高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第6節(jié) 正弦定理和余弦定理學(xué)案 文 北師大版

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1、 第六節(jié)正弦定理和余弦定理 考綱傳真掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題 (對應(yīng)學(xué)生用書第50頁) 基礎(chǔ)知識填充1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式2R.(R為ABC外接圓半徑)a2b2c22bccos_A;b2c2a22cacos_B;c2a2b22abcos_C公式變形(1)a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C;(2)abcsin Asin Bsin C;(3)sin A,sin B,sin Ccos A;cos B;cos C2. 在ABC中,已知a、b和A時(shí),解的情況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin Aababab

2、解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解3. 三角形常用面積公式(1)Saha(ha表示邊a上的高);(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A(3)Sr(abc)(r為內(nèi)切圓半徑)知識拓展1三角形內(nèi)角和定理在ABC中,ABC;變形:.2三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(AB)sin C;(2)cos(AB)cos C;(2)sincos ;(4)cossin .3在ABC中,sin Asin BABabcosAcos BABab基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”)(1)在ABC中,若AB,則必有sin Asin B()(2)在ABC中,若b2c2a2,則ABC

3、為銳角三角形()(3)在ABC中,若A60,a4,b4,則B45或135.()(4)在ABC中,.()解析(1)正確ABabsin Asin B(2)錯(cuò)誤由cos A0知,A為銳角,但ABC不一定是銳角三角形(3)錯(cuò)誤由ba知,BA(4)正確利用a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C,可知結(jié)論正確答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)在ABC中,若sin2Asin2Bsin2C,則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定C由正弦定理,得sin A,sin B,sin C,代入得到a2b2c2,由余弦定理得cos C0,所以C為鈍角,所以該三角形為鈍角三

4、角形3(20xx全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a,c2,cos A,則b()AB C2D3D由余弦定理得5b242b2,解得b3或b(舍去),故選D4(20xx全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,C已知C60,b,c3,則A_.75如圖,由正弦定理,得,sin B.又cb,B45,A180604575.5在ABC中,A60,AC4,BC2,則ABC的面積等于_. 【導(dǎo)學(xué)號:00090109】2由題意及余弦定理得cos A,解得c2,所以Sbcsin A42sin 602.(對應(yīng)學(xué)生用書第51頁)利用正、余弦定理解三角形(1)(20xx全國卷)ABC的內(nèi)

5、角A,B,C的對邊分別為a,b,C已知sin Bsin A(sin Ccos C)0,a2,c,則C()ABCD(2)在ABC中,BAC,AB6,AC3,點(diǎn)D在BC邊上,ADBD,求AD的長B(1)因?yàn)閍2,c,所以由正弦定理可知,故sin Asin C又B(AC),故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C為ABC的內(nèi)角,故sin C0,則sin Acos A0,即tan A1.又A(0,),所以A.從而sin C

6、sin A.由A知C為銳角,故C.故選B(2)設(shè)ABC的內(nèi)角BAC,B,C所對邊的長分別是a,b,c,由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90,所以a3.又由正弦定理得sin B,由題設(shè)知0B,所以cos B.在ABD中,因?yàn)锳DBD,所以ABDBAD,所以ADB2B,故由正弦定理得AD.規(guī)律方法1.正弦定理是一個(gè)連比等式,只要知道其比值或等量關(guān)系就可以運(yùn)用正弦定理通過約分達(dá)到解決問題的目的2(1)運(yùn)用余弦定理時(shí),要注意整體思想的運(yùn)用(2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對角,求該三角形的其它邊角的問題時(shí),首先必須判斷是否有解,如果有解,是一解還是兩解

7、,注意“大邊對大角”在判定中的應(yīng)用變式訓(xùn)練1(1)(20xx鄭州模擬)已知a,b,c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊, 且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A,則角B的大小為()A30B45C60D120(2)(20xx全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A,cos C,a1,則b_.(1)A(2)(1)由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A得(bc)(bc)(ac)a,即b2c2a2ac,a2c2b2aC又cos B,cos B,B30.(2)在ABC中,cos A,cos C,sin A,sin C,sin Bsin(A

8、C)sin Acos Ccos Asin C.又,b.判斷三角形的形狀(1)(20xx東北三省四市二聯(lián))在ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,滿足acos Abcos B,則ABC的形狀為() 【導(dǎo)學(xué)號:00090110】A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形(2)(20xx廣州模擬)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且b2c2a2bc,若sin Bsin Csin2A,則ABC的形狀是()A等腰三角形B直角三角形C等邊三角形D等腰直角三角形(1)D(2)C(1)因?yàn)閍cos Abcos B,由正弦定理得sin Acos Asin Bcos

9、B,即sin 2Asin 2B,所以2A2B或2A2B,即AB或AB,所以ABC為等腰三角形或直角三角形,故選D(2)由b2c2a2bc得cos A.A(0,),A.由sin Bsin Csin2A得bca2,代入b2c2a2bc得(bc)20,即bc,從而ABC是等邊三角形規(guī)律方法1.判定三角形形狀的途徑:(1)化邊為角,通過三角變換找出角之間的關(guān)系(2)化角為邊,通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系,正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁2無論使用哪種方法,都不要隨意約掉公因式;要移項(xiàng)提取公因式,否則會有漏掉一種形狀的可能變式訓(xùn)練2設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若2sin Acos Bsi

10、n C,那么ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等邊三角形B法一:由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B,即sin(AB)0,因?yàn)锳B,所以AB法二:由正弦定理得2acos Bc,再由余弦定理得2aca2b2aB與三角形面積有關(guān)的問題(20xx全國卷)已知a,b,c分別為ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,sin2B2sin Asin C(1)若ab,求cos B;(2)設(shè)B90,且a,求ABC的面積解(1)由題設(shè)及正弦定理可得b22aC2分又ab,可得b2c,a2C由余弦定理可得cos B.5分(2)由(1)知b22aC7

11、分因?yàn)锽90,由勾股定理得a2c2b2,故a2c22ac,進(jìn)而可得ca.9分所以ABC的面積為1.12分規(guī)律方法三角形面積公式的應(yīng)用方法:(1)對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A,一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式(2)與面積有關(guān)的問題,一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化變式訓(xùn)練3(20xx全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cos C(acos Bbcos A)C(1)求C;(2)若c,ABC的面積為,求ABC的周長解(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C,即2cos Csin(AB)sin C,3分故2sin Ccos Csin C可得cos C,所以C.5分(2)由已知得absin C.又C,所以ab6.9分由已知及余弦定理得a2b22abcos C7,故a2b213,從而(ab)225.所以ABC的周長為5.12分

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