2020數(shù)學學案同步精致講義選修21北師大版：第二章　空間向量與立體幾何 167;2 空間向量的運算一 Word版含答案

北師大版2019-2020學年數(shù)學精品資料2空間向量的運算(一)學習目標1.了解空間向量的加減法及運算律.2.理解空間向量的數(shù)乘運算及運算律，并掌握共線向量定理知識點一空間向量的加減法及運算律思考下面給出了兩個空間向量a，b，如何作出ba，ba?答案如圖，空間中的兩個向量a，b相加時，我們可以先把向量a，b平移到同一個平面內(nèi)，以任意點O為起點作a，b，則ab，ba.梳理類似于平面向量，可以定義空間向量的加法和減法運算ab，ab知識點二空間向量的數(shù)乘運算及運算律定義與平面向量一樣，實數(shù)與空間向量a的乘積a仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘幾何定義0a與向量a的方向相同a的長度是a的長度的|倍0a與向量a的方向相反0a0，其方向是任意的運算律分配律(ab)ab結(jié)合律(a)()a注：在平面中，我們討論過兩個向量共線的問題，在空間中也有相應(yīng)的結(jié)論空間兩個向量a與b(b0)共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)，使得ab.1若ab0，則ab0.()2設(shè)R，若ab，則a與b共線()3.()4直線l的方向向量為a，若a平面，則l平面.()類型一空間向量的加減運算例1如圖，已知長方體ABCDABCD，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量(1)；(2).考點空間向量的加減運算題點空間向量的加減運算解(1).(2)().向量，如圖所示引申探究利用本例題圖，化簡.解結(jié)合加法運算，0.故0.反思與感悟(1)首尾順次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即.(2)首尾順次相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為0.如圖，0.跟蹤訓練1在如圖所示的平行六面體中，求證：2.考點空間向量的加減運算題點空間向量的加減運算的應(yīng)用證明平行六面體的六個面均為平行四邊形，()()()2()又，.2.類型二共線問題例2(1)已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，則一定共線的三點是()AA，B，DBA，B，CCB，C，DDA，C，D(2)設(shè)e1，e2是空間兩個不共線的向量，已知e1ke2，5e14e2，e12e2，且A，B，D三點共線，實數(shù)k_.考點線線、線面平行的判斷題點線線平行的判斷答案(1)A(2)1解析(1)因為3a6b3(a2b)3，故，又與有公共點A，所以A，B，D三點共線(2)因為7e1(k6)e2，且與共線，故x，即7e1(k6)e2xe1xke2，故(7x)e1(k6xk)e20，又e1，e2不共線，解得故k的值為1.反思與感悟(1)判斷向量共線的策略熟記共線向量的充要條件：()若ab，b0，則存在唯一實數(shù)使ab；()若存在唯一實數(shù)，使ab，b0，則ab.判斷向量共線的關(guān)鍵：找到實數(shù).(2)證明空間三點共線的三種思路對于空間三點P，A，B可通過證明下列結(jié)論來證明三點共線存在實數(shù)，使成立對空間任一點O，有t(tR)對空間任一點O，有xy(xy1)跟蹤訓練2如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，請判斷向量與是否共線？考點線線、線面平行的判斷題點線線平行的判斷解設(shè)AC的中點為G，連接EG，F(xiàn)G，又，共面，()，與共線類型三空間向量的數(shù)乘運算及應(yīng)用例3如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)a，b，c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算解(1)()acb.(2)abc.(3)()()abc.引申探究若把本例中“P是C1D1的中點”改為“P在線段C1D1上，且”，其他條件不變，如何表示？解acb.反思與感悟利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運算解題時，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉(zhuǎn)化為已知向量(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質(zhì)跟蹤訓練3如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F(xiàn)在對角線A1C上，且.求證：E，F(xiàn)，B三點共線考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共線向量定理及應(yīng)用證明設(shè)a，b，c.因為2，所以，所以b，()()abc，所以abc.又bcaabc，所以，又因為與有公共點E，所以E，F(xiàn)，B三點共線1.