中考數(shù)學(xué)真題類(lèi)編 知識(shí)點(diǎn)018與二次函數(shù)有關(guān)代數(shù)方面應(yīng)用

《中考數(shù)學(xué)真題類(lèi)編 知識(shí)點(diǎn)018與二次函數(shù)有關(guān)代數(shù)方面應(yīng)用》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《中考數(shù)學(xué)真題類(lèi)編 知識(shí)點(diǎn)018與二次函數(shù)有關(guān)代數(shù)方面應(yīng)用（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、▼▼▼2019屆數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)資料▼▼▼ 一、選擇題 1. （2016江蘇省宿遷市，8，3分）若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－1，0），則方程的解為（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【逐步提示】先求出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，再利用拋物線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)性可以求出拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程ax2－2ax+c=0的解， 【詳細(xì)解答】 解：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是：直線(xiàn)，又∵圖象經(jīng)過(guò)（－1，0），設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為(x2，0)，則，解得x2=3，因此圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（－1，0），（3，0），∴方程

2、ax2－2ax+c=0的解為－1，和3，故選擇C． 【解后反思】二次函數(shù)的軸對(duì)稱(chēng)性是二次函數(shù)的重要特征；要熟練各種情況下對(duì)稱(chēng)軸的計(jì)算： 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 對(duì)稱(chēng)軸：直線(xiàn) 頂點(diǎn)式：y=a(x－h(huán))2+k(a≠0) 對(duì)稱(chēng)軸：直線(xiàn)x=h 交點(diǎn)式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 對(duì)稱(chēng)軸： 直線(xiàn)． 在二次函數(shù)中，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 【關(guān)鍵詞】 二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)與一元二次方程；數(shù)形結(jié)合思想； 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

3、12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 二、填空題 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 3

4、3. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 三、解答題 1. （ 2016福建福州，27，13分）已知，拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c ( a≠0）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，頂點(diǎn)為A ( h，k ) （h≠0）． （1）當(dāng)h＝1，k＝2時(shí)，求拋物線(xiàn)的解析式； （2）若拋物線(xiàn)y＝tx2（t≠0）也經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，求a與t之間的關(guān)系式； （3）當(dāng)點(diǎn)A在拋物線(xiàn)y＝x2－x上，且－2≤h＜1時(shí)，求a的取值范圍． 【逐步提示】本題綜合考查了二次函數(shù)、反比例函數(shù)和不等式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是會(huì)用待定系數(shù)法解決問(wèn)題．（1）用頂點(diǎn)式解決這個(gè)問(wèn)題，設(shè)拋物線(xiàn)為y=a（x﹣1）2+2，原點(diǎn)代入即可．（2）

5、由拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c ( a≠0）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)y＝tx2（t≠0）經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，列出方程組，消去k和h即可解決．（3）由點(diǎn)A在拋物線(xiàn)y＝x2－x上，得到，再由拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，得到利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論可得答案. 【詳細(xì)解答】解：根據(jù)題意，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為 （1）∵ ∴ ∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)， ∴ 解得 ∴即 （2）∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)， ∴ ∴ ∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)， ∴ ∵ ∴ （3）∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)上， ∴. ∴ ∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)， ∴ ∵ ∴ 分兩類(lèi)討論： ①當(dāng)-2≤h≤0時(shí)，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知

6、 ∴； ②當(dāng)0＜h＜1時(shí)，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知＞1, ∴＞0. 綜上所述，的取值范圍是或＞0. 【解后反思】中考中在求函數(shù)解析式時(shí)，運(yùn)用待定系數(shù)法． 使用待定系數(shù)法解題的一般步驟是： (1)確定所求問(wèn)題含待定系數(shù)的解析式； (2)根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程； (3)解方程或消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決． 本題第（3）問(wèn)也可以直接解不等式來(lái)解決.∵，∴h=，∵﹣2≤h＜1，∴﹣2≤＜1，①當(dāng)1+a＞0時(shí)，即a＞﹣1時(shí)，，解得a＞0，②當(dāng)1+a＜0時(shí)，即a＜﹣1時(shí)，解得a≤﹣，綜上所述，a的取值范圍a＞0或a≤﹣． 【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)的表達(dá)式；分類(lèi)討論思想

