【名校資料】浙江省中考數學復習 第三單元函數第15課時二次函數綜合題含近9年中考真題試題

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1、◆+◆◆二〇一九中考數學學習資料◆+◆◆ 第一部分 考點研究 第三單元 函數 第15課時 二次函數綜合題 浙江近9年中考真題精選 命題點　　1　與一次函數結合(杭州必考) 1．(2013杭州20題10分)已知拋物線y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交于點A、B(點A、B在原點O兩側)，與y軸相交于點C，且點A、C在一次函數y2＝x＋n的圖象上，線段AB長為16，線段OC長為8，當y1隨著x的增大而減小時，求自變量x的取值范圍． 2．(2014杭州23題12分)復習課中，教師給出關于x的函數y＝2kx2－(4k＋1)x－k＋1(k是實數)． 教師：請獨立思考，并把探索

2、發(fā)現(xiàn)的與該函數有關的結論(性質)寫到黑板上． 學生思考后，黑板上出現(xiàn)了一些結論．教師作為活動一員，又補充一些結論，并從中選擇如下四條： ①存在函數，其圖象經過(1，0)點； ②函數圖象與坐標軸總有三個不同的交點； ③當x>1時，不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減??； ④若函數有最大值，則最大值必為正數，若函數有最小值，則最小值必為負數． 教師：請你分別判斷四條結論的真假，并給出理由．最后簡單寫出解決問題時所用的數學方法． 3．(2016杭州22題12分)已知函數y1＝ax2＋bx，y2＝ax＋b(ab≠0)．在同一平面直角坐標系中． (1)若函數y1的圖象過點(－1，0

3、)，函數y2的圖象過點(1，2)，求a，b的值； (2)若函數y2的圖象經過y1的圖象的頂點． ①求證：2a＋b＝0； ②當1

4、州2012.24) 5．(2012溫州24題14分)如圖，經過原點的拋物線y＝－x2＋2mx(m>0)與x軸的另一個交點為A.過點P(1，m)作直線PM⊥x軸于點M，交拋物線于點B.記點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C(B、C不重合)．連接CB，CP. (1)當m＝3時，求點A的坐標及BC的長； (2)當m>1時，連接CA，問m為何值時CA⊥CP? (3)過點P作PE⊥PC且PE＝PC，問是否存在m，使得點E落在坐標軸上？若存在，求出所有滿足要求的m的值，并求出相對應的點E坐標；若不存在，請說明理由． 第5題圖 類型二　與角度有關的綜合題(紹興2考) 6．(2013紹興24題1

5、4分)拋物線y＝(x－3)(x＋1)與x軸交于A，B兩點(點A在點B左側)，與y軸交于點C，點D為頂點． (1)求點B及點D的坐標； (2)連接BD，CD，拋物線的對稱軸與x軸交于點E. ①若線段BD上一點P，使∠DCP＝∠BDE，求點P的坐標； ②若拋物線上一點M，作MN⊥CD，交直線CD于點N，使∠CMN＝∠BDE，求點M的坐標． 類型三　與面積有關的綜合題(溫州2考) 7．(2016溫州23題10分)如圖，拋物線y＝x2－mx－3(m>0)交y軸于點C，CA⊥y軸，交拋物線于點A，點B在拋物線上，且在第一象限內，BE⊥y軸，交y軸于點E，交AO的延長線于點D，BE＝2AC

6、. (1)用含m的代數式表示BE的長； (2)當m＝時，判斷點D是否落在拋物線上，并說明理由； (3)作AG∥y軸，交OB于點F，交BD于點G. ①若△DOE與△BGF的面積相等，求m的值． ②連接AE，交OB于點M.若△AMF與△BGF的面積相等，則m的值是________． 第7題圖 類型四　與三角形相似有關的綜合題 8．(2017寧波25題12分)如圖，拋物線y＝x2＋x＋c與x軸的負半軸交于點A，與y軸交于點B，連接AB，點C(6，)在拋物線上，直線AC與y軸交于點D. (1)求c的值及直線AC的函數表達式； (2)點P在x軸正半軸上，點Q在y軸正半軸上，連接P