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，下列各式中運算的結(jié)果為的共有()()；()；()；().A1個B2個C3個D4個考點空間向量的加減運算題點空間向量的加減運算答案D解析()；()；()；()，故選D.2設(shè)有四邊形ABCD，O為空間任意一點，且，則四邊形ABCD是()A平行四邊形B空間四邊形C等腰梯形D矩形考點空間向量的加減運算題點空間向量的加減運算的應(yīng)用答案A解析由，得，故四邊形ABCD為平行四邊形，故選A.3下列條件，能說明空間不重合的A，B，C三點共線的是()A.B.C.D|考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共線向量定理及應(yīng)用答案C解析由知與共線，又因有一共同的點B，故A，B，C三點共線4若非零空間向量e1，e2不共線，則使2ke1e2與e12(k1)e2共線的k的值為_考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共線向量定理及應(yīng)用答案解析若2ke1e2與e12(k1)e2共線，則2ke1e2e12(k1)e2，k.5化簡2233_.考點空間向量的加減運算題點空間向量的加減運算答案0解析223322220.(1)空間向量加法、減法運算的兩個技巧巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結(jié)果(2)證明(或判斷)三點A，B，C共線時，只需證明存在實數(shù)，使(或)即可，也可用“對空間任意一點O，有t(1t)”來證明三點A，B，C共線一、選擇題1化簡所得的結(jié)果是()A.B.C0D.考點空間向量的加減運算題點空間向量的加減運算答案C解析0，故選C.2空間任意四個點A，B，C，D，則等于()A.B.C.D.考點空間向量的加減運算題點空間向量的加減運算答案D3已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，設(shè)G是CD的中點，則()等于()A.B.C.D.考點空間向量的加減運算題點空間向量的加減運算答案A解析如圖，因為2，所以().4在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為AC與BD的交點若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是()AabcB.abcC.abcDabc考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算答案A解析()c(ab)abc.5如圖所示，在四面體ABCD中，點E是CD的中點，記a，b，c，則等于()AabcBabcCabcDabc考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算答案B解析連接AE(圖略)，E是CD的中點，b，c，()(bc)在ABE中，又a，a(bc)abc.6設(shè)點M是ABC的重心，記a，b，c，且abc0，則等于()A.B.C.D.考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算答案D解析設(shè)D是BC邊的中點，M是ABC的重心，.而()(cb)，(cb)7設(shè)空間四點O，A，B，P滿足mn，其中mn1，則()A點P一定在直線AB上B點P一定不在直線AB上C點P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上D與的方向一定相同考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共線向量定理及應(yīng)用答案A解析已知mn1，則m1n，(1n)nnn，即n()，即n.因為0，所以和共線，又AP和AB有公共點A，所以點A，P，B共線，故選A.二、填空題8在正方體ABCDA1B1C1D1中，化簡的結(jié)果是_考點空間向量的加減運算題點空間向量的加減運算答案2解析2.9在空間四邊形ABCD中，連接BD，若BCD是正三角形，且E為其中心，則的化簡結(jié)果為_考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量的線性運算答案0解析連接DE并延長交BC于點F，連接AF(圖略)，則，0.10若G為ABC內(nèi)一點，且滿足0，則G為ABC的_(填“外心”“內(nèi)心”“垂心”“重心”)考點空間向量的加減運算題點空間向量的加減運算的應(yīng)用答案重心解析因為，所以AG所在直線的延長線為邊BC上的中線，同理，得BG所在直線的延長線為AC邊上的中線，故G為其重心11已知點M在平面ABC內(nèi)，并且對空間任意一點O，有x，則x的值為_考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共面向量定理及應(yīng)用答案解析x，且M，A，B，C四點共面，x1，x.三、解答題12如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BMBD，ANAE.求證：MN平面CDE.考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間向量共面定理及應(yīng)用證明因為M在BD上，且BMBD，所以.同理.所以.又與不共線，根據(jù)共面向量定理可知，共面因為MN不在平面CDE內(nèi)，所以MN平面CDE.四、探究與拓展13已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|3，|b|2，|c|1，則|abc|_.答案214設(shè)e1，e2，e3三向量不共面，而e12e23e3，2e1e2e3，3e1e22e3，如果A，B，D三點共線，則，的值為_考點空間向量的數(shù)乘運算題點空間共線向量定理及應(yīng)用解析(2e1e2e3)(3e1e22e3)(23)e1(1)e2e3.A，B，D三點共線，與是共線向量存在實數(shù)k，使得k，即e12e23e3k(23)e1(1)e2e3(12k3k)e1(2kk)e2(3k)e30.e1，e2，e3三向量不共面，12k3k0,2kk0,3k0.將k代入前兩式，可得解得1，3.