《高中數(shù)學 第二講 證明不等式的基本方法復習課學案 新人教A版選修45》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學 第二講 證明不等式的基本方法復習課學案 新人教A版選修45（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3
2、3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 第二講第二講 證明不等式的基本方法證明不等式的基本方法 復 習 課 整合網(wǎng)絡構建 警示易錯提醒 1比較法的一個易錯點 忽略討論導致錯誤，當作差所得的結果“正負不明”時，應注意分類討論 2分析法和綜合法的易錯點 對證明方法不理解導致證明錯誤， 在不等式的證明過程中， 常因對分析法與綜合法的證明思想不理解而導致錯誤 3反證法與放縮法的注意點 (1)反證法中對結論否定不全 (2)應用放縮法時放縮不恰當 專題一 比較法證明不等式 比較法
3、是證明不等式的最基本、最重要的方法，主要有作差比較法和作商比較法，含根號時常采用比平方差或立方差基本步驟是作差(商)變形判斷結論，關鍵是變形，變形的目的是判號(與 1 的大小關系)，變形的方法主要有配方法、因式分解法等 例 若x，y，zR，a0，b0，c0.求證：bcax2caby2abcz22(xyyzzx) 證明：因為bcax2caby2abcz22(xyyzzx) bax2aby22xycby2bcz22yz 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5
4、1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 acz2ca
5、x22zxbaxaby2 cbybcz2aczcax20， 所以bcax2caby2abcz22(xyyzzx)成立 歸納升華 作差法證明不等式的關鍵是變形， 變形是證明推理中一個承上啟下的關鍵， 變形的目的在于判斷差的符號， 而不是考慮能否化簡或值是多少， 變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運用一切有效的恒等變形的方法 變式訓練 已知a，bR，求證：a2b21abab. 證明：法一 因為a2b2abab112(ab)2(a1)2(b1)20， 所以a2b21abab. 法二 a2b2abab1a2(b1)ab2b1， 對于a的二次三項式， (b1)24(b2b1)
6、3(b1)20， 所以a2(b1)ab2b10， 故a2b21abab. 專題二 綜合法證明不等式 綜合法證明不等式的思維方式是“順推”， 即由已知的不等式出發(fā)， 逐步推出其必要條件(由因導果)，最后推導出所要證明的不等式成立 證明時要注意的是： 作為依據(jù)和出發(fā)點的幾個重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同，應用時要先考慮是否具備應有的條件，避免錯誤 例 2 設a，b，c均為正數(shù)，且abc1，求證： a2bb2cc2a1. 證明：因為a2bb2a，b2cc2b，c2aa2c， 故a2bb2cc2a(abc)2(abc)， 則a2bb2cc2aabc. 所以a2bb2cc2a1. 歸納升華
7、6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3
8、3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 綜合法證明的實質是由因導果，其證明的邏輯關系是：AB1B2BnB(A為已知條件或數(shù)學定義、定理、公理，B為要證的結論)，它的常見書面表達式是“因為所以”或“” 變式訓練 設a0，b0，ab1，求證：1a1b1ab8. 證明：因為a0，b0，ab1， 所以 1ab2ab，ab12，所以1ab4. 所以1a1b1ab(ab)1a1b1ab2ab21ab48， 所以1a1b1ab8， 當且僅當ab12時，等號成立 專題三 用分析法證明
9、不等式 分析法證明不等式的思維方法是“逆推”， 即由待證的不等式出發(fā)， 逐步逆求它要成立的充分條件(執(zhí)果索因)，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式 當要證的不等式不知從何入手時， 可考慮用分析法去證明， 特別是對于條件簡單而結論復雜的題目，往往更為有效 例 3 已知abc，且abc0，求證：b2ac 3a. 證明：要證b2ac 3a，只需證b2ac3a2. 因為abc0，只需證b2a(ab)3a2， 只需證 2a2abb20， 只需證(ab)(2ab)0， 只需證(ab)(ac)0. 因為abc，所以ab0，ac0， 所以(ab)(ac)0 顯然成立， 故原不等式成立 歸納升華 1分析