7、Q與直線AC交于點M，連接MO并延長交AB于點N，若M為PQ的中點． ①求證：△APM∽△AON； ②設點M的橫坐標為m，求AN的長(用含m的代數式表示)． 第8題圖 答案 1．解：∵點C在一次函數y2＝x＋n的圖象上，線段OC長為8， ∴n＝8；(2分) ①當n＝8時一次函數為y2＝x＋8，y＝0時，x＝－6，求得點A的坐標為A(－6，0)， 第1題解圖① ∵拋物線y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交于點A，B(點A，B在原點O兩側)，與y軸相交于點C，且線段AB長為16， ∴這時拋物線開口向下，B(10，0)， 如解圖①所示，拋物線的

8、對稱軸是x＝2，由圖象可知：當y1隨著x的增大而減小時，自變量x的取值范圍是x≥2；(5分) ②當n＝－8時一次函數為y2＝x－8，y＝0時，x＝6，求得點A的坐標為A(6，0)， ∵拋物線y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸相交于點A，B(點A，B在原點O兩側)，與y軸相交于點C，且線段AB長為16， ∴這時拋物線開口向上，B(－10，0)， 如解圖②所示，拋物線的對稱軸是x＝－2，由圖象可知：當y1隨著x的增大而減小時，自變量x的取值范圍是x≤－2；(8分) 第1題解圖② 綜上所述，當y1隨著x的增大而減小時，自變量x的取值范圍是x≥2或x≤－2.(10分) 2．解：①

9、是真命題；②是假命題；③是假命題；④是真命題．(2分) 理由如下： ①當k＝0時，原函數變形為y＝－x＋1，當x＝1時，y＝0，即存在函數y＝－x＋1，其圖象過(1，0)點，故是真命題； ②當k＝0時，原函數變形為y＝－x＋1，圖象為直線且過第一、二、四象限，與坐標軸只有兩個不同的交點，與總有三個不同交點矛盾，故是假命題；(5分) ③由題可知當k＝1時，函數解析式為y＝2x2－5x，又x＝－＝>1時，由圖象可知當x>1時，y隨x先減小再增大，故是假命題；(8分) ④當k≠0時，y＝＝－， 當k>0時，函數圖象開口向上，y有最小值，最小值為負數； 當k<0時，函數圖象開口向下，y有

10、最大值，最大值為正數，故是真命題．(12分) 3．(1)解：由題意，得， 解得， ∴a＝1，b＝1；(3分) (2)①證明：∵函數y1的圖象的頂點坐標為(－，－)， ∴a(－)＋b＝，即b＝， ∵ab≠0，∴－b＝2a， 即證2a＋b＝0；(7分) ②解：∵b＝－2a，∴y1＝ax(x－2)，y2＝a(x－2)， ∴y1－y2＝a(x－2)(x－1)， ∵1＜x＜， ∴x－2＜0，x－1＞0，∴(x－2)(x－1)＜0， ∴當a＞0時，a(x－2)(x－1)＜0，即y1＜y2， 當a＜0時，a(x－2)(x－1)＞0，即y1＞y2.(12分) 4．解：(1)∵函數y

11、1＝(x＋a)(x－a－1)圖象經過點(1，－2)， ∴把x＝1，y＝－2代入y1＝(x＋a)(x－a－1)得，－2＝(1＋a)(－a)，(2分) 化簡得，a2＋a－2＝0，解得，a1＝－2，a2＝1， ∴y1＝x2－x－2；(4分) (2)函數y1＝(x＋a)(x－a－1)圖象在x軸的交點為(－a，0)，(a＋1，0)， ①當函數y2＝ax＋b的圖象經過點(－a，0)時， 把x＝－a，y＝0代入y2＝ax＋b中， 得a2＝b；(6分) ②當函數y2＝ax＋b的圖象經過點(a＋1，0)時， 把x＝a＋1，y＝0代入y2＝ax＋b中， 得a2＋a＝－b；(8分) (3)∵拋

12、物線y1＝(x＋a)(x－a－1)的對稱軸是直線x＝＝，m

13、于點H(如解圖①)， 第5題解圖① 由已知得∠ACP＝∠BCH＝90， ∴∠ACH＝∠PCB， 又∵∠AHC＝∠PBC＝90， ∴△ACH∽△PCB， ∴＝. ∵拋物線y＝－x2＋2mx的對稱軸為直線x＝m，其中m＞1， 又∵B，C關于對稱軸對稱， ∴BC＝2(m－1)， ∵B(1，2m－1)，P(1，m)， ∴BP＝m－1， 又∵A(2m，0)，C(2m－1，2m－1)， ∴H(2m－1，0)， ∵AH＝1，CH＝2m－1， ∴＝， ∴m＝；(7分) (3)∵B，C不重合，∴m≠1. (Ⅰ)當m＞1時，BC＝2(m－1)，PM＝m， BP＝m－1.

