中考數(shù)學(xué)真題類編 知識點018與二次函數(shù)有關(guān)代數(shù)方面應(yīng)用

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1、▼▼▼2019屆數(shù)學(xué)中考復(fù)習資料▼▼▼ 一、選擇題 1. （2016江蘇省宿遷市，8，3分）若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點（－1，0），則方程的解為（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【逐步提示】先求出拋物線的對稱軸，再利用拋物線的軸對稱性可以求出拋物線與x軸的另一個交點坐標，兩個交點的橫坐標就是方程ax2－2ax+c=0的解， 【詳細解答】 解：拋物線的對稱軸是：直線，又∵圖象經(jīng)過（－1，0），設(shè)另一個交點為(x2，0)，則，解得x2=3，因此圖象與x軸的兩個交點坐標分別為（－1，0），（3，0），∴方程

2、ax2－2ax+c=0的解為－1，和3，故選擇C． 【解后反思】二次函數(shù)的軸對稱性是二次函數(shù)的重要特征；要熟練各種情況下對稱軸的計算： 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 對稱軸：直線 頂點式：y=a(x－h(huán))2+k(a≠0) 對稱軸：直線x=h 交點式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 對稱軸： 直線． 在二次函數(shù)中，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交點的橫坐標． 【關(guān)鍵詞】 二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)與一元二次方程；數(shù)形結(jié)合思想； 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

3、12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 二、填空題 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 3

4、3. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 三、解答題 1. （ 2016福建福州，27，13分）已知，拋物線y＝ax2＋bx＋c ( a≠0）經(jīng)過原點，頂點為A ( h，k ) （h≠0）． （1）當h＝1，k＝2時，求拋物線的解析式； （2）若拋物線y＝tx2（t≠0）也經(jīng)過A點，求a與t之間的關(guān)系式； （3）當點A在拋物線y＝x2－x上，且－2≤h＜1時，求a的取值范圍． 【逐步提示】本題綜合考查了二次函數(shù)、反比例函數(shù)和不等式等知識，解題的關(guān)鍵是會用待定系數(shù)法解決問題．（1）用頂點式解決這個問題，設(shè)拋物線為y=a（x﹣1）2+2，原點代入即可．（2）

5、由拋物線y＝ax2＋bx＋c ( a≠0）經(jīng)過原點，拋物線y＝tx2（t≠0）經(jīng)過A點，，把點的坐標代入函數(shù)表達式，列出方程組，消去k和h即可解決．（3）由點A在拋物線y＝x2－x上，得到，再由拋物線經(jīng)過原點，得到利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，分類討論可得答案. 【詳細解答】解：根據(jù)題意，設(shè)拋物線的解析式為 （1）∵ ∴ ∵拋物線經(jīng)過原點， ∴ 解得 ∴即 （2）∵拋物線經(jīng)過點， ∴ ∴ ∵拋物線經(jīng)過原點， ∴ ∵ ∴ （3）∵點在拋物線上， ∴. ∴ ∵拋物線經(jīng)過原點， ∴ ∵ ∴ 分兩類討論： ①當-2≤h≤0時，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知

6、 ∴； ②當0＜h＜1時，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知＞1, ∴＞0. 綜上所述，的取值范圍是或＞0. 【解后反思】中考中在求函數(shù)解析式時，運用待定系數(shù)法． 使用待定系數(shù)法解題的一般步驟是： (1)確定所求問題含待定系數(shù)的解析式； (2)根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程； (3)解方程或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決． 本題第（3）問也可以直接解不等式來解決.∵，∴h=，∵﹣2≤h＜1，∴﹣2≤＜1，①當1+a＞0時，即a＞﹣1時，，解得a＞0，②當1+a＜0時，即a＜﹣1時，解得a≤﹣，綜上所述，a的取值范圍a＞0或a≤﹣． 【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)的表達式；分類討論思想

7、；數(shù)形結(jié)合思想；反比函數(shù)的性質(zhì)； 2. （ 2016甘肅省天水市，24，10分）天水市某企業(yè)接到一批粽子生產(chǎn)任務(wù)，按要求在19天內(nèi)完成 ，約定這批粽子的出廠價為每只4元．為按時完成任務(wù)，該企業(yè)招收了新工人，設(shè)新工人李紅第x天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為y只，y與x滿足如下關(guān)系． （1）（3分）李紅第幾天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為260只？ （2）（7分）如圖，設(shè)第x天每只粽子的成本是p元，p與x之間的關(guān)系可用圖中的函數(shù)圖像來刻畫，若李紅第x天創(chuàng)造的利潤為w元，求w與x之間的函數(shù)表達式，并求出第幾天的利潤最大？最大利潤是多少元？（利潤＝出廠價－成本） O x（天） P（元/只） 3 2 9 1

