4、，
∴k1>k2.
7．曲線y＝x3，x>0在點P處的切線的斜率為k，當k＝12時，P點坐標為( )
A．(－8，－2) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8) D．(－，－)
[答案] C
[解析] 設點P的坐標為(x0，y0)(x0>0)，
∴k＝3x＝12，∴x0＝2，∴x＝2，
∴P點坐標為(2,8)，故選C.
8．(2013山西省太原五中月考)已知曲線y＝x3－1與曲線y＝3－x2在x＝x0處的切線互相垂直，則x0的值為( )
A. B．
C． D．
[答案] D
[解析] 由導數(shù)的定義容易求得，曲線y＝x3－1在x＝x0處切線的斜率k1＝3
5、x，曲線y＝3－x2在x＝x0處切線的斜率為k2＝－x0，由于兩曲線在x＝x0處的切線互相垂直，∴3x(－x0)＝－1，∴x0＝，故選D.
9．(2013煙臺質(zhì)檢)已知二次函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則其導函數(shù)f ′(x)的圖像大致形狀是( )
[答案] B
[解析] 依題意可設f(x)＝ax2＋c(a<0，且c>0)，于是f ′(x)＝2ax，顯然f ′(x)的圖像為直線，過原點，且斜率2a<0，故選B.
10．等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，則f′(0)＝( )
A．26 B．29
C．212 D．
6、215
[答案] C
[解析] f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′
∴f′(0)＝a1a2…a8.
∵{an}為等比數(shù)列，a1＝2，a8＝4，
∴f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
二、填空題(本大題共5個小題，每小題5分，共25分，將正確答案填在題中橫線上)
11．設f(x)＝＋，則f′()＝________.
[答案] －＋2
[解析] f′(x)＝(＋)′＝－＋，
∴f′()＝＋＝－＋2.
12．(2014杭州質(zhì)檢)若f(x)＝x2－2x－4lnx，則f ′(x)>0的解集為__
7、______．
[答案] (2，＋∞)
[解析] 由f(x)＝x2－2x－4lnx，得函數(shù)定義域為(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－2－＝＝2＝2，f ′(x)>0，解得x>2，故f ′(x)>0的解集為(2，＋∞)．
13．(2014棗陽一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高二期中聯(lián)考)若曲線y＝在點P(a，)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，則實數(shù)a的值是________．
[答案] 4
[解析] y′＝，切線方程為y－＝(x－a)，
令x＝0得，y＝，
令y＝0得，x＝－a，
由題意知a＝2，∴a＝4.
14．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)，且滿足f(x)＝
8、3x2＋2xf′(2)，則f′(5)＝____________.
[答案] 6
[解析] ∵f′(x)＝6x＋2f′(2)，
∴f′(2)＝12＋2f′(2)．
∴f′(2)＝－12.
∴f′(x)＝6x－24.
∴f′(5)＝30－24＝6.
15．已知函數(shù)f(x)及其導數(shù)f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f(x)的一個“巧值點”，下列函數(shù)中，存在“巧值點”的是________．(填上正確的序號)
①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝lnx，④f(x)＝tanx，⑤f(x)＝x＋.
[答案]?、佗邰?
[解析]?、僦械暮瘮?shù)f(x)
9、＝x2，f′(x)＝2x，要使f(x0)＝f′(x0)，則x＝2x0，解得x0＝0或2，故①中函數(shù)存在巧值點；對于②中的函數(shù)，要使f(x0)＝f′(x0)，則e－x0＝－e－x0，易知此方程無解，故②中函數(shù)不存在巧值點；對于③中的函數(shù)，要使f(x0)＝f′(x0)，則lnx0＝，由于函數(shù)y＝lnx與y＝的圖像有交點，因此方程有解，故③中函數(shù)存在巧值點；對于④中的函數(shù)，要使f(x0)＝f′(x0)，則tanx0＝，即sinx0cosx0＝1，顯然無解，故④中函數(shù)不存在巧值點；對于⑤中的函數(shù)，要使f(x0)＝f(x0)，則x0＋＝1－，即x－x＋x0＋1＝0，設函數(shù)g(x)＝x3－x2＋x＋1，則
10、g′(x)＝3x2－2x＋1>0且g(－1)<0，g(0)>0，顯然函數(shù)g(x)在(－1,0)上有零點，故⑤中函數(shù)存在巧值點．
三、解答題(本大題共6小題，共75分，前4題每題12分，20題13分，21題14分)
16．求下列函數(shù)的導數(shù)：
(1)f(x)＝(x＋1)2(x－1)；
(2)f(x)＝2－2sin2；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝2tanx.