7、；數(shù)形結(jié)合思想；反比函數(shù)的性質(zhì)； 2. （ 2016甘肅省天水市，24，10分）天水市某企業(yè)接到一批粽子生產(chǎn)任務(wù)，按要求在19天內(nèi)完成 ，約定這批粽子的出廠(chǎng)價(jià)為每只4元．為按時(shí)完成任務(wù)，該企業(yè)招收了新工人，設(shè)新工人李紅第x天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為y只，y與x滿(mǎn)足如下關(guān)系． （1）（3分）李紅第幾天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為260只？ （2）（7分）如圖，設(shè)第x天每只粽子的成本是p元，p與x之間的關(guān)系可用圖中的函數(shù)圖像來(lái)刻畫(huà)，若李紅第x天創(chuàng)造的利潤(rùn)為w元，求w與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出第幾天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？（利潤(rùn)＝出廠(chǎng)價(jià)－成本） O x（天） P（元/只） 3 2 9 1

8、9 【逐步提示】本題是分段函數(shù)應(yīng)用題，考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，需要利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的增減性求最值，解題的關(guān)鍵是讀懂題目信息，列出函數(shù)關(guān)系式．具體地，（1）把y＝260代入，解方程即可求得．（2）根據(jù)圖像，運(yùn)用待定系數(shù)法求得p與x之間的函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)“利潤(rùn)＝出廠(chǎng)價(jià)－成本”得“w＝(4－p)y”，分情況代入數(shù)或式整理即得w與x之間的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的增減性求解最大利潤(rùn)． 【詳細(xì)解答】解：（1）將y＝260代入y＝32x，得260＝32x，解得x＝． 此時(shí)，x值不滿(mǎn)足0≤x≤5，故這種情況不存在． ∴5＜x≤19時(shí)，則有20x＋60＝2

9、60，解得x＝10． ∴李紅第10天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為260只． （2）由圖可知p1＝2(0≤x≤9)． 設(shè)p2＝kx＋b(9≤x≤19)，將(9，2)，(19，3)代入，得 ，解得． ∴p2＝0.1x＋1.1(9≤x≤19)． 當(dāng)0≤x≤5時(shí)，w＝(4－2)32x＝64x，由一次函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)x＝5時(shí)，w最大＝320． 當(dāng)5＜x≤9時(shí)，w＝(4－2)(20x＋60)＝40x＋120，由一次函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)x＝9時(shí)，w最大＝480． 當(dāng)9＜x≤19時(shí)，w＝[4－(0.1x＋1.1)](20x＋60)＝－2x2＋52x＋174＝－2(x－13)2＋512，由二次函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)x

10、＝13時(shí)，w最大＝512． ∴w與x之間的函數(shù)表達(dá)式為，由320＜480＜512，知第13天時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是512元． 【解后反思】此題第（1）問(wèn)不難，難在解答第（2）問(wèn)，需要分情況討論．根據(jù)已知條件中的0≤x≤5，5＜x≤19，及由函數(shù)圖像分析得出的0≤x≤9，9≤x≤19這四個(gè)自變量的取值范圍，再結(jié)合利潤(rùn)求解公式就可得出0≤x≤5，5＜x≤9，9＜x≤19這三種利潤(rùn)計(jì)算情況． 【關(guān)鍵詞】解一元一次方程；一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)；實(shí)際問(wèn)題；二次函數(shù)的表達(dá)式；二次函數(shù)的性質(zhì)；分類(lèi)討論思想；數(shù)形結(jié)合思想；方程與函數(shù)思想；待定系數(shù)法；配方法． 3. （2016廣東省廣州市，24，

