【走向高考】全國(guó)通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題20 概率含解析

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1、【走向高考】(全國(guó)通用)2016高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題20 概率(含解析)一、選擇題1(文)(2015廣東文,7)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有1件次品的概率為()A0.4 B0.6C0.8 D1答案B解析5件產(chǎn)品中有2件次品,記為a,b,有3件合格品,記為c,d,e,從這5件產(chǎn)品中任取2件,有10種,分別是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6種,分別是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),設(shè)事件A

2、“恰有一件次品”,則P(A)0.6,故選B(理)(2015太原市一模)某袋中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6的6個(gè)小球(小球除編號(hào)外完全相同),甲先從袋中抽取一個(gè)球,記下編號(hào)后放回,乙再?gòu)拇忻鲆粋€(gè)球,記下編號(hào),則甲、乙兩人所摸出球的編號(hào)不同的概率是()A BC D答案C解析記甲、乙各摸一次得的編號(hào)為(x,y),則共有36個(gè)不同的結(jié)果,其中甲、乙摸出球的編號(hào)相同的結(jié)果有6個(gè),故所求概率P1.方法點(diǎn)撥1.用古典概型概率計(jì)算公式P求概率,必須先判斷事件的等可能性2當(dāng)某事件含有的基本事件情況比較復(fù)雜,分類較多時(shí),可考慮用對(duì)立事件概率公式求解3要熟練掌握列舉基本事件的方法,當(dāng)古典概型與其他知識(shí)結(jié)合在一

3、起考查時(shí),要先依據(jù)其他知識(shí)點(diǎn)的要求求出所有可能的事件及基本事件數(shù),再計(jì)算2(文)若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸,x2y21所表示的平面區(qū)域?yàn)镹,現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域M內(nèi)拋一粒豆子,則豆子落在區(qū)域N內(nèi)的概率為()ABCD答案A解析如圖,不等式組表示的平面區(qū)域M為OAB,A(1,1),B(3,3),SOAB3,區(qū)域N在M中的部分面積為,所求概率P.(理)如圖,在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率為()A B C D答案A解析S陰2(eex)dx2(exex)|2,S正方形e2,P.方法點(diǎn)撥1.當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí),應(yīng)考慮使用幾何

4、概型求解;2利用幾何概型求概率時(shí),關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的測(cè)度的計(jì)算,有時(shí)需要設(shè)出變量,在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域3幾何概型與其他知識(shí)結(jié)合命題,應(yīng)先依據(jù)所給條件轉(zhuǎn)化為幾何概型,求出區(qū)域的幾何測(cè)度,再代入公式求解3(文)在長(zhǎng)為10cm的線段AB上任取一點(diǎn)C,現(xiàn)作一矩形,鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC、CB的長(zhǎng),則該矩形面積小于24cm2的概率為()A B C D答案D解析設(shè)線段AC的長(zhǎng)為xcm,其中0x10,則線段CB的長(zhǎng)為(10x)cm,那么矩形的面積為x(10x)cm2,由x(10x)24,解得x6.又0x10,所以0x4或6x10,故該矩形面積小于24cm2的概率為,故選D

5、(理)在區(qū)間1,6上隨機(jī)取一實(shí)數(shù)x,使得2x2,4的概率為()ABCD答案B解析由2x2,4知1x2,P(2x2,4).4(文)甲、乙、丙、丁四人排成一行,則甲、乙都不在兩端的概率為()A B C D答案B解析甲、乙、丙、丁四人站成一排有24種情形,其中甲、乙都不在兩邊有4種情形:丙甲乙丁,丙乙甲丁,丁甲乙丙,丁乙甲丙因此所求概率為P.(理)在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)中,有編號(hào)為1,2,3,18的18名火炬手若從中任選3人,則選出的火炬手的編號(hào)能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為()A B C D答案D解析設(shè)選出的三人編號(hào)為a3,a,a3,則,4a15,共12種,從18人中選3人有C種選法,P.5

