2020數(shù)學(xué)學(xué)案同步精致講義選修21北師大版：第二章　空間向量與立體幾何 167;2 空間向量的運(yùn)算一 Word版含答案

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1、北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 2　空間向量的運(yùn)算(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解空間向量的加減法及運(yùn)算律.2.理解空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律，并掌握共線向量定理． 知識點(diǎn)一　空間向量的加減法及運(yùn)算律 思考　下面給出了兩個(gè)空間向量a，b，如何作出b＋a，b－a? 答案　如圖，空間中的兩個(gè)向量a，b相加時(shí)，我們可以先把向量a，b平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)作＝a，＝b，則＝＋＝a＋b，＝－＝b－a. 梳理　類似于平面向量，可以定義空間向量的加法和減法運(yùn)算． ＝＋＝a＋b， ＝－＝a－b 知識點(diǎn)二　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律 定義 與平面向量一

2、樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘 幾何 定義 λ＞0 λa與向量a的方向相同 λa的長度是a的長度的|λ|倍 λ＜0 λa與向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 運(yùn)算律 分配律 λ(a＋b)＝λa＋λb 結(jié)合律 λ(μa)＝(λμ)a 注：在平面中，我們討論過兩個(gè)向量共線的問題，在空間中也有相應(yīng)的結(jié)論． 空間兩個(gè)向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb. 1．若a＋b＝0，則a＝b＝0.() 2．設(shè)λ∈R，若a＝λb，則a與b共線．() 3.－＝.() 4．直線l的方向向量為

3、a，若a∥平面α，則l∥平面α.() 類型一　空間向量的加減運(yùn)算 例1　如圖，已知長方體ABCD－A′B′C′D′，化簡下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量． (1)－； (2)＋＋. 考點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算 解　(1)－＝－＝＋＝. (2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝. 向量，如圖所示． 引申探究 利用本例題圖，化簡＋＋＋. 解　結(jié)合加法運(yùn)算 ＋＝，＋＝，＋＝0. 故＋＋＋＝0. 反思與感悟　(1)首尾順次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，即＋＋＋…＋＝. (2)首尾順次相接的若干向量若構(gòu)成

4、一個(gè)封閉圖形，則它們的和為0.如圖，＋＋＋＋＋＋＋＝0. 跟蹤訓(xùn)練1　在如圖所示的平行六面體中，求證：＋＋＝2. 考點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用 證明　∵平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形， ∴＝＋，＝＋，＝＋， ∴＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝2(＋＋)． 又∵＝，＝， ∴＋＋＝＋＋＝＋＝. ∴＋＋＝2. 類型二　共線問題 例2　(1)已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D (2)設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的向量

5、，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，實(shí)數(shù)k＝________. 考點(diǎn)　線線、線面平行的判斷 題點(diǎn)　線線平行的判斷 答案　(1)A　(2)1 解析　(1)因?yàn)椋剑?a＋6b＝3(a＋2b)＝3，故∥，又與有公共點(diǎn)A， 所以A，B，D三點(diǎn)共線． (2)因?yàn)椋剑?e1＋(k＋6)e2， 且與共線，故＝x， 即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2， 故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0， 又∵e1，e2不共線， ∴解得故k的值為1. 反思與感悟　(1)判斷向量共線的策略 ①熟記共線向量的充要條件：(ⅰ)若a∥b，b

6、≠0，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使a＝λb；(ⅱ)若存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，b≠0，則a∥b. ②判斷向量共線的關(guān)鍵：找到實(shí)數(shù)λ. (2)證明空間三點(diǎn)共線的三種思路 對于空間三點(diǎn)P，A，B可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線． ①存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ成立． ②對空間任一點(diǎn)O，有＝＋t(t∈R)． ③對空間任一點(diǎn)O，有＝x＋y(x＋y＝1)． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，請判斷向量與＋是否共線？ 考點(diǎn)　線線、線面平行的判斷 題點(diǎn)　線線平行的判斷 解　設(shè)AC的中點(diǎn)為G，連接EG，F(xiàn)G， ∴＝，＝， 又∵，，共面， ∴＝＋＝＋＝

