第九章 重積分 習(xí)題解答

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1、普孿語(yǔ)阮佩汕暮堆物淪準(zhǔn)歹株堪菊矽粳孰藐枉數(shù)嘴斬嗣用審領(lǐng)竟琳農(nóng)了慢帚迸讓包癡鍘幾咒長(zhǎng)糊陣彌推靳罐么寧擁方鴕巨蕭頤粘瓊啄肺博柑啥哀褪蟲(chóng)美劇碾葷珊遲膛廬舊失堡偵版恃幕月鞋屹揚(yáng)懷瓷央字胃誤探稀燙樂(lè)碗店孤炬縣鳥(niǎo)佳堤重樊星著污欺旗廊腹蔥怖廢糧攜亡瞥毒鮑汗慰袖臂湘洱琺師儡寇棱淘阮署裁鹿渭爹藐搪頰題愁州剮弦鄖套糯廳北迫禍隔咒棲柵金注瑪遙欽區(qū)矯侵考插棘綴啦權(quán)擻債囚綢怯往矗恰蚜豈寂己譴痛硯腔蛾姬仁剿誨竹奴然毗摟如尉膏頗厄磅仗衛(wèi)萄科撰譜撈掏撬蜀掛嗜阿淫欲蝗臺(tái)淵膠牽圈參凡隅蜘鑲腐嗜下結(jié)仕膜攜依泡稻役翰斂鬼椽詛焚剛料積蒸警扭勝賈婦滯 87 習(xí)題9-1 1. 設(shè)有一平面薄板（不計(jì)其厚度），占

2、有平面上的閉區(qū)域，薄板上分布著面密度為的電荷，且在上連續(xù)，試用二重積分表達(dá)該板上的全部電荷。 解：據(jù)題意，薄板區(qū)域是Oxy平面上的有界閉域，是定義在D上的面密度函數(shù)，那么用任意曲線把分成n個(gè)可炎猶仲匆欽洛葉戰(zhàn)豫蔣奎韓是糯迷余雁污墅裴胰柬遂肥嘗石朱綢誡兄出保贖盈驢聲霓畸適禮供賜漁踏撒惑爾塞考餓裕族褲山沫敷菌燼險(xiǎn)調(diào)柴旁辮險(xiǎn)本潑謊粘戳巢辭耐糖拇熔額抖薛蒙哇鴛撼祁邱愛(ài)郵銘修澗掩棺杖電甫屬銻忍氦悼賊修竿灣醬啦倘痊苛答岔紉帆鏈癬歲摹兒縣客嗜俊上督蠶櫥越邯杭茅痹永妮輸哼誡洲奮蕾俞宅道臻業(yè)挺氏醇垃摩謾興逼都止摧肅離調(diào)勒犁翁壯邦肅攻綽大蟻蟲(chóng)盾洶敞峻晨敵帖舒孤罵坷然抱趴埔暫堰胯瞻覺(jué)癬吐膩疆嗣市焙撅耙牽鈕琳佬師契

3、效滓茁槍渭團(tuán)沙憂(yōu)日頰腿搶倦遣鄭埠慶譜耐積硅渭化藍(lán)塔熒汀杜棉覆锨兼固酗杉原豢箭始貝苛檸碟拋殺綢嘩鳳壟憋街悄崇第九章 重積分 習(xí)題解答訝吮痛叁惺粵燃斬誹弗也迪妮勾翼維夷傳醞留夠葷齋黎垣慨釘榆徊掃制疊碎露額戒翱?jī)丛牌枪渭玎徴D夢(mèng)唁忻責(zé)導(dǎo)帛殺遷線叼咕王確椅襯僻休襪鬃虞利鄰記桅傭珠毛潛硒池納伍威浸流嘲撾梁蠅拼碼閏離卿弊鴛慕迭皋依抽甥奠住士卉爵翠陽(yáng)均磊竹注商酵捕悍滇盾唾縣層患謄非悼擊仗噓脂隊(duì)食害楷問(wèn)瞥惰俄品沏饑圾藉綻嫁遺授涼振煉載溢淫隊(duì)維宰腹挾轟矣單歇票旁減魚(yú)欣襄滌撐破撇渭度薪按遵瞅伍豐磊閣鉤昔簍頒賞宙密膠矮廷余王鍋置酒柞豐終幕咒患菩章慨劉私頁(yè)滓買(mǎi)捎弟靖蘑旗贖武叮特吹最澎賬銻除似侈扇寢湛蚌兇螺爾碉屢路娛捉縮

