高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修45

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1、6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3

2、3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 第二講第二講 證明不等式的基本方法證明不等式的基本方法 復(fù) 習(xí) 課 整合網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 警示易錯(cuò)提醒 1比較法的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn) 忽略討論導(dǎo)致錯(cuò)誤，當(dāng)作差所得的結(jié)果“正負(fù)不明”時(shí)，應(yīng)注意分類討論 2分析法和綜合法的易錯(cuò)點(diǎn) 對(duì)證明方法不理解導(dǎo)致證明錯(cuò)誤， 在不等式的證明過(guò)程中， 常因?qū)Ψ治龇ㄅc綜合法的證明思想不理解而導(dǎo)致錯(cuò)誤 3反證法與放縮法的注意點(diǎn) (1)反證法中對(duì)結(jié)論否定不全 (2)應(yīng)用放縮法時(shí)放縮不恰當(dāng) 專題一 比較法證明不等式 比較法

3、是證明不等式的最基本、最重要的方法，主要有作差比較法和作商比較法，含根號(hào)時(shí)常采用比平方差或立方差基本步驟是作差(商)變形判斷結(jié)論，關(guān)鍵是變形，變形的目的是判號(hào)(與 1 的大小關(guān)系)，變形的方法主要有配方法、因式分解法等 例 若x，y，zR，a0，b0，c0.求證：bcax2caby2abcz22(xyyzzx) 證明：因?yàn)閎cax2caby2abcz22(xyyzzx) bax2aby22xycby2bcz22yz 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5

4、1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 acz2ca

5、x22zxbaxaby2 cbybcz2aczcax20， 所以bcax2caby2abcz22(xyyzzx)成立 歸納升華 作差法證明不等式的關(guān)鍵是變形， 變形是證明推理中一個(gè)承上啟下的關(guān)鍵， 變形的目的在于判斷差的符號(hào)， 而不是考慮能否化簡(jiǎn)或值是多少， 變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法 變式訓(xùn)練 已知a，bR，求證：a2b21abab. 證明：法一 因?yàn)閍2b2abab112(ab)2(a1)2(b1)20， 所以a2b21abab. 法二 a2b2abab1a2(b1)ab2b1， 對(duì)于a的二次三項(xiàng)式， (b1)24(b2b1)

6、3(b1)20， 所以a2(b1)ab2b10， 故a2b21abab. 專題二 綜合法證明不等式 綜合法證明不等式的思維方式是“順推”， 即由已知的不等式出發(fā)， 逐步推出其必要條件(由因?qū)Ч?，最后推導(dǎo)出所要證明的不等式成立 證明時(shí)要注意的是： 作為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)的幾個(gè)重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同，應(yīng)用時(shí)要先考慮是否具備應(yīng)有的條件，避免錯(cuò)誤 例 2 設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1，求證： a2bb2cc2a1. 證明：因?yàn)閍2bb2a，b2cc2b，c2aa2c， 故a2bb2cc2a(abc)2(abc)， 則a2bb2cc2aabc. 所以a2bb2cc2a1. 歸納升華

7、6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3

8、3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 綜合法證明的實(shí)質(zhì)是由因?qū)Ч?，其證明的邏輯關(guān)系是：AB1B2BnB(A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理，B為要證的結(jié)論)，它的常見(jiàn)書(shū)面表達(dá)式是“因?yàn)樗浴被颉啊?變式訓(xùn)練 設(shè)a0，b0，ab1，求證：1a1b1ab8. 證明：因?yàn)閍0，b0，ab1， 所以 1ab2ab，ab12，所以1ab4. 所以1a1b1ab(ab)1a1b1ab2ab21ab48， 所以1a1b1ab8， 當(dāng)且僅當(dāng)ab12時(shí)，等號(hào)成立 專題三 用分析法證明

9、不等式 分析法證明不等式的思維方法是“逆推”， 即由待證的不等式出發(fā)， 逐步逆求它要成立的充分條件(執(zhí)果索因)，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式 當(dāng)要證的不等式不知從何入手時(shí)， 可考慮用分析法去證明， 特別是對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目，往往更為有效 例 3 已知abc，且abc0，求證：b2ac 3a. 證明：要證b2ac 3a，只需證b2ac3a2. 因?yàn)閍bc0，只需證b2a(ab)3a2， 只需證 2a2abb20， 只需證(ab)(2ab)0， 只需證(ab)(ac)0. 因?yàn)閍bc，所以ab0，ac0， 所以(ab)(ac)0 顯然成立， 故原不等式成立 歸納升華 1分析