7、(＋)， ∴與＋共線． 類型三　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及應(yīng)用 例3　如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)＝a，＝b，＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3)＋. 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的線性運(yùn)算 解　(1)＝＋ ＝(＋)＋＝a＋c＋b. (2)＝＋＝－＋＋ ＝－a＋b＋c. (3)＋＝(＋＋)＋(＋) ＝＋＋＋＋ ＝＋＋＝a＋b＋c. 引申探究 若把本例中“P是C1D1的中點(diǎn)”改為“P在線段C1D1上，且＝”，其他條件不變，如何表示？ 解?。剑剑絘＋c＋b

8、. 反思與感悟　利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧 (1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量． (2)明確目標(biāo)：在化簡過程中要有目標(biāo)意識，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F(xiàn)在對角線A1C上，且＝. 求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線． 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共線向量定理及應(yīng)用 證明　設(shè)＝a，＝b，＝c. 因?yàn)椋?，＝， 所以＝，＝， 所以＝＝b， ＝(－)＝(＋－) ＝a＋b－c， 所以＝－＝a－b－c ＝. 又＝＋＋＝

9、－b－c＋a＝a－b－c， 所以＝， 又因?yàn)榕c有公共點(diǎn)E，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線． 1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為的共有(　　) ①(＋)＋； ②(＋)＋； ③(＋)＋； ④(＋)＋. A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè) 考點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算 答案　D 解析　①(＋)＋＝＋＝； ②(＋)＋＝＋＝； ③(＋)＋＝＋＝； ④(＋)＋＝＋＝，故選D. 2．設(shè)有四邊形ABCD，O為空間任意一點(diǎn)，且＋＝＋，則四邊形ABCD是(　　) A．平行四邊形 B．空間四邊形 C．等腰

10、梯形 D．矩形 考點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用 答案　A 解析　由＋＝＝＋＝，得＝，故四邊形ABCD為平行四邊形，故選A. 3．下列條件，能說明空間不重合的A，B，C三點(diǎn)共線的是(　　) A.＋＝ B.－＝ C.＝ D．||＝|| 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共線向量定理及應(yīng)用 答案　C 解析　由＝知與共線，又因有一共同的點(diǎn)B，故A，B，C三點(diǎn)共線． 4．若非零空間向量e1，e2不共線，則使2ke1－e2與e1＋2(k＋1)e2共線的k的值為________． 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共線向量定理及應(yīng)用 答案?。? 解

11、析　若2ke1－e2與e1＋2(k＋1)e2共線， 則2ke1－e2＝λ[e1＋2(k＋1)e2]， ∴∴k＝－. 5．化簡2＋2＋3＋3＋＝________. 考點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算 答案　0 解析　2＋2＋3＋3＋＝2＋2＋2＋2＋＋＋＝0. (1)空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧 ①巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接． ②巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果． (2)證

12、明(或判斷)三點(diǎn)A，B，C共線時(shí)，只需證明存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ(或＝λ)即可，也可用“對空間任意一點(diǎn)O，有＝t＋(1－t)”來證明三點(diǎn)A，B，C共線． 一、選擇題 1．化簡－＋所得的結(jié)果是(　　) A. B. C．0 D. 考點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算 答案　C 解析?。剑剑?，故選C. 2．空間任意四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，則＋－等于(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算 答案　D 3．已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，設(shè)G是CD的中點(diǎn)，則＋(＋)等于(　　)

13、A. B. C. D. 考點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算 答案　A 解析　如圖，因?yàn)椋?， 所以＋(＋)＝＋＝. 4．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b＋c D．－a－b＋c 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的線性運(yùn)算 答案　A 解析　＝＋＝＋(＋) ＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c. 5．如圖所示，在四面體A－BCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，記＝a，＝b，＝c，則等于(　　) A．a(chǎn)－b＋c