11、14分）已知拋物線(xiàn)y=mx2+(1－2m)x+1－3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B． (1)求m的取值范圍； （2）證明該拋物線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）當(dāng)＜m≤8時(shí)，由（2）求出的點(diǎn)P和點(diǎn)A，B構(gòu)成的△ABP的面積是否有最值？若有，求出最值及相對(duì)應(yīng)的m值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【逐步提示】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，可直接求得m的取值范圍；（2）拋物線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，也就是說(shuō)把該定點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式時(shí)不受m取值的影響，所以只要含m的項(xiàng)其和為0即可，這樣先求得所過(guò)定點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的值，然后再代入解析式計(jì)算縱坐標(biāo)y的值，不在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)即為所求

12、的點(diǎn)P；（3）△ABP的AB邊上的高即為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)4，故在＜m≤8的范圍內(nèi)，求得線(xiàn)段AB的值，再利用三角形面積公式易于得到其最值，線(xiàn)段AB的值可通過(guò)解一元二次方程直接得到． 【詳細(xì)解答】解：（1）∵y=mx2+(1－2m)x+1－3m是二次函數(shù)，∴m≠0．∵拋物線(xiàn)與x軸相交于不同的兩點(diǎn)，∴△=(1－2m)2－4m(1－3m)=16m2－8m+1=(4m－1)2＞0，∴4m－1≠0，解得m≠． 綜上可知，m的取值范圍是m≠0，且m≠． （2）y=mx2+(1－2m)x+1－3m=mx2+x－2mx+1－3m=m(x2－2x－3)+x+1，故只要x2－2x－3=0，那么y的值便與m的取值無(wú)

13、關(guān)，也就是說(shuō)拋物線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)．解x2－2x－3=0，得x1=3，x2=－1． 當(dāng)x=3時(shí)，y=9m+3－6m+1－3m=4，即P(3，4)； 當(dāng)x=－1時(shí)，y=m－1+2m+1－3m=0，點(diǎn)(－1，0)是x軸上的一點(diǎn)，不合題意，舍去． ∴該拋物線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，4)． （3））一元二次方程mx2+(1－2m)x+1－3m=0中，由求根公式，得 ∴x=，即x=，∴x1=3－，x2=－1． 當(dāng)＜m≤8時(shí)，3－＞－1，∴AB=3－－(－1)=4－； S△ABP=(4－)4=2(4－)． ∵＜m≤8，∴≤＜4， ∴當(dāng)取最小值時(shí)，2(4－)有最大值， 即

14、△ABP的面積有最大值，此時(shí)m=8． 【解后反思】（1）二次函數(shù)的y=ax2+bx+c的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)．這對(duì)應(yīng)著一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三種情況：沒(méi)有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根． （2）以形定數(shù)，拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩實(shí)根；以數(shù)定形，求出方程ax2+bx+c=0的兩實(shí)根，便得到拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．特別地，一元二次方程ax2+bx+c=m的解，即為二次函數(shù)y=ax2+bx+c當(dāng)y=h時(shí)的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)． （3）函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，一般解決方法是函數(shù)解析式中

15、所含參數(shù)的項(xiàng)的和為0時(shí)，則函數(shù)值不受字母參數(shù)的影響，據(jù)此可求定點(diǎn)的坐標(biāo)． （3）拋物線(xiàn)中三角形的最值問(wèn)題，一般先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用其表示相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積公式構(gòu)造新的函數(shù)關(guān)系式確定最值． 本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根的判別式以及最值問(wèn)題等知識(shí)；本題難度較大，根據(jù)題意得出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)的解析式；二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；解一元二次方程；一元二次方程根的判別式；點(diǎn)的坐標(biāo)；完全平方式；三角形的面積 4. （ 2016湖南省郴州市，26，12分）如圖1，矩形ABCD中，AB＝7cm，

16、AD＝4cm，點(diǎn)E為AD上一定點(diǎn)，點(diǎn)F為AD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且DF＝acm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以2cm／s的速度運(yùn)動(dòng)．連結(jié)PE，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，△PAE的面積為y．當(dāng)0≤t≤1時(shí)，△PAE的面積y（）關(guān)于時(shí)間t（s）的函數(shù)圖象如圖2所示．連結(jié)PF，交CD于點(diǎn)H． （1）t的取值范圍為 ．AE＝ cm； （2）如圖3，將△HDF沿線(xiàn)段DF進(jìn)行翻折，與CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M，連結(jié)AM．當(dāng)a為何值時(shí)，四邊形PAMH為菱形？并求出此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t； （3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)1s后，AD邊上另一動(dòng)點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā)，沿ED