10、法的格式是固定的，但是必須注意推演過(guò)程中的每一步都是尋求相應(yīng)結(jié)論成立的充分條件 2 分析法是“執(zhí)果索因”， 逐步尋求上一步成立的充分條件， 而綜合法是“由因?qū)Ч?，逐步推?dǎo)出不等式成立的必要條件，兩者是對(duì)立統(tǒng)一的一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法可結(jié)合使用 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7

11、 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 變式訓(xùn)練 已知ab0，求證：abab. 證明：要證abab， 即證abab， 只需

12、證ab2 （ab）bab， 只需證 02 （ab）b. 由ab0 知最后一個(gè)不等式成立， 故原不等式成立 專題四 用反證法證明不等式 反證法常用于直接證明困難或結(jié)論以否定形式出現(xiàn)的命題，涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題 例 4 若 0a2，0b2，0c2，求證：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能同時(shí)大于 1. 證明：假設(shè)三數(shù)能同時(shí)大于 1， 即(2a)b1，(2b)c1，(2c)a1， 那么（2a）b2 （2a）b1， 同理（2b）c21，（2c）a21， 三式相加（2ab）（2bc）（2ca）23， 即 33. 上式顯然是錯(cuò)誤的，所以該假設(shè)不成立 所以(2a)b，(2b

13、)c，(2c)a不能同時(shí)都大于 1. 歸納升華 反證法是從否定結(jié)論出發(fā)， 經(jīng)過(guò)推理論證， 得出矛盾， 從而肯定原命題正確的證明方法，其步驟為： (1)分清命題的條件和結(jié)論，假設(shè)出與命題結(jié)論相矛盾的假定命題(否定結(jié)論)； (2)從假定和條件出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾； (3)斷定產(chǎn)生矛盾的原因在于開(kāi)始所做的假設(shè)不正確，于是原命題成立，從而間接證明了原命題為真命題 變式訓(xùn)練 已知：在如圖所示的ABC中，BAC90，D是BC的中點(diǎn) 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1

14、 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7

15、 5 求證：AD12BC. 證明：假設(shè)AD12BC. (1)若AD12BC，由平面幾何中定理“若三角形一邊上的中線等于該邊長(zhǎng)的一半，那么，這條邊所對(duì)的角為直角” ，即BAC90，與題設(shè)矛盾 所以AD12BC. (2)若AD12BC，因?yàn)锽DDC12BC， 所以在ABD中，ADBD，從而B(niǎo)BAD. 同理CCAD. 所以BCBADCAD， 即BCBAC. 因?yàn)锽C180BAC，所以 180BACBAC，則BAC90，與已知矛盾 由(1)(2)知AD12BC. 專題五 用放縮法證明不等式 在證明不等式時(shí)，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，有時(shí)需要拆項(xiàng)，使不等式的一邊放大或縮小，然后利用不等式的傳遞性達(dá)到證明

16、的目的某些不等式可構(gòu)造出函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性放縮證明運(yùn)用放縮法證明的關(guān)鍵是放縮要適當(dāng) 例 5 已知a，b，c為三角形的三條邊，求證：a1ab1b c1c. 證明：設(shè)f(x)x1x，x(0，)，0 x1x2， 則f(x2)f(x1)x21x2x11x1x2x1（1x1）（1x2）0， 所以f(x)在(0，)上為增函數(shù) 因?yàn)閍，b，c為三角形的三條邊， 于是abc，則ab1abc1c. 又a1ab1ba1abb1abab1ab， 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F

17、2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 故a1ab1bc1c. 歸納升華 用放縮法證明不等式時(shí)，常見(jiàn)的放縮依據(jù)或技巧是不等式的傳遞性縮小分母，擴(kuò)大分子，分式值增大；縮小分子，擴(kuò)大分母，分式值減?。蝗坎恍∮诓糠?；每次縮小其和變小，但需大于所求；每一次擴(kuò)大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過(guò)頭同時(shí)，放縮有時(shí)需便于求和 變式訓(xùn)練 求證： 11111211231123n3(nN*， 且n1) 證明： 由1123k1122212k1(k是大于 2 的自然數(shù))， 得 11111211231123n111212212312n11112n112312n13.