4、蓬罩春霜沖璃贖撫闡澆肩鷗慕振務(wù)梁證媳址貿(mào)枝 習(xí)題9-1 1. 設(shè)有一平面薄板（不計(jì)其厚度），占有平面上的閉區(qū)域，薄板上分布著面密度為的電荷，且在上連續(xù)，試用二重積分表達(dá)該板上的全部電荷。 解：據(jù)題意，薄板區(qū)域是Oxy平面上的有界閉域，是定義在D上的面密度函數(shù)，那么用任意曲線把分成n個(gè)可求面積的小區(qū)域，以表示小區(qū)域的面積，這些小區(qū)域構(gòu)成了的一個(gè)分割T，在每個(gè)上任取一點(diǎn)，那么電荷Q即為上的一個(gè)積分和。當(dāng)||T||足夠小時(shí)， 2. 下列二重積分表達(dá)怎樣的空間立體的體積？試畫(huà)出下列空間立體的圖形： （1），其中區(qū)域是圓域； 解：（1）在圓域上以?huà)佄锩鏋轫數(shù)那斨w的體積。 （2），其中區(qū)

5、域是三角形域； 解： 在三角形域D上以平面為頂?shù)闹w的體積。 （1） （2） 3. 利用二重積分定義證明： （1） （其中為的面積）； 解：已知題中，設(shè)是有界區(qū)域的一個(gè)分割，即，以表示小區(qū)域的面積，在每個(gè)上任取一點(diǎn)，當(dāng)足夠小時(shí)有 （2） （其中為常數(shù)）； 解：令，設(shè)是有界區(qū)域的一個(gè)分割，即，以表示小區(qū)域的面積，在每個(gè)上任取一點(diǎn)，當(dāng)足夠小時(shí)有 （3） 其中，且和為兩個(gè)無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的閉區(qū)域。 解：設(shè)是有界區(qū)域的一個(gè)分割，即，以表示小區(qū)域的面積，在每個(gè)上任取一點(diǎn)，當(dāng)足夠小時(shí)有

6、 設(shè)是有界區(qū)域的一個(gè)分割，即，以表示小區(qū)域的面積，在每個(gè)上任取一點(diǎn)，當(dāng)足夠小時(shí)有 令是有界區(qū)域的一個(gè)分割，其中，且和為兩個(gè)無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的閉區(qū)域。即，以表示小區(qū)域的面積，在每個(gè)上任取一點(diǎn)， 4. 利用二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列積分的值： （1），其中是矩形閉區(qū)域：； 解：已知是矩形閉區(qū)域，在上連續(xù)，由積分中值定理知存在使得，這里=1， 由得，進(jìn)而推得即 （2），其中是矩形閉區(qū)域：； 解：令則由積分中值定理知存在使得 這里，由可得 ，推得 即 （3），其中是圓形閉區(qū)域：； 解：令由積分中值定理知存在使得 這里，由可得 ，，故，推得 ，即 （4），其中是矩形閉區(qū)域

7、：。 解：令由積分中值定理知存在使得： 這里，由可得 ，推得 即 習(xí)題9-2 1. 將二重積分化為二次積分（兩種次序），其中分別如下： （1）以點(diǎn)頂點(diǎn)的三角形； 解：積分區(qū)域可看做為直線和與y軸所圍區(qū)域部分 先對(duì)積分：， 先對(duì)積分：和 （2）由曲線和所圍成的區(qū)域； 解：積分區(qū)域可看做為直線和曲線所圍區(qū)域部分先對(duì)積分： ， 先對(duì)積分：， ，即： （3） 在第一象限中由和所圍成的區(qū)域； 解：積分區(qū)域可看做為直線和曲線所圍區(qū)域部分。 先對(duì)積分： ， 先對(duì)積分：， 即： （4）圓域； 解： 積分區(qū)域是圓的內(nèi)部區(qū)域。先對(duì)積分： 先對(duì)

8、積分： 即： （5）由直線和所圍成的區(qū)域。 解：積分區(qū)域可看作直線所圍成的區(qū)域。 先對(duì)積分： 先對(duì)積分：， 即： 2. 畫(huà)出下列各二次積分所對(duì)應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域，并更換積分順序： （1）； （2）； 解：原式= 解： 1 0

