滿分12分)已知△ABC的三個內角A、B、C為等差數列，且a，b，c分別為角A、B、C的對邊.
求證：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
[分析] 利用分析法得出c2＋a2＝b2＋ac，再利用綜合法證明其成立．
[解析] 要證(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即證＋＝，
只需證＋＝3.
化簡，得＋＝1，
即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，
所以只需證c2＋a2＝b2＋ac.
因為△ABC的三個內角A，B，C成等差數列，
所以B＝60，
所以c
17、osB＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac成立．
∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．
21．(本題滿分12分)等差數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求數列{an}的通項an與前n項和Sn；
(2)設bn＝(n∈N＋)，求證：數列{bn}中任意不同的三項都不可能成等比數列．
[解析] (1)設等差數列公差為d，
則3a1＋d＝9＋3，
解得d＝2，∴an＝1＋＋(n－1)2＝2n＋－1，
Sn＝n＝n(n＋)．
(2)bn＝＝n＋.用反證法證明．
設bn，bm，bk成等比數列(m、n、k互不相等)，則bnbk＝b，即(n＋
18、)(k＋)＝(m＋)2，整理得：nk－m2＝(2m－n－k)，左邊為有理數，右邊是無理數，矛盾，故任何不同三項都不可能成等比數列．
22．(本題滿分12分)(2017哈六中期中)已知函數f(x)＝(x－2)ex－x2＋x＋2.
(1)求函數f(x)的單調區(qū)間和極值；
(2)證明：當x≥1時，f(x)>x3－x.
[解析] (1)f ′(x)＝(x－1)(ex－1)，
當x＜0或x＞1時，f ′(x)＞0，當0＜x＜1時，f ′(x)＜0，
∴f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上單調遞增，在(0,1)上單調遞減，
當x＝0時，f(x)有極大值f(0)＝0，當x＝1時，f(x)有極
19、小值f(1)＝－e.
(2)設g(x)＝f(x)－x3＋x，
則g′(x)＝(x－1)(ex－－)，
令u(x)＝ex－－，則u′(x)＝ex－，
當x≥1時，u′(x)＝ex－>0，u(x)在[1，＋∞)上單調遞增，u(x)≥u(1)＝e－2>0，
所以g′(x)＝(x－1)(ex－－)≥0，g(x)＝f(x)－x3＋x在[1，＋∞)上單調遞增．
g(x)＝f(x)－x3＋x≥g(1)＝－e>0，所以f(x)>x3－x.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
高中數學 第二章 推理與證明學業(yè)質量標準檢測 新人教A版選修12