14、 (ⅰ)若點E在x軸上(如解圖①)， ∵∠CPE＝90， ∴∠MPE＋∠BPC＝∠MPE＋∠MEP＝90， ∴∠BPC＝∠MEP. 又∵∠CBP＝∠PME＝90，PC＝EP， ∴△BPC≌△MEP， ∴BC＝PM， ∴2(m－1)＝m， ∴m＝2，此時點E的坐標是(2，0)； (ⅱ)若點E在y軸上(如解圖②)， 第5題解圖② 過點P作PN⊥y軸于點N， 易證△BPC≌△NPE， ∴BP＝NP＝OM＝1， ∴m－1＝1， ∴m＝2， 此時點E的坐標是(0，4)；(11分) (Ⅱ)當0＜m＜1時，BC＝2(1－m)，PM＝m，BP＝1－m， (ⅰ)若點E在x

15、軸上(如解圖③)， 第5題解圖③ 易證△BPC≌△MEP， ∴BC＝PM， ∴2(1－m)＝m， ∴m＝，此時點E的坐標是(，0)；(12分) (ⅱ)若點E在y軸上(如解圖④)， 第5題解圖④ 過點P作PN⊥y軸上點N， 易證△BPC≌△NPE，∴BP＝NP＝OM＝1， ∴1－m＝1， ∴m＝0(舍去)． 綜上所述，當m＝2時，點E的坐標是(2，0)或(0，4)， 當m＝時，點E的坐標是(，0)．(14分) 6．解：(1)∵拋物線y＝(x－3)(x＋1)與x軸交于A，B兩點(點A在點B左側)， ∴當y＝0時，(x－3)(x＋1)＝0， 解得x＝3或－1，

16、 ∴點B的坐標為(3，0)． ∵y＝(x－3)(x＋1)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴頂點D的坐標為(1，－4)；(4分) (2)①∵拋物線y＝(x－3)(x＋1)＝x2－2x－3與y軸交于點C， ∴C點坐標為(0，－3)． ∵對稱軸為直線x＝1， ∴點E的坐標為(1，0)． 連接BC，過點C作CH⊥DE于H，如解圖①所示，則H點坐標為(1，－3)， 第6題解圖① ∴CH＝DH＝1， ∴∠CDH＝∠BCO＝∠BCH＝45， ∴CD＝，CB＝3，BD＝2，∴△BCD為直角三角形． 分別延長PC、DC，與x軸相交于點Q，R. ∵∠BDE＝∠DCP＝∠QCR

17、， ∠CDB＝∠CDE＋∠BDE＝45＋∠DCP， ∠QCO＝∠RCO＋∠QCR＝45＋∠DCP， ∴∠CDB＝∠QCO， ∴△BCD∽△QOC， ∴＝＝， ∴OQ＝3OC＝9，即Q(－9，0)． ∴直線CQ的解析式為y＝－x－3， 直線BD的解析式為y＝2x－6， 由方程組， 解得， ∴點P的坐標為(，－)；(9分) ②(Ⅰ)當點M在對稱軸右側時， 若點N在射線CD上，如解圖②所示，延長MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G. 第6題解圖② ∵∠CMN＝∠BDE，∠CNM＝∠BED＝90， ∴△MCN∽△DBE， ∴＝＝， ∵MN＝2CN， 設C

18、N＝a，則MN＝2a， ∵∠CDE＝∠DCF＝45， ∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形， ∴NF＝CN＝a，CF＝a， ∴MF＝MN＋NF＝3a， ∴MG＝FG＝a， ∴CG＝FG－FC＝a， ∴M(a，－3＋a)， 代入拋物線y＝(x－3)(x＋1)，解得a＝， ∴M(，－)， 若點N在射線DC上，如解圖③所示，MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G. 第6題解圖③ ∵∠CMN＝∠BDE，∠CNM＝∠BED＝90， ∴△MCN∽△DBE， ∴＝＝， ∴MN＝2CN， 設CN＝a，則MN＝2a. ∵∠CDE＝45， ∴△CNF，△MGF均為等腰