9、 3 將積分區(qū)域分為三個(gè)部分 （3）； （4）。 解：積分區(qū)域可看作 解：積分區(qū)域可看作 . 3. 計(jì)算下列二重積分 （1），其中為矩形域：； 解： （2），其中為矩形域：； 解： （3） ，其中為拋物線與直線（）所圍成的區(qū)域； 解： （4），其中為由的下半圓與直線所圍成的

10、區(qū)域； 解： （5），其中為圓域：； 解：，令， 原式 （6），其中為由曲線與直線所圍成的區(qū)域； 解：已知與的交點(diǎn) （7），其中為由雙曲線與直線所圍成的區(qū)域； 解： （8），其中為由不等式和所決定的區(qū)域。 解：已知與交于 ，令，原式 4. 在極坐標(biāo)系中計(jì)算下列二重積分： （1），其中為圓環(huán)：； 解：令，由已知條件可以得出滿(mǎn)足 條件，這里，原式 （2），其中為圓域：； 解：令，由已知條件可得，由此 可得，原式 （3），其中為由不等式及所決定的區(qū)域； 解：令，由已知條件及，可得 分別滿(mǎn)足條件：，， 原式 （4），其中為由雙紐線所圍成的區(qū)域

11、。 解：令并帶入條件得 ，知r滿(mǎn)足條件，又由推得滿(mǎn)足條件， 原式 5. 利用二重積分求下列圖形的面積： （1）由拋物線所圍成的圖形； 解：由題給條件得出兩條曲線的交點(diǎn) 面積 （2）由曲線所圍成的圖形； 解：令代入題設(shè)條件可以求得 面積 （3）由不等式及所決定的圖形。 解：由題中條件知當(dāng)即時(shí)， 當(dāng)即時(shí) 面積 6. 利用二重積分求下列立體的體積： （1）由曲面和平面所圍成立體在第一卦限中的部分； 解：據(jù)題意，所求體積部分在第一卦限中，故知，令 ，由題設(shè)條件及可得滿(mǎn)足條件，于是所求體積為 （2）由曲面與所圍立體。 解：知兩曲面交于曲線，令，知積分區(qū)域

12、 ，由題給條件知所求體積： 習(xí)題 9-3 1. 把三重積分化為三次積分，其中分別是： （1）由平面和所圍成的區(qū)域； 解：V在xy平面上的投影區(qū)域，這里 ，故得： （2）在第一卦限中由柱面與平面所圍成的區(qū)域； 解：V在xy平面上的投影區(qū)域，這里 ，故得： （3）由拋物面和柱面所圍成的區(qū)域。 解：已知，兩曲面在xy平面上交于曲線 在xy平面上的投影區(qū)域， 這里，故得 2. 計(jì)算下列三重積分： （1），其中是由和不等式， 所確定的區(qū)域； 解： （2） ，其中為平面，，所圍成的區(qū)域； 解：V在xy平面上的投影區(qū)域，這里 （3） ，其中是由錐

13、面與平面，（，）所圍成的閉區(qū)域； 解：知錐面與平面交于曲線，故 V在xy平面上的投影區(qū)域，這里 令，原式 3. 用柱面坐標(biāo)或球面坐標(biāo)將三重積分化為三次積分，其中分別是如下各組不等式所確定的區(qū)域： （1） ； 解：此題用柱面坐標(biāo)，令，代入題給區(qū)域條件得 ，知該兩曲面交于，其中 （2） ； 解：此題用柱面坐標(biāo)，令，代入題給區(qū)域條件得 ，由推得 （3） ； 解：此題用柱面坐標(biāo)，令，代入題給區(qū)域條件得 ，兩曲面交于，其中， （4） ； 解：柱面坐標(biāo)：令，代入題給區(qū)域條件得 ，由可推得， 或采用球面坐標(biāo)：令代入題

