高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè) 新人教A版選修12

第二章 推理與證明時(shí)間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1命題“所有有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是(C)A使用了歸納推理B使用了類(lèi)比推理C使用了“三段論”，但大前提錯(cuò)誤D使用了“三段論”，但小前提錯(cuò)誤解析大前提是錯(cuò)誤的，故選C2已知a<b<0，下列不等式中成立的是(C)Aa2<b2B<1Ca<4bD<解析令a2，b1，滿足a<b<0，則a2>b2，2>1，>，故A、B、D都不成立，排除A、B、D，選C3用火柴棒擺“金魚(yú)”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚(yú)”圖形需要火柴棒的根數(shù)為(C)A6n2B8n2C6n2D8n2解析歸納“金魚(yú)”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚(yú)”都比它前面的“金魚(yú)”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚(yú)頭部分，故各“金魚(yú)”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8，公差是6的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an6n2.4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2an(n2)，而a11，通過(guò)計(jì)算a2、a3、a4，猜想an(B)ABCD解析a2S2S122a21，a2，a3S3S232a322a29a34，a3.a4S4S342a432a316a49，a4.由此猜想an.5分析法又稱(chēng)執(zhí)果索因法，若用分析法證明“設(shè)a>b>c，且abc0，求證<”，索的因應(yīng)是(C)Aab>0Bac<0C(ab)(ac)>0D(ab)(ac)<0解析<a，即證b2ac<3a2.abc0，b(ac)只需證(ac)2ac<3a2，即證2a2c2ac>0，即證a2c2a2ac>0，即證(ac)(ac)a(ac)>0，即證(ac)(ac)a>0.又b(ac)，即證(ac)(ab)>0.故選C6已知圓x2y2r2(r>0)的面積為Sr2，由此類(lèi)比橢圓1(a>b>0)的面積最有可能是(C)Aa2Bb2CabD(ab)2解析圓的方程可以看作是橢圓方程1(a>b>0)中，ab時(shí)的情形，S圓r2，類(lèi)比出橢圓的面積為Sab.7(2017全國(guó)文，9)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)根據(jù)以上信息，則(D)A乙可以知道四人的成績(jī)B丁可以知道四人的成績(jī)C乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D乙、丁可以知道自己的成績(jī)解析由甲說(shuō)：“我還是不知道我的成績(jī)”可推知甲看到乙、丙的成績(jī)?yōu)椤?個(gè)優(yōu)秀，1個(gè)良好”乙看丙的成績(jī)，結(jié)合甲的說(shuō)法，丙為“優(yōu)秀”時(shí)，乙為“良好”；丙為“良好”時(shí)，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成績(jī)丁看甲的成績(jī)，結(jié)合甲的說(shuō)法，甲為“優(yōu)秀”時(shí)，丁為“良好”；甲為“良好”時(shí)，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成績(jī)故選D8已知f1(x)cos x，f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，f4(x)f3(x)，fn(x)fn1(x)，則f2016(x)等于(A)Asin xBsin xCcos xDcos x解析由已知，有f1(x)cos x，f2(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，f5(x)cos x，可以歸納出：f4n(x)sin x，f4n1(x)cos x，f4n2(x)sin x，f4n3(x)cos x(nN*)所以f2016(x)f4(x)sin x.9已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列an，定義向量cn(an，an1)，bn(n，n1)，nN*.下列命題中真命題是(A)A若nN*總有cnbn成立，則數(shù)列an是等差數(shù)列B若nN*總有cnbn成立，則數(shù)列an是等比數(shù)列C若nN*總有cnbn成立，則數(shù)列an是等差數(shù)列D若nN*總有cnbn成立，則數(shù)列an是等比數(shù)列解析對(duì)nN*總有cnbn，則存在實(shí)數(shù)0，使cnbn，ann，an是等差數(shù)列10下列函數(shù)f(x)中，滿足“對(duì)任意x1、x2(0，)，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)”的是(A)Af(x)Bf(x)(x1)2Cf(x)exDf(x)ln(x1)解析若滿足題目中的條件，則f(x)在(0，)上為減函數(shù)，在A、B、C、D四選項(xiàng)中，由基本函數(shù)性質(zhì)知，A是減函數(shù)，故選A11已知函數(shù)f(x)lg，若f(a)b，則f(a)等于(B)AbBbCD解析f(x)定義域?yàn)?1,1)，f(a)lglg()1lgf(a)b.12已知f(x)x3x，a、b、cR，且ab>0，ac>0，bc>0，則f(a)f(b)f(c)的值(A)A一定大于零B一定等于零C一定小于零D正負(fù)都有可能解析f(x)x3x是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)，由ab>0得a>b，所以f(a)>f(b)，即f(a)f(b)>0，同理f(a)f(c)>0，f(b)f(c)>0，所以f(a)f(b)f(c)>0.二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，將正確答案填在題中橫線上)13“因?yàn)锳C、BD是菱形ABCD的對(duì)角線，所以AC、BD互相垂直且平分”以上推理的大前提是_菱形對(duì)角線互相垂直且平分_.14設(shè)函數(shù)f(x)(x>0)，觀察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)nN*且n2時(shí)，fn(x)f(fn1(x).