19、直角三角形， ∴NF＝CN＝a，CF＝a， ∴MF＝MN－NF＝a， ∴MG＝FG＝a， ∴CG＝FG＋FC＝a， ∴M(a，－3＋a)， 代入拋物線y＝(x－3)(x＋1)， 解得a＝5， ∴M(5，12)； (Ⅱ)當點M在對稱軸左側時， ∵∠CMN＝∠BDE＜45， ∴∠MCN＞45， 而拋物線左側任意一點K，都有∠KCN＜45， ∴點M不存在． 綜上可知，點M坐標為(，－)或(5，12)．(14分) 7．解：(1)∵拋物線的對稱軸是x＝， ∴AC＝m， ∴BE＝2AC＝2m；(3分) (2)當m＝ 時，點D落在拋物線上，理由如下： ∵m＝， ∴AC

20、＝，BE＝2，y＝x2－x－3， 把x＝2代入y＝x2－x－3，得 y＝(2)2－2－3＝3， ∴OE＝3＝OC， ∵∠DEO＝∠ACO＝90，∠DOE＝∠AOC， ∴△OED≌△OCA， ∴DE＝AC＝， ∴D(－，3)， ∴把x＝－代入y＝x2－x－3，得y＝(－)2－(－)－3＝3， ∴點D落在拋物線上；(7分) (3)①由(1)得BE＝2m，則點B的橫坐標為2m，如解圖①，當x＝2m時，y＝2m2－3，則點B的縱坐標為2m2－3， ∴OE＝2m2－3. 第7題解圖① ∵AG∥y軸， ∴EG＝AC＝BE， ∴FG＝OE， ∵S△DOE＝S△BGF，

21、即DEOE＝BGFG， ∴DE＝BG＝AC. ∵∠DOE＝∠AOC， ∴tan∠DOE＝tan∠AOC， ∵∠DEO＝∠ACO＝90， ∴＝， ∴OE＝OC＝， ∴2m2－3＝，∴m＝， 又∵m>0， ∴m＝；(8分) ②.(10分) 【解法提示】由①知B(2m，2m2－3)，E(0，2m2－3)，A(m，－3)， ∵G是BE的中點， ∴GF＝m2－，則AF＝m2＋， 易得直線BO的解析式為y＝x， 設直線AE的解析式為y＝k1x＋b， 則， 解得， ∴直線AE的解析式為y＝－2mx＋2m2－3. 聯(lián)立得， 解得x＝， ∴點M的橫坐標為. 如解圖②，

22、過點M作MN⊥AG于點N， 第7題解圖② 則MN＝m－＝， 由S△BGF＝S△AMF得MNAF＝GBGF， 即(m2＋)＝m(m2－)， 解得m＝，或m＝0(舍去)，或m＝－(舍去)． 8．解：(1)把點C(6，)代入y＝x2＋x＋c，得＝9＋＋c， 解得c＝－3，(1分) ∴y＝x2＋x－3， 當y＝0時，x2＋x－3＝0， 解得x1＝－4，x2＝3， ∴A(－4，0)，(2分) 設直線AC的函數表達式為y＝kx＋b(k≠0)， 把A(－4，0)，C(6，)代入，得，解得， ∴直線AC的函數表達式為y＝x＋3；(4分) (2)①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝. 在Rt△AOD中，tan∠OAD＝＝， ∴∠OAB＝∠OAD，(6分) ∵在Rt△POQ中，M為PQ中點， ∴OM＝MP， ∴∠MOP＝∠MPO， ∵∠MOP＝∠AON， ∴∠APM＝∠AON， ∴△APM∽△AON；(8分) ②如解圖，過點M作ME⊥x軸于點E. 第8題解圖 又∵OM＝MP， ∴OE＝EP， ∵點M橫坐標為m， ∴AE＝m＋4，AP＝2m＋4，(9分) ∵tan∠OAD＝， ∴cos∠EAM＝cos∠OAD＝， ∴AM＝AE＝，(10分) ∵△APM∽△AON， ∴＝，(11分) ∴AN＝＝.(12分)