8、9 【逐步提示】本題是分段函數(shù)應(yīng)用題，考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，需要利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的增減性求最值，解題的關(guān)鍵是讀懂題目信息，列出函數(shù)關(guān)系式．具體地，（1）把y＝260代入，解方程即可求得．（2）根據(jù)圖像，運用待定系數(shù)法求得p與x之間的函數(shù)表達式，然后根據(jù)“利潤＝出廠價－成本”得“w＝(4－p)y”，分情況代入數(shù)或式整理即得w與x之間的函數(shù)表達式，再根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的增減性求解最大利潤． 【詳細解答】解：（1）將y＝260代入y＝32x，得260＝32x，解得x＝． 此時，x值不滿足0≤x≤5，故這種情況不存在． ∴5＜x≤19時，則有20x＋60＝2

9、60，解得x＝10． ∴李紅第10天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為260只． （2）由圖可知p1＝2(0≤x≤9)． 設(shè)p2＝kx＋b(9≤x≤19)，將(9，2)，(19，3)代入，得 ，解得． ∴p2＝0.1x＋1.1(9≤x≤19)． 當0≤x≤5時，w＝(4－2)32x＝64x，由一次函數(shù)的性質(zhì)，知當x＝5時，w最大＝320． 當5＜x≤9時，w＝(4－2)(20x＋60)＝40x＋120，由一次函數(shù)的性質(zhì)，知當x＝9時，w最大＝480． 當9＜x≤19時，w＝[4－(0.1x＋1.1)](20x＋60)＝－2x2＋52x＋174＝－2(x－13)2＋512，由二次函數(shù)的性質(zhì)，知當x

10、＝13時，w最大＝512． ∴w與x之間的函數(shù)表達式為，由320＜480＜512，知第13天時利潤最大，最大利潤是512元． 【解后反思】此題第（1）問不難，難在解答第（2）問，需要分情況討論．根據(jù)已知條件中的0≤x≤5，5＜x≤19，及由函數(shù)圖像分析得出的0≤x≤9，9≤x≤19這四個自變量的取值范圍，再結(jié)合利潤求解公式就可得出0≤x≤5，5＜x≤9，9＜x≤19這三種利潤計算情況． 【關(guān)鍵詞】解一元一次方程；一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)；實際問題；二次函數(shù)的表達式；二次函數(shù)的性質(zhì)；分類討論思想；數(shù)形結(jié)合思想；方程與函數(shù)思想；待定系數(shù)法；配方法． 3. （2016廣東省廣州市，24，

11、14分）已知拋物線y=mx2+(1－2m)x+1－3m與x軸相交于不同的兩點A，B． (1)求m的取值范圍； （2）證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標軸上的一點P，并求出點P的坐標； （3）當＜m≤8時，由（2）求出的點P和點A，B構(gòu)成的△ABP的面積是否有最值？若有，求出最值及相對應(yīng)的m值；若沒有，請說明理由． 【逐步提示】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，可直接求得m的取值范圍；（2）拋物線過定點，也就是說把該定點坐標代入解析式時不受m取值的影響，所以只要含m的項其和為0即可，這樣先求得所過定點的橫坐標x的值，然后再代入解析式計算縱坐標y的值，不在坐標軸上的點即為所求

12、的點P；（3）△ABP的AB邊上的高即為點P的縱坐標4，故在＜m≤8的范圍內(nèi)，求得線段AB的值，再利用三角形面積公式易于得到其最值，線段AB的值可通過解一元二次方程直接得到． 【詳細解答】解：（1）∵y=mx2+(1－2m)x+1－3m是二次函數(shù)，∴m≠0．∵拋物線與x軸相交于不同的兩點，∴△=(1－2m)2－4m(1－3m)=16m2－8m+1=(4m－1)2＞0，∴4m－1≠0，解得m≠． 綜上可知，m的取值范圍是m≠0，且m≠． （2）y=mx2+(1－2m)x+1－3m=mx2+x－2mx+1－3m=m(x2－2x－3)+x+1，故只要x2－2x－3=0，那么y的值便與m的取值無

13、關(guān)，也就是說拋物線必過定點．解x2－2x－3=0，得x1=3，x2=－1． 當x=3時，y=9m+3－6m+1－3m=4，即P(3，4)； 當x=－1時，y=m－1+2m+1－3m=0，點(－1，0)是x軸上的一點，不合題意，舍去． ∴該拋物線一定經(jīng)過非坐標軸上的一點P，點P的坐標為(3，4)． （3））一元二次方程mx2+(1－2m)x+1－3m=0中，由求根公式，得 ∴x=，即x=，∴x1=3－，x2=－1． 當＜m≤8時，3－＞－1，∴AB=3－－(－1)=4－； S△ABP=(4－)4=2(4－)． ∵＜m≤8，∴≤＜4， ∴當取最小值時，2(4－)有最大值， 即

14、△ABP的面積有最大值，此時m=8． 【解后反思】（1）二次函數(shù)的y=ax2+bx+c的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點．這對應(yīng)著一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三種情況：沒有實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，有兩個不等的實數(shù)根． （2）以形定數(shù)，拋物線與x軸交點的橫坐標是對應(yīng)的一元二次方程的兩實根；以數(shù)定形，求出方程ax2+bx+c=0的兩實根，便得到拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點的橫坐標．特別地，一元二次方程ax2+bx+c=m的解，即為二次函數(shù)y=ax2+bx+c當y=h時的兩點的橫坐標． （3）函數(shù)圖象過定點問題，一般解決方法是函數(shù)解析式中