解析由已知可歸納如下：f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，fn(x).15由代數(shù)式的乘法法則類(lèi)比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：“mnnm”類(lèi)比得到“abba”；“(mn)tmtnt”類(lèi)比得到“(ab)cacbc”；“t0，mtntmn”類(lèi)比得到“c0，acbcab”；“|mn|m|n|”類(lèi)比得到“|ab|a|b|”；“(mn)tm(nt)”類(lèi)比得到“(ab)ca(bc)”；“”類(lèi)比得到“”以上類(lèi)比得到的結(jié)論正確的是_.解析都正確；錯(cuò)誤，因?yàn)橄蛄坎荒芟喑?；可由?shù)量積定義判斷，所以錯(cuò)誤；向量中結(jié)合律不成立，所以錯(cuò)誤16觀察下列等式：11131123 132391236 13233336123410 132333431001234515 1323334353225 可以推測(cè)：132333n3.(nN*，用含有n的代數(shù)式表示)解析由條件可知：1312,1323932(12)2,1323333662(123)2，不難得出132333n3(123n)22.三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17(本題滿分10分)已知a、b、cR，求證：.解析分析法：要證，只需證：()2，只需證：3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ca，只需證：2(a2b2c2)2ab2bc2ca，只需證：(ab)2(bc)2(ca)20，而這是顯然成立的，所以成立綜合法：a、b、cR，(ab)2(bc)2(ca)20，2(a2b2c2)2(abbcac)，3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ac，3(a2b2c2)(abc)2，.18(本題滿分12分)(1)類(lèi)比“等差數(shù)列”給出“等和數(shù)列”的定義；(2)探索等和數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)各有什么特點(diǎn)，并加以說(shuō)明解析(1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等和數(shù)列(2)由(1)知anan1an1an2，an2an.等和數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)相等，偶數(shù)項(xiàng)也相等19(本題滿分12分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).(1)sin2 13cos2 17sin 13cos 17.(2)sin2 15cos2 15sin 15cos 15.(3)sin2 18cos2 12sin 18cos 12.(4)sin2 (18)cos2 48sin (18)cos 48.(5)sin2 (25)cos2 55sin (25)cos 55.試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；根據(jù)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論解析選擇(2)式計(jì)算如下sin2 15cos2 15sin 15cos 151sin2 30.三角恒等式為sin2 cos2 (30)sin cos (30).證明如下：sin2 cos2 (30)sin cos (30)sin2 (cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2 cos2 sin cos sin2 sin cos sin2 sin2 cos2 .20(本題滿分12分)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C為等差數(shù)列，且a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊.求證：(ab)1(bc)13(abc)1.分析利用分析法得出c2a2b2ac，再利用綜合法證明其成立解析要證(ab)1(bc)13(abc)1，即證，只需證3.化簡(jiǎn)，得1，即c(bc)(ab)a(ab)(bc)，所以只需證c2a2b2ac.因?yàn)锳BC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B60，所以cosB，即a2c2b2ac成立(ab)1(bc)13(abc)1成立21(本題滿分12分)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn(nN)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列解析(1)設(shè)等差數(shù)列公差為d，則3a1d93，解得d2，an1(n1)22n1，Snnn(n)(2)bnn.用反證法證明設(shè)bn，bm，bk成等比數(shù)列(m、n、k互不相等)，則bnbkb，即(n)(k)(m)2，整理得：nkm2(2mnk)，左邊為有理數(shù)，右邊是無(wú)理數(shù)，矛盾，故任何不同三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列22(本題滿分12分)(2017哈六中期中)已知函數(shù)f(x)(x2)exx2x2.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：當(dāng)x1時(shí)，f(x)>x3x.解析(1)f (x)(x1)(ex1)，當(dāng)x0或x1時(shí)，f (x)0，當(dāng)0x1時(shí)，f (x)0，f(x)在(，0)，(1，)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，當(dāng)x0時(shí)，f(x)有極大值f(0)0，當(dāng)x1時(shí)，f(x)有極小值f(1)e.(2)設(shè)g(x)f(x)x3x，則g(x)(x1)(ex)，令u(x)ex，則u(x)ex，當(dāng)x1時(shí)，u(x)ex>0，u(x)在1，)上單調(diào)遞增，u(x)u(1)e2>0，所以g(x)(x1)(ex)0，g(x)f(x)x3x在1，)上單調(diào)遞增g(x)f(x)x3xg(1)e>0，所以f(x)>x3x.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375