17、邊向點(diǎn)D以1cm／s的速度運(yùn)動(dòng)．如果P、Q兩點(diǎn)中的任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連結(jié)PQ、QH，若cm，請(qǐng)問(wèn)△PQH能否構(gòu)成直角三角形？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【逐步提示】本題考查的是矩形為背景下的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，翻折問(wèn)題．解題的關(guān)鍵是巧妙的運(yùn)用相似三角形，尋找線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系和比例關(guān)系．（1）由于點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)，且速度為2cm／s，即0≤2t≤7，可以確定t的取值范圍；結(jié)合0≤t≤1時(shí)，圖2的函數(shù)圖象，能得到y(tǒng)與t的函數(shù)關(guān)系式，因?yàn)?，即y＝，可以求出AE的長(zhǎng)． （2）將△HDF沿線(xiàn)段DF進(jìn)行翻折，可得到HD＝DM，若四邊形PAMH為菱形，則有AP＝

18、AM＝MH＝2DM，因?yàn)锳D＝4，∠ADM＝90，由勾股定理可以求出DM，即可求出AP，又因?yàn)锳P＝2t，即可列式求出t值． （3）因?yàn)椤鱌QH若構(gòu)成直角三角形，則可能有∠PQH＝90，或∠PHQ＝90，每種情況下都可構(gòu)造“一線(xiàn)三等角”證明相似．由于Q比P晚走1s，所以EQ＝t－1，所以QD表示為4－t，因?yàn)橹纁m，所以DH也可以用“A”字型相似表示出來(lái)，寫(xiě)出正確的比例式就可計(jì)算出每種情況下的t值了． 【詳細(xì)解答】解：（1）∵P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，速度為2cm／s，∴0≤2t≤7，∴0≤t≤； ∵由圖2可得當(dāng)0≤t≤1時(shí)，y＝t，∵，∴y＝，即t＝，∴AE＝1． （2）∵將△HDF

19、沿線(xiàn)段DF進(jìn)行翻折得到△MDF，∴HD＝DM＝，又∵四邊形PAMH為菱形，∴AP＝AM＝MH＝2DM，∵AD＝4，∠ADM＝90，∴在Rt△ADM中，，∴，∴DM＝，∴AP＝2t＝， ∴t＝． （3）∵P先出發(fā)1s后Q再?gòu)腅出發(fā)，∴AP＝2t，EQ＝t－1，∴QD＝4－1－（t－1）＝4－t．∵四邊形ABCD是矩形，AB∥CD，∴△FDH∽△FAP，∴，∴， ∴．由題意可知，若△PQH為直角三角形，則有兩種情況：∠PQH＝90，或∠PHQ＝90．當(dāng)∠PQH＝90時(shí)，∵∠A＝∠QDH＝90，∴∠APQ＋∠AQP＝90，∵∠AQP＋∠DQH＝90，∴∠APQ＝∠DQH，∴△APQ∽△DQH

20、，∴，∴，∴t＝2；．當(dāng)∠PHQ＝90時(shí)，過(guò)P作PM⊥CD于點(diǎn)M，同理可證△PMH∽△HDQ，∴ ，∵PM＝AD＝4，∴，解得．∴當(dāng)t＝2或時(shí)△PQH為直角三角形． 【解后反思】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題本身就是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的路徑判斷取值范圍較為常見(jiàn)，要認(rèn)真審題，看在哪些線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)點(diǎn)和函數(shù)結(jié)合的題，往往求出的解析式是分段函數(shù)．此題還體現(xiàn)了一線(xiàn)三等角的構(gòu)造，這是解決相似三角形時(shí)常用的方法．體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想． 【關(guān)鍵詞】 菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；動(dòng)點(diǎn)題型 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.