6、(文)扇形AOB的半徑為1,圓心角為90.點(diǎn)C、D、E將弧AB等分成四份連接OC、OD、OE,從圖中所有的扇形中隨機(jī)取出一個(gè),面積恰為的概率是()A B C D答案A解析所有的扇形共10個(gè),其中面積為的扇形共有3個(gè),故所求概率為P.(理)(2015太原二模)已知實(shí)數(shù)a,b滿足x1,x2是關(guān)于x的方程x22xba30的兩個(gè)實(shí)根,則不等式0x11x2成立的概率是()A B C D答案A解析設(shè)f(x)x22xba3,方程f(x)0的兩實(shí)根x1,x2滿足0x11x2,作出表示的平面為正方形OABC,其中滿足的部分如圖中陰影部分所示,陰影部分的面積S12211,正方形的面積S4416,故所求概率P.易錯(cuò)

7、分析本題易發(fā)生兩個(gè)錯(cuò)誤:一是不能對(duì)方程x22xba30的兩根x1,x2滿足0x11x2正確地進(jìn)行轉(zhuǎn)化;二是無(wú)法合理地求解幾何概型的測(cè)度事實(shí)上,對(duì)于幾何概型的問(wèn)題,關(guān)鍵是對(duì)測(cè)度的正確求解糾錯(cuò)的方法有:加強(qiáng)對(duì)幾何概型測(cè)度的理解與求解;平時(shí)注意積累解決幾何概型的方法,如長(zhǎng)度法、面積法、體積法等6(文)一個(gè)正方體玩具,其各面標(biāo)有數(shù)字3、2、1、0、1、2,隨機(jī)投擲一次,將其向上一面的數(shù)字記作m,則函數(shù)f(x)x3mx在(,)上單調(diào)的概率為()A B C D答案D解析f (x)3x2m,當(dāng)m0時(shí),f (x)0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)m0時(shí),令f (x)0得,x,f(x)在(,)上單調(diào)增加, b,b c時(shí)稱

8、為“凹數(shù)”(如213,312等),若a、b、c1,2,3,4且a、b、c互不相同,則這個(gè)三位數(shù)是“凹數(shù)”的概率是()A B C D答案C解析解法1:任取3個(gè)數(shù),共能構(gòu)成24個(gè)三位數(shù),A“該數(shù)為凹數(shù)”,則A213,214,312,314,412,412,324,423共包括8個(gè)基本事件,P(A).解法2:從4個(gè)不同數(shù)中任取3個(gè),這3個(gè)數(shù)字共組成6個(gè)不同三位數(shù),其中凹數(shù)有2個(gè),P.7有一個(gè)容量為66的樣本,數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下:10.5,14.5)214.5,18.5)418.5,22.5)922.5,26.5)1826.5,30.5)11 30.5,34.5)1234.5,38.5)838

9、.5,42.5)2根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì),數(shù)據(jù)落在30.5,42.5)內(nèi)的概率約是()A B C D答案B解析由已知可得,30.5,42.5)的數(shù)據(jù)共有22個(gè),所以數(shù)據(jù)落在30.5,42.5)內(nèi)的概率約是,選B8(文)(2014陜西理,6)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中,任取2個(gè)點(diǎn),則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為()A B C D答案C解析如圖,基本事件共有C10個(gè),小于正方形邊長(zhǎng)的事件有OA,OB,OC,OD共4個(gè),P1.(理)從1(m、n1,2,3)所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線)方程中任取一個(gè),則此方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程的概率為()A B C D答案B解析當(dāng)m,n

10、1,2,3時(shí),1所表示的圓錐曲線(橢圓、雙曲線)共有7個(gè),(m,n)的取值分別為(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2),(2,1),(3,1),其中表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程有4個(gè),(m,n)的取值分別為(3,2),(3,3),(2,2),(2,3),故所求的概率為,選B二、填空題9(文)在三棱錐的六條棱中任選兩條,則這兩條棱所在直線為異面直線的概率是_答案解析從六條棱中任選兩條有15種可能,其中構(gòu)成異面直線的有3種情況,故所求概率為P.(理)從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條,這兩條直線成60角的概率為_答案解析六個(gè)面的對(duì)角線共有12條,從中任取兩條共有C66種不同的取法