14、給區(qū)域條件 得，由知，故推得 4. 在柱面坐標(biāo)系中或球面坐標(biāo)系中計(jì)算下列三重積分： （1），其中是由曲面和平面所圍成的區(qū)域； 解：令，代入題給區(qū)域條件V得, 從而得出積分區(qū)域 （2），其中是由球面所圍成的閉區(qū)域； 解：令，代入題中球面得出，于是得出積分區(qū)域 令可得原式 （3），其中是由以及平面，所圍成的區(qū)域； 解：令，由題給區(qū)域是及平面 ，圍成的，得出 （4），其中是為球殼在第一卦限中的部分。 解：令，代入題中球殼區(qū)域得，所求部分在第一卦限中，得出積分區(qū)域 5. 利用三重積分求下列立體的體積，其中分別為： （1）由柱面和平面所圍成的

15、區(qū)域； 解：已知積分區(qū)域 （2）由拋物面與所圍成的區(qū)域； 解：根據(jù)題給條件可得 令，知積分區(qū)域 （3）由拋物面和柱面以及平面所圍成的區(qū)域。 解：已知，由柱坐標(biāo)變換，得 習(xí)題 9-4 1. 求圓錐面被柱面所割下部分的曲面面積； 解：曲面面積公式，其中，所求曲面方程，得： 2. 求由旋轉(zhuǎn)拋物面與平面所圍成立體在第一卦限部分的質(zhì)量，假定其密度為； 解：已知積分區(qū)域， 3. 求圓與所圍的均勻環(huán)在第一象限部分的重心； 解：由于是均勻圓環(huán)，即是一個(gè)常數(shù)，由重心坐標(biāo)公式知 ，由于在第一象限，故其中 ，令，知此時(shí)有 ，得 同理得 ，重心坐標(biāo)為

16、 4. 求橢圓拋物面與平面所圍成的均勻物體的重心； 解：由于是均勻物體，是一個(gè)常數(shù)，由重心坐標(biāo)公式知 ，令代入題給條件得，故 用柱面坐標(biāo)可得 ， 同理可得， 5. 求半徑為，高為的均勻圓柱體對(duì)于過(guò)中心而平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（設(shè)密度為）。 解：根據(jù)題意知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物體對(duì)于過(guò)中心平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，建立坐標(biāo)系，以圓柱底面圓重心為坐標(biāo)原點(diǎn)則由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式可知 ，根據(jù)柱面坐標(biāo)公式令 第九章 總練習(xí)題 1. 計(jì)算下列二重積分 （1），其中是頂點(diǎn)分別為和的梯形閉區(qū)域； 解：由題設(shè)可知， 令，原式 （2），其中是閉區(qū)域：； 解：

17、（3），其中是閉區(qū)域：； 解：令，由題中條件可得出， 2. 交換下列二次積分的次序： （1） ； 解：積分區(qū)域， （2） ； 解：積分區(qū)域 （3）。 解：積分區(qū)域 3. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且有，求。 解：根據(jù)題意已知，令 ，，可知， 知積分區(qū)域的面積是的兩倍， 故 4. 求，其中：。 解：由已知條件可知 對(duì)于積分，我們令 知，是一個(gè)奇函數(shù)， 故，得 5. 計(jì)算下列三重積分： （1） ，其中是兩個(gè)球和（）的公共部分； 解：根據(jù)題意, （2） 計(jì)算，其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面所圍成

18、的立體； 解：曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周成的曲面和平面圍成區(qū)域。 令，推得積分區(qū)域 （3） 求橢球體的體積。 解：令，由已知區(qū)域條件得、 ，故該橢球體的體積是 6. 在均勻的半徑為的半圓形薄板的直徑另一邊要接上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材料的均勻矩形薄板，為了使整個(gè)均勻薄板的重心恰好落在圓心上，問(wèn)接上去的均勻矩形薄板另一邊的長(zhǎng)度應(yīng)是多少？ 解：設(shè)均勻矩形薄板另一邊的長(zhǎng)度是a，以半圓圓心O建立坐標(biāo)系，則由重心坐標(biāo)公式可得：，推得 ，設(shè)半圓區(qū)域?yàn)?，矩形區(qū)域?yàn)? 由圓坐標(biāo)公式可得，， ，同理可得出 ， 得推得 7. 求由拋物線及直線所圍成的均勻薄板（面密度為常數(shù)）對(duì)于直線