14、 B．－a＋b＋c C．a(chǎn)－b＋c D．－a＋b＋c 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的線性運(yùn)算 答案　B 解析　連接AE(圖略)， ∵E是CD的中點(diǎn)，＝b，＝c， ∴＝(＋)＝(b＋c)． 在△ABE中，＝＋＝－＋， 又＝a，∴＝－a＋(b＋c)＝－a＋b＋c. 6．設(shè)點(diǎn)M是△ABC的重心，記＝a，＝b，＝c，且a＋b＋c＝0，則等于(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的線性運(yùn)算 答案　D 解析　設(shè)D是BC邊的中點(diǎn)， ∵M(jìn)是△ABC的重心， ∴＝.而＝(＋)＝(c－b)， ∴＝(c－b)． 7．設(shè)空間四點(diǎn)

15、O，A，B，P滿足＝m＋n，其中m＋n＝1，則(　　) A．點(diǎn)P一定在直線AB上 B．點(diǎn)P一定不在直線AB上 C．點(diǎn)P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上 D．與的方向一定相同 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共線向量定理及應(yīng)用 答案　A 解析　已知m＋n＝1，則m＝1－n， ＝(1－n)＋n＝－n＋n， 即－＝n(－)，即＝n. 因?yàn)椤?，所以和共線， 又AP和AB有公共點(diǎn)A，所以點(diǎn)A，P，B共線，故選A. 二、填空題 8．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，化簡－＋－的結(jié)果是________． 考點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算 答

16、案　2 解析?。剑剑?. 9．在空間四邊形ABCD中，連接BD，若△BCD是正三角形，且E為其中心，則＋－－的化簡結(jié)果為________． 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的線性運(yùn)算 答案　0 解析　連接DE并延長交BC于點(diǎn)F，連接AF(圖略)， 則＝， ∴＋－－ ＝＋－＋ ＝＋＋＝0. 10．若G為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足＋＋＝0，則G為△ABC的________．(填“外心”“內(nèi)心”“垂心”“重心”) 考點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量的加減運(yùn)算的應(yīng)用 答案　重心 解析　因?yàn)椋剑剑? 所以AG所在直線的延長線為邊BC上的中線，同理

17、，得BG所在直線的延長線為AC邊上的中線，故G為其重心． 11．已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對空間任意一點(diǎn)O，有＝x＋＋，則x的值為________． 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共面向量定理及應(yīng)用 答案　 解析　∵＝x＋＋， 且M，A，B，C四點(diǎn)共面， ∴x＋＋＝1， ∴x＝. 三、解答題 12．如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點(diǎn)M，N分別在對角線BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求證：MN∥平面CDE. 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間向量共面定理及應(yīng)用 證明　因?yàn)镸在BD上， 且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理

18、＝＋. 所以＝＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝＋＝＋. 又與不共線， 根據(jù)共面向量定理可知，，共面． 因?yàn)镸N不在平面CDE內(nèi)， 所以MN∥平面CDE. 四、探究與拓展 13．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，則|a＋b＋c|＝________. 答案　2 14．設(shè)e1，e2，e3三向量不共面，而＝e1＋2e2＋3e3，＝2e1＋λe2＋μe3，＝3λe1－e2－2μe3，如果A，B，D三點(diǎn)共線，則λ，μ的值為________． 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共線向量定理及應(yīng)用 解析?。剑?2e1＋λe2＋μe3)＋(3λe1－e2－2μe3)＝(2＋3λ)e1＋(λ－1)e2－μe3. ∵A，B，D三點(diǎn)共線， ∴與是共線向量． ∴存在實(shí)數(shù)k，使得＝k，即 e1＋2e2＋3e3＝k[(2＋3λ)e1＋(λ－1)e2－μe3]． ∴(1－2k－3kλ)e1＋(2－kλ＋k)e2＋(3＋kμ)e3＝0. ∵e1，e2，e3三向量不共面， ∴1－2k－3kλ＝0,2－kλ＋k＝0,3＋kμ＝0. 將k＝－代入前兩式， 可得 解得λ＝－1，μ＝3.