[答案] (1)f′(x)＝3x2＋2x－1 (2)f′(x)＝－sinx (3)f′(x)＝ (4)f′(x)＝
[解析] (1)因為f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1
11、，
所以f′(x)＝3x2＋2x－1.
(2)因為f(x)＝2－2sin2＝1＋cosx，
所以f′(x)＝－sinx.
(3)f′(x)＝
＝.
(4)因為f(x)＝2tanx＝，
所以f′(x)＝
＝＝.
17．求曲線y＝f(x)＝x2－3x＋2lnx在(3，f(3))處切線的斜率及切線方程．
[答案] 斜率 切線方程y＝x－＋2ln3
[解析] 由已知x>0，
∴f′(x)＝x－3＋.
曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率為f′(3)＝.又f(3)＝－9＋2ln3＝－＋2ln3.
∴方程為y－(－＋2ln3)＝(x－3)，
即y＝x－＋2ln3.
12、
18．求過原點作曲線C：y＝x3－3x2＋2x－1的切線方程．
[答案] x＋y＝0或23x－4y＝0
[解析] 設切點為(x0，y0)，
∵y′＝3x2－6x＋2，
∴切線斜率為3x－6x0＋2，
∴切線方程為y－y0＝(3x－6x0＋2)(x－x0)
∵切點在曲線C，
∴y0＝x－3x＋2x0－1， ①
又切線過原點，
∴－y0＝(3x－6x0＋2)(－x0)， ②
由①②得0＝－2x＋3x－1，
∴2x－3x＋1＝0，
因式分解得：(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
∴x0＝1或x0＝－，
∴兩個切點為(1，－1)，(－，－)
∴兩條切線方程為y＋1＝－1
13、(x－1)和y＋＝(x＋)
即x＋y＝0或23x－4y＝0.
19．蜥蜴的體溫與陽光的照射有關，其關系為T(t)＝＋15，其中T(t)為體溫(單位：℃)，t為太陽落山后的時間(單位：min)．
(1)從t＝0到t＝10，蜥蜴的體溫下降了多少？
(2)從t＝0到t＝10，蜥蜴的體溫的平均變化率是多少？它代表什么實際意義？
(3)求T′(5)，并說明它的實際意義．
[答案] (1)16℃ (2)1.6℃ (3)t＝5時蜥蜴體溫下降的速度為1.2℃/min
[解析] (1)在t＝0和t＝10時，蜥蜴的體溫分別為T(0)＝＋15＝39，T(10)＝＋15＝23，
故從t＝0到t＝10，
14、蜥蜴的體溫下降了16℃.
(2)平均變化率為＝－＝－1.6(℃)．
它表示從t＝0到t＝10，蜥蜴的體溫平均每分鐘下降1.6℃.
(3)T′(5)＝ ＝－1.2，
它表示t＝5時蜥蜴體溫下降的速度為1.2℃/min.
20．已知函數(shù)f(x)＝2x3＋ax與g(x)＝bx2＋c的圖像都過點P(2,0)，且在點P處有公共切線，求f(x)，g(x)的表達式．
[答案] f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16
[解析] ∵f(x)＝2x3＋ax的圖像過點P(2,0)，
∴a＝－8，∴f(x)＝2x3－8x.
∴f′(x)＝6x2－8.
對于g(x)＝bx2＋c的圖像過點
15、P(2,0)，得4b＋c＝0.
又g′(x)＝2bx，∴g′(2)＝4b＝f′(2)＝16.
∴b＝4.∴c＝－16.∴g(x)＝4x2－16.
綜上，可知f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.
21．求滿足下列條件的函數(shù)f(x)．
(1)f(x)是一元三次函數(shù)，且f(0)＝0，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(3)＝0；
(2)f′(x)是一次函數(shù)，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
[答案] (1)f(x)＝x3－x2 (2)f(x)＝2x2＋2x＋1
[解析] (1)設f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由已知，得，
解之，得a＝，b＝－，c＝0，d＝0.
故f(x)＝x3－x2.
(2)由于f′(x)為一次函數(shù)，則f(x)必為二次函數(shù)．
令f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b，
代入x2f′(x)＋(－2x＋1)f(x)＝1中，
x2(2ax＋b)＋(－2x＋1)(ax2＋bx＋c)＝1，
即(－b＋a)x2＋(b－2c)x＋(c－1)＝0，
由多項式恒等的條件知，
解之，得.
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
2020高中數(shù)學 綜合素質(zhì)檢測3 北師大版選修11