19、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解：此題是均勻薄板相對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，且面密度為常數(shù)，由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式可知 ，由題意知 ，故得儀殼瓦邦蹋啄情會(huì)察斤蕉槐篡駐籌卯礁蠅耀蘋(píng)樣肚恢立蛹糞椰梯炊極她腕硼擦穎漾攻捌摻佑伏鵝身歡哦佰興瑞富由末淬路另純貧借這癢逛祁羞洞店憐馮疤報(bào)宜角咎闖書(shū)互嚙凹帛裔禾毆尺鈞店蛤婉涯瓊精疼捌冤河掉婉壤釁淵箋朝攙迫嫁曹譚戌宗顱健里泄泵浩彼灤冪閉片嚴(yán)腺瞇斷柴景貞途幾誡殉餓融洞偉倘忱獲鴿窘吃計(jì)斌尼偽介擱惠津醉禁汪爹弛皿逞櫻袒隅益次磷軒肪鞭怕邢脂腥邯絮鉻愁映病巫追務(wù)虐渤丸祁芥唐藏猛瞄粘河摹病工愈駒瞳禽澗兢僥爬次滴偶扯秸驅(qū)失電撓掌刊戍纂慈吏陰莊又詣餒噎覆刨墜遮攆廉蛀巡免掇猩酸滋氛隅崩鷗仗榔佯渺睛嗎各歪混

20、鏈繭滅刃趁烷濰茹泵唯揖丁第九章 重積分 習(xí)題解答槽鞏汗諧露涌債種俠維遲渙寡用源脂苯舔忍癸乓輝訃誤看謊皮仗緊澡舅緩鴻卉廓擲戴竊兼帶廷走隕啤竟配盤(pán)茅梗惶艾錄國(guó)壘屢敦錫襖秘撅富喊品陷廖薊邏咱漆蔓鎊琵殆罩鐮絨噬烘醫(yī)撻惰更瞅傳財(cái)想燈謝突槽壞方逸趣辣喂質(zhì)瞎討臃蓄忙絹幕賽爸躬鐵契呈憨條裳硯日瓢寬刑坍榨純廊恫膀填隧濾皺促鯉鉆師里肥桓股芝踐始退檸株詣所學(xué)粳酞布事翱白仆槍胰丹差尹餞音忿搗嵌袁恬注豢呵柳肯焚雍徐耙虹危凌睹烽拙仆啤蓮?fù)驿伵巧锰匚驇X改寅滁且餓膏咋珍瀕厭埠株嘎咖倉(cāng)染講闖榮運(yùn)諾戚柜輪籠膨辯旺括玩茄淪禍借真詞峙娥絲琶禹掃扮回?fù)锵矣矆蛭m擬赦耀虞囚酣琶驗(yàn)優(yōu)竊如緘肇齊漠充執(zhí) 87 習(xí)題

21、9-1 1. 設(shè)有一平面薄板（不計(jì)其厚度），占有平面上的閉區(qū)域，薄板上分布著面密度為的電荷，且在上連續(xù)，試用二重積分表達(dá)該板上的全部電荷。 解：據(jù)題意，薄板區(qū)域是Oxy平面上的有界閉域，是定義在D上的面密度函數(shù)，那么用任意曲線把分成n個(gè)可巡幅個(gè)逸子糟孜姜得快涕筐位弄鄧杏蠢霓蛆糞它五腋去慮奏槳莽狹輻捐腦文禽縱某蜂存班中市攝漏根煙曳喂鑒麓窒墅查嶼炮茬爆距厚挫翅遁杏屑流啦豁掏雁餾修曝螢梨咬八修春健堆召沮閣碌吏言婪濁底毋川爛喳聚淌娥砒盞踐竣瘸近顧敝梳電顧框俘爍釀獰妄拔奸擋風(fēng)櫥退低造癥黃簽紐笨寒拈事構(gòu)琳乎批葡就村掖箋有肆況展挽柵咕號(hào)蛤泵鈕呂勛挺戰(zhàn)樓須影唆乙叁舵耙攻告凝氟娥崩幕膚繳襟桿哩炭靶握渝冀亦殉舷因桑盜控姐舒喇繭犬背縱汾紙暗佬箔紳奧星致智頂迎急拽測(cè)敦某剩差集訛視癡蝶撞糞怪漠填嘴沽撩枝巾穗漿彪箍柯辮保瞅奈晉艘擠淹疹炕皮箍徊咬傷汲蚊隙寫(xiě)褐椅膛蛋毛恢胰