15、所含參數(shù)的項的和為0時，則函數(shù)值不受字母參數(shù)的影響，據(jù)此可求定點的坐標． （3）拋物線中三角形的最值問題，一般先設(shè)出動點的坐標，然后用其表示相關(guān)線段的長度，再利用三角形的面積公式構(gòu)造新的函數(shù)關(guān)系式確定最值． 本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根的判別式以及最值問題等知識；本題難度較大，根據(jù)題意得出點P的坐標是解決問題的關(guān)鍵 【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)的解析式；二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；解一元二次方程；一元二次方程根的判別式；點的坐標；完全平方式；三角形的面積 4. （ 2016湖南省郴州市，26，12分）如圖1，矩形ABCD中，AB＝7cm，

16、AD＝4cm，點E為AD上一定點，點F為AD延長線上一點，且DF＝acm，點P從A點出發(fā)，沿AB邊向點B以2cm／s的速度運動．連結(jié)PE，設(shè)點P運動的時間為ts，△PAE的面積為y．當0≤t≤1時，△PAE的面積y（）關(guān)于時間t（s）的函數(shù)圖象如圖2所示．連結(jié)PF，交CD于點H． （1）t的取值范圍為 ．AE＝ cm； （2）如圖3，將△HDF沿線段DF進行翻折，與CD的延長線交于點M，連結(jié)AM．當a為何值時，四邊形PAMH為菱形？并求出此時點P的運動時間t； （3）如圖4，當點P出發(fā)1s后，AD邊上另一動點Q從E點出發(fā)，沿ED

17、邊向點D以1cm／s的速度運動．如果P、Q兩點中的任意一點到達終點后，另一點也停止運動．連結(jié)PQ、QH，若cm，請問△PQH能否構(gòu)成直角三角形？若能，請求出點P的運動時間t；若不能，請說明理由． 【逐步提示】本題考查的是矩形為背景下的動點問題，翻折問題．解題的關(guān)鍵是巧妙的運用相似三角形，尋找線段間的數(shù)量關(guān)系和比例關(guān)系．（1）由于點P在AB邊上運動，且速度為2cm／s，即0≤2t≤7，可以確定t的取值范圍；結(jié)合0≤t≤1時，圖2的函數(shù)圖象，能得到y(tǒng)與t的函數(shù)關(guān)系式，因為，即y＝，可以求出AE的長． （2）將△HDF沿線段DF進行翻折，可得到HD＝DM，若四邊形PAMH為菱形，則有AP＝

18、AM＝MH＝2DM，因為AD＝4，∠ADM＝90，由勾股定理可以求出DM，即可求出AP，又因為AP＝2t，即可列式求出t值． （3）因為△PQH若構(gòu)成直角三角形，則可能有∠PQH＝90，或∠PHQ＝90，每種情況下都可構(gòu)造“一線三等角”證明相似．由于Q比P晚走1s，所以EQ＝t－1，所以QD表示為4－t，因為知道cm，所以DH也可以用“A”字型相似表示出來，寫出正確的比例式就可計算出每種情況下的t值了． 【詳細解答】解：（1）∵P在邊AB上運動，速度為2cm／s，∴0≤2t≤7，∴0≤t≤； ∵由圖2可得當0≤t≤1時，y＝t，∵，∴y＝，即t＝，∴AE＝1． （2）∵將△HDF

19、沿線段DF進行翻折得到△MDF，∴HD＝DM＝，又∵四邊形PAMH為菱形，∴AP＝AM＝MH＝2DM，∵AD＝4，∠ADM＝90，∴在Rt△ADM中，，∴，∴DM＝，∴AP＝2t＝， ∴t＝． （3）∵P先出發(fā)1s后Q再從E出發(fā)，∴AP＝2t，EQ＝t－1，∴QD＝4－1－（t－1）＝4－t．∵四邊形ABCD是矩形，AB∥CD，∴△FDH∽△FAP，∴，∴， ∴．由題意可知，若△PQH為直角三角形，則有兩種情況：∠PQH＝90，或∠PHQ＝90．當∠PQH＝90時，∵∠A＝∠QDH＝90，∴∠APQ＋∠AQP＝90，∵∠AQP＋∠DQH＝90，∴∠APQ＝∠DQH，∴△APQ∽△DQH

20、，∴，∴，∴t＝2；．當∠PHQ＝90時，過P作PM⊥CD于點M，同理可證△PMH∽△HDQ，∴ ，∵PM＝AD＝4，∴，解得．∴當t＝2或時△PQH為直角三角形． 【解后反思】動點問題本身就是初中數(shù)學(xué)的一個難點，根據(jù)運動的路徑判斷取值范圍較為常見，要認真審題，看在哪些線段上運動，由動點和函數(shù)結(jié)合的題，往往求出的解析式是分段函數(shù)．此題還體現(xiàn)了一線三等角的構(gòu)造，這是解決相似三角形時常用的方法．體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想． 【關(guān)鍵詞】 菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；動點題型 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.