4、,
∴k1>k2.
7.曲線y=x3,x>0在點P處的切線的斜率為k,當(dāng)k=12時,P點坐標為( )
A.(-8,-2) B.(-1,-1)或(1,1)
C.(2,8) D.(-,-)
[答案] C
[解析] 設(shè)點P的坐標為(x0,y0)(x0>0),
∴k=3x=12,∴x0=2,∴x=2,
∴P點坐標為(2,8),故選C.
8.(2013山西省太原五中月考)已知曲線y=x3-1與曲線y=3-x2在x=x0處的切線互相垂直,則x0的值為( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 由導(dǎo)數(shù)的定義容易求得,曲線y=x3-1在x=x0處切線的斜率k1=3
5、x,曲線y=3-x2在x=x0處切線的斜率為k2=-x0,由于兩曲線在x=x0處的切線互相垂直,∴3x(-x0)=-1,∴x0=,故選D.
9.(2013煙臺質(zhì)檢)已知二次函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,則其導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖像大致形狀是( )
[答案] B
[解析] 依題意可設(shè)f(x)=ax2+c(a<0,且c>0),于是f ′(x)=2ax,顯然f ′(x)的圖像為直線,過原點,且斜率2a<0,故選B.
10.等比數(shù)列{an}中,a1=2,a8=4,函數(shù)f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),則f′(0)=( )
A.26 B.29
C.212 D.
6、215
[答案] C
[解析] f′(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+x[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]′
∴f′(0)=a1a2…a8.
∵{an}為等比數(shù)列,a1=2,a8=4,
∴f′(0)=a1a2…a8=(a1a8)4=84=212.
二、填空題(本大題共5個小題,每小題5分,共25分,將正確答案填在題中橫線上)
11.設(shè)f(x)=+,則f′()=________.
[答案]?。?
[解析] f′(x)=(+)′=-+,
∴f′()=+=-+2.
12.(2014杭州質(zhì)檢)若f(x)=x2-2x-4lnx,則f ′(x)>0的解集為__
7、______.
[答案] (2,+∞)
[解析] 由f(x)=x2-2x-4lnx,得函數(shù)定義域為(0,+∞),且f ′(x)=2x-2-==2=2,f ′(x)>0,解得x>2,故f ′(x)>0的解集為(2,+∞).
13.(2014棗陽一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高二期中聯(lián)考)若曲線y=在點P(a,)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2,則實數(shù)a的值是________.
[答案] 4
[解析] y′=,切線方程為y-=(x-a),
令x=0得,y=,
令y=0得,x=-a,
由題意知a=2,∴a=4.
14.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x),且滿足f(x)=
8、3x2+2xf′(2),則f′(5)=____________.
[答案] 6
[解析] ∵f′(x)=6x+2f′(2),
∴f′(2)=12+2f′(2).
∴f′(2)=-12.
∴f′(x)=6x-24.
∴f′(5)=30-24=6.
15.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x),若存在x0,使得f(x0)=f′(x0),則稱x0是f(x)的一個“巧值點”,下列函數(shù)中,存在“巧值點”的是________.(填上正確的序號)
①f(x)=x2,②f(x)=e-x,③f(x)=lnx,④f(x)=tanx,⑤f(x)=x+.
[答案]?、佗邰?
[解析]?、僦械暮瘮?shù)f(x)
9、=x2,f′(x)=2x,要使f(x0)=f′(x0),則x=2x0,解得x0=0或2,故①中函數(shù)存在巧值點;對于②中的函數(shù),要使f(x0)=f′(x0),則e-x0=-e-x0,易知此方程無解,故②中函數(shù)不存在巧值點;對于③中的函數(shù),要使f(x0)=f′(x0),則lnx0=,由于函數(shù)y=lnx與y=的圖像有交點,因此方程有解,故③中函數(shù)存在巧值點;對于④中的函數(shù),要使f(x0)=f′(x0),則tanx0=,即sinx0cosx0=1,顯然無解,故④中函數(shù)不存在巧值點;對于⑤中的函數(shù),要使f(x0)=f(x0),則x0+=1-,即x-x+x0+1=0,設(shè)函數(shù)g(x)=x3-x2+x+1,則
10、g′(x)=3x2-2x+1>0且g(-1)<0,g(0)>0,顯然函數(shù)g(x)在(-1,0)上有零點,故⑤中函數(shù)存在巧值點.