11、在正方體ABCDA1B1C1D1中,與面對(duì)角線AC成60角的面對(duì)角線有B1C,BC1,A1D,AD1,AB1,A1B,DC1,D1C,共8條,同理與DB成60角的面對(duì)角線也有8條,因此一個(gè)面上的對(duì)角線與其他四個(gè)相鄰面上的對(duì)角線成60角的情形共有16對(duì),故6個(gè)面共有16696對(duì),因?yàn)槊繉?duì)被計(jì)算了2次,因此共有9648對(duì),所求概率P.方法點(diǎn)撥解答概率與其他知識(shí)交匯的問(wèn)題,要通過(guò)審題,將所要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的概率模型,然后按相應(yīng)公式計(jì)算概率,轉(zhuǎn)化時(shí)要特別注意保持等價(jià)10(文)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中,其中AB2,BC1,則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是_答案解析考查了

12、幾何概型總面積212.半圓面積12.p.(理)(2015呼和浩特第二次調(diào)研)在區(qū)間(0,)上任取一個(gè)數(shù)x,使得tanx0cosxdx成立的概率是_答案解析求出定積分后結(jié)合三角函數(shù)的圖象解不等式因?yàn)?cosxdxsinx|01,所以原不等式即為tanx1,x(0,),解得0x0且1,即2ba.基本事件共有36個(gè);所求事件包含基本事件:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(6,3)所求事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是9所求事件的概率為P.(2)由(1)知當(dāng)且僅當(dāng)2b a且a0時(shí),函數(shù)f(x)ax24bx1在區(qū)間1,)上為增函數(shù)依條件可知試驗(yàn)的全部

13、結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋硎镜娜切蜲AB,其中,O(0,0),A(8,0),B(0,8),構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿切蜲AC部分由得交點(diǎn)C坐標(biāo)為.故所求事件的概率為P.13(文)(2015石家莊市一模)某商店計(jì)劃每天購(gòu)進(jìn)某商品若干件,商店每銷售一件該商品可獲利潤(rùn)50元若供大于求,剩余商品全部退回,但每件商品虧損10元,若供不應(yīng)求,則從外部調(diào)劑,此時(shí)每件調(diào)劑商品可獲利潤(rùn)30元(1)若商店一天購(gòu)進(jìn)該商品10件,求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:件,nN)的函數(shù)解析式;(2)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位:件),整理得下表:日需求量89101112頻數(shù)91115105若商店一天

14、購(gòu)進(jìn)10件該商品,以50天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,求當(dāng)天的利潤(rùn)在區(qū)間400,500的概率解析(1)當(dāng)日需求量n10時(shí),利潤(rùn)為y5010(n10)3030n200;當(dāng)日需求量n10時(shí),利潤(rùn)為y50n(10n)1060n100所以,y關(guān)于日需求量n函數(shù)關(guān)系式為:y.(2)50天內(nèi)有9天獲得的利潤(rùn)380元,有11天獲得的利潤(rùn)為440元,有15天獲得利潤(rùn)為500元,有10天獲得的利潤(rùn)為530元,有5天獲得的利潤(rùn)為560元若利潤(rùn)在區(qū)間400,550時(shí),日需求量為9件、10件、11件該商品,其對(duì)應(yīng)的頻數(shù)分別為11天、15天、10天則利潤(rùn)區(qū)間400,550的概率為:p.(理)(2014東

15、北三省四市聯(lián)考)太陽(yáng)島公園引進(jìn)了兩種植物品種甲與乙,株數(shù)分別為18與12,這30株植物的株高編寫成莖葉圖如圖所示(單位:cm),甲乙9866516297654217377743218157820191572017若這兩種植物株高在185cm以上(包括185cm)定義為“優(yōu)秀品種”,株高在185cm以下(不包括185cm)定義為“非優(yōu)秀品種”(1)求乙品種的中位數(shù);(2)在以上30株植物中,如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀品種”和“非優(yōu)秀品種”中抽取5株,再?gòu)倪@5株中選2株,那么至少有一株是“優(yōu)秀品種”的概率是多少?(3)若從所有“優(yōu)秀品種”中選3株,用X表示3株中含甲類“優(yōu)秀品種”的株數(shù),試寫出X