10、法的格式是固定的，但是必須注意推演過程中的每一步都是尋求相應結論成立的充分條件 2 分析法是“執(zhí)果索因”， 逐步尋求上一步成立的充分條件， 而綜合法是“由因導果”，逐步推導出不等式成立的必要條件，兩者是對立統(tǒng)一的一般來說，對于較復雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法可結合使用 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7
11、 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 變式訓練 已知ab0，求證：abab. 證明：要證abab， 即證abab， 只需
12、證ab2 （ab）bab， 只需證 02 （ab）b. 由ab0 知最后一個不等式成立， 故原不等式成立 專題四 用反證法證明不等式 反證法常用于直接證明困難或結論以否定形式出現(xiàn)的命題，涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題 例 4 若 0a2，0b2，0c2，求證：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能同時大于 1. 證明：假設三數(shù)能同時大于 1， 即(2a)b1，(2b)c1，(2c)a1， 那么（2a）b2 （2a）b1， 同理（2b）c21，（2c）a21， 三式相加（2ab）（2bc）（2ca）23， 即 33. 上式顯然是錯誤的，所以該假設不成立 所以(2a)b，(2b
13、)c，(2c)a不能同時都大于 1. 歸納升華 反證法是從否定結論出發(fā)， 經(jīng)過推理論證， 得出矛盾， 從而肯定原命題正確的證明方法，其步驟為： (1)分清命題的條件和結論，假設出與命題結論相矛盾的假定命題(否定結論)； (2)從假定和條件出發(fā)，應用正確的推理方法，推出矛盾； (3)斷定產生矛盾的原因在于開始所做的假設不正確，于是原命題成立，從而間接證明了原命題為真命題 變式訓練 已知：在如圖所示的ABC中，BAC90，D是BC的中點 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1
14、 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7
15、 5 求證：AD12BC. 證明：假設AD12BC. (1)若AD12BC，由平面幾何中定理“若三角形一邊上的中線等于該邊長的一半，那么，這條邊所對的角為直角” ，即BAC90，與題設矛盾 所以AD12BC. (2)若AD12BC，因為BDDC12BC， 所以在ABD中，ADBD，從而BBAD. 同理CCAD. 所以BCBADCAD， 即BCBAC. 因為BC180BAC，所以 180BACBAC，則BAC90，與已知矛盾 由(1)(2)知AD12BC. 專題五 用放縮法證明不等式 在證明不等式時，有時需要舍去或添加一些項，有時需要拆項，使不等式的一邊放大或縮小，然后利用不等式的傳遞性達到證明
16、的目的某些不等式可構造出函數(shù)，利用函數(shù)的單調性放縮證明運用放縮法證明的關鍵是放縮要適當 例 5 已知a，b，c為三角形的三條邊，求證：a1ab1b c1c. 證明：設f(x)x1x，x(0，)，0 x1x2， 則f(x2)f(x1)x21x2x11x1x2x1（1x1）（1x2）0， 所以f(x)在(0，)上為增函數(shù) 因為a，b，c為三角形的三條邊， 于是abc，則ab1abc1c. 又a1ab1ba1abb1abab1ab， 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F
17、2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 故a1ab1bc1c. 歸納升華 用放縮法證明不等式時，常見的放縮依據(jù)或技巧是不等式的傳遞性縮小分母，擴大分子，分式值增大；縮小分子，擴大分母，分式值減?。蝗坎恍∮诓糠?；每次縮小其和變小，但需大于所求；每一次擴大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭同時，放縮有時需便于求和 變式訓練 求證： 11111211231123n3(nN*， 且n1) 證明： 由1123k1122212k1(k是大于 2 的自然數(shù))， 得 11111211231123n111212212312n11112n112312n13.
高中數(shù)學 第二講 證明不等式的基本方法復習課學案 新人教A版選修45