三、解答題(本大題共6小題,共75分,前4題每題12分,20題13分,21題14分)
16.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)f(x)=(x+1)2(x-1);
(2)f(x)=2-2sin2;
(3)f(x)=;
(4)f(x)=2tanx.
[答案] (1)f′(x)=3x2+2x-1 (2)f′(x)=-sinx (3)f′(x)= (4)f′(x)=
[解析] (1)因為f(x)=(x+1)2(x-1)=(x2+2x+1)(x-1)=x3+x2-x-1
11、,
所以f′(x)=3x2+2x-1.
(2)因為f(x)=2-2sin2=1+cosx,
所以f′(x)=-sinx.
(3)f′(x)=
=.
(4)因為f(x)=2tanx=,
所以f′(x)=
==.
17.求曲線y=f(x)=x2-3x+2lnx在(3,f(3))處切線的斜率及切線方程.
[答案] 斜率 切線方程y=x-+2ln3
[解析] 由已知x>0,
∴f′(x)=x-3+.
曲線y=f(x)在(3,f(3))處切線的斜率為f′(3)=.又f(3)=-9+2ln3=-+2ln3.
∴方程為y-(-+2ln3)=(x-3),
即y=x-+2ln3.
12、
18.求過原點作曲線C:y=x3-3x2+2x-1的切線方程.
[答案] x+y=0或23x-4y=0
[解析] 設(shè)切點為(x0,y0),
∵y′=3x2-6x+2,
∴切線斜率為3x-6x0+2,
∴切線方程為y-y0=(3x-6x0+2)(x-x0)
∵切點在曲線C,
∴y0=x-3x+2x0-1, ①
又切線過原點,
∴-y0=(3x-6x0+2)(-x0), ②
由①②得0=-2x+3x-1,
∴2x-3x+1=0,
因式分解得:(x0-1)2(2x0+1)=0,
∴x0=1或x0=-,
∴兩個切點為(1,-1),(-,-)
∴兩條切線方程為y+1=-1
13、(x-1)和y+=(x+)
即x+y=0或23x-4y=0.
19.蜥蜴的體溫與陽光的照射有關(guān),其關(guān)系為T(t)=+15,其中T(t)為體溫(單位:℃),t為太陽落山后的時間(單位:min).
(1)從t=0到t=10,蜥蜴的體溫下降了多少?
(2)從t=0到t=10,蜥蜴的體溫的平均變化率是多少?它代表什么實際意義?
(3)求T′(5),并說明它的實際意義.
[答案] (1)16℃ (2)1.6℃ (3)t=5時蜥蜴體溫下降的速度為1.2℃/min
[解析] (1)在t=0和t=10時,蜥蜴的體溫分別為T(0)=+15=39,T(10)=+15=23,
故從t=0到t=10,
14、蜥蜴的體溫下降了16℃.
(2)平均變化率為=-=-1.6(℃).
它表示從t=0到t=10,蜥蜴的體溫平均每分鐘下降1.6℃.
(3)T′(5)= =-1.2,
它表示t=5時蜥蜴體溫下降的速度為1.2℃/min.
20.已知函數(shù)f(x)=2x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像都過點P(2,0),且在點P處有公共切線,求f(x),g(x)的表達式.
[答案] f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16
[解析] ∵f(x)=2x3+ax的圖像過點P(2,0),
∴a=-8,∴f(x)=2x3-8x.
∴f′(x)=6x2-8.
對于g(x)=bx2+c的圖像過點
15、P(2,0),得4b+c=0.
又g′(x)=2bx,∴g′(2)=4b=f′(2)=16.
∴b=4.∴c=-16.∴g(x)=4x2-16.
綜上,可知f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.
21.求滿足下列條件的函數(shù)f(x).
(1)f(x)是一元三次函數(shù),且f(0)=0,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(3)=0;
(2)f′(x)是一次函數(shù),且x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1.
[答案] (1)f(x)=x3-x2 (2)f(x)=2x2+2x+1
[解析] (1)設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),
則f′(x)=3ax2+2bx+c.
由已知,得,
解之,得a=,b=-,c=0,d=0.
故f(x)=x3-x2.
(2)由于f′(x)為一次函數(shù),則f(x)必為二次函數(shù).
令f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f′(x)=2ax+b,
代入x2f′(x)+(-2x+1)f(x)=1中,
x2(2ax+b)+(-2x+1)(ax2+bx+c)=1,
即(-b+a)x2+(b-2c)x+(c-1)=0,
由多項式恒等的條件知,
解之,得.
所以f(x)=2x2+2x+1.