16、的分布列,并求X的數(shù)學(xué)期望解析(1)乙的中間有兩個(gè)數(shù)187和188,因此乙的中位數(shù)為187.5cm.(2)根據(jù)莖葉圖知“優(yōu)秀品種”有12株,“非優(yōu)秀品種”有18株,用分層抽樣的方法抽取,每株被抽中的概率是,故樣本中“優(yōu)秀品種”有122(株),“非優(yōu)秀品種”有183(株)用事件A表示“至少有一株優(yōu)秀品種被選中”,則P(A)11,因此從5株植物中選2株,至少有一株“優(yōu)秀品種”的概率是.(3)依題意,一共有12株“優(yōu)秀品種”,其中乙種植物有8株,甲種植物有4株,則X的所有可能取值為0,1,2,3,P(X0);P(X1);P(X2);P(X3).因此X的分布列如下:X0123P所以E(X)01231.

17、14(文)某高中社團(tuán)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐,對(duì)25,55歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次是否開通“微博”的調(diào)查,若開通“微博”的稱為“時(shí)尚族”,否則稱為“非時(shí)尚族”通過(guò)調(diào)查分別得到如圖1所示統(tǒng)計(jì)表和如圖2所示的各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖.組數(shù)分組時(shí)尚族的人數(shù)占本組的頻率第一組25,30)1200.6第二組30,35)195p第三組35,40)1000.5第四組40,45)a0.4第五組45,50)300.3第六組50,55150.3請(qǐng)完成以下問(wèn)題:(1)補(bǔ)全頻率直方圖,并求n,a,p的值;(2)從40,45)歲和45,50)歲年齡段的“時(shí)尚族”中采用分層抽樣法抽取6人參加網(wǎng)絡(luò)時(shí)尚達(dá)人大賽,其中選取2人作為

18、領(lǐng)隊(duì),求選取的2名領(lǐng)隊(duì)年齡在40,45)歲的概率解析(1)第二組的頻率為1(0.040.040.030.020.01)50.3,所以高為0.06.頻率直方圖如下:第一組的人數(shù)為200,頻率為0.0450.2,所以n1000,所以第二組的人數(shù)為10000.3300,p0.65,第四組的頻率為0.0350.15,第四組的人數(shù)為10000.15150,所以a1500.460.(2)因?yàn)?0,45)歲與45,50)歲年齡段的“時(shí)尚族”的比值為603021,所以采用分層抽樣法抽取6人,40,45)歲中有4人,45,50)歲中有2人記a1、a2、a3、a4為40,45)歲中抽得的4人,b1、b2為45,5

19、0)歲中抽得的2人,全部可能的結(jié)果有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共15個(gè),選取的兩名領(lǐng)隊(duì)都在40,45)歲的有6種,所以所求概率為P.(理)(2014湖北七市聯(lián)考)小明家訂了一份報(bào)紙,寒假期間他收集了每天報(bào)紙送達(dá)時(shí)間的數(shù)據(jù),并繪制成頻率分布直方圖如圖所示(1)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息,寫出眾數(shù)x0;(2)小明的父親上班離家的時(shí)間y在上午700至730之間,而送報(bào)人每天在x0時(shí)刻前后半小時(shí)內(nèi)把報(bào)紙送達(dá)(每個(gè)時(shí)間點(diǎn)送達(dá)的可能性相等)求小明的父親在上班離家前能收到報(bào)紙(稱為事件A)的概率;求小明的父親周一至周五在上班離家前能收到報(bào)紙的天數(shù)X的數(shù)學(xué)期望解析(1)x0700.(2)設(shè)報(bào)紙送達(dá)時(shí)間為x,則小明父親上班前能收到報(bào)紙等價(jià)于由圖可知,所求概率為P1.X服從二項(xiàng)分布B(5,),故E(X)5(天)

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