【名校資料】浙江省中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三單元函數(shù)第15課時(shí)二次函數(shù)綜合題含近9年中考真題試題

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1、◆+◆◆二〇一九中考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 第一部分 考點(diǎn)研究 第三單元 函數(shù) 第15課時(shí) 二次函數(shù)綜合題 浙江近9年中考真題精選 命題點(diǎn)  1 與一次函數(shù)結(jié)合(杭州必考) 1.(2013杭州20題10分)已知拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A、B在原點(diǎn)O兩側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)A、C在一次函數(shù)y2=x+n的圖象上,線段AB長(zhǎng)為16,線段OC長(zhǎng)為8,當(dāng)y1隨著x的增大而減小時(shí),求自變量x的取值范圍. 2.(2014杭州23題12分)復(fù)習(xí)課中,教師給出關(guān)于x的函數(shù)y=2kx2-(4k+1)x-k+1(k是實(shí)數(shù)). 教師:請(qǐng)獨(dú)立思考,并把探索

2、發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關(guān)的結(jié)論(性質(zhì))寫到黑板上. 學(xué)生思考后,黑板上出現(xiàn)了一些結(jié)論.教師作為活動(dòng)一員,又補(bǔ)充一些結(jié)論,并從中選擇如下四條: ①存在函數(shù),其圖象經(jīng)過(1,0)點(diǎn); ②函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸總有三個(gè)不同的交點(diǎn); ③當(dāng)x>1時(shí),不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減小; ④若函數(shù)有最大值,則最大值必為正數(shù),若函數(shù)有最小值,則最小值必為負(fù)數(shù). 教師:請(qǐng)你分別判斷四條結(jié)論的真假,并給出理由.最后簡(jiǎn)單寫出解決問題時(shí)所用的數(shù)學(xué)方法. 3.(2016杭州22題12分)已知函數(shù)y1=ax2+bx,y2=ax+b(ab≠0).在同一平面直角坐標(biāo)系中. (1)若函數(shù)y1的圖象過點(diǎn)(-1,0

3、),函數(shù)y2的圖象過點(diǎn)(1,2),求a,b的值; (2)若函數(shù)y2的圖象經(jīng)過y1的圖象的頂點(diǎn). ①求證:2a+b=0; ②當(dāng)1

4、州2012.24) 5.(2012溫州24題14分)如圖,經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=-x2+2mx(m>0)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A.過點(diǎn)P(1,m)作直線PM⊥x軸于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)B.記點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(B、C不重合).連接CB,CP. (1)當(dāng)m=3時(shí),求點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長(zhǎng); (2)當(dāng)m>1時(shí),連接CA,問m為何值時(shí)CA⊥CP? (3)過點(diǎn)P作PE⊥PC且PE=PC,問是否存在m,使得點(diǎn)E落在坐標(biāo)軸上?若存在,求出所有滿足要求的m的值,并求出相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 第5題圖 類型二 與角度有關(guān)的綜合題(紹興2考) 6.(2013紹興24題1

5、4分)拋物線y=(x-3)(x+1)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為頂點(diǎn). (1)求點(diǎn)B及點(diǎn)D的坐標(biāo); (2)連接BD,CD,拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E. ①若線段BD上一點(diǎn)P,使∠DCP=∠BDE,求點(diǎn)P的坐標(biāo); ②若拋物線上一點(diǎn)M,作MN⊥CD,交直線CD于點(diǎn)N,使∠CMN=∠BDE,求點(diǎn)M的坐標(biāo). 類型三 與面積有關(guān)的綜合題(溫州2考) 7.(2016溫州23題10分)如圖,拋物線y=x2-mx-3(m>0)交y軸于點(diǎn)C,CA⊥y軸,交拋物線于點(diǎn)A,點(diǎn)B在拋物線上,且在第一象限內(nèi),BE⊥y軸,交y軸于點(diǎn)E,交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,BE=2AC

6、. (1)用含m的代數(shù)式表示BE的長(zhǎng); (2)當(dāng)m=時(shí),判斷點(diǎn)D是否落在拋物線上,并說明理由; (3)作AG∥y軸,交OB于點(diǎn)F,交BD于點(diǎn)G. ①若△DOE與△BGF的面積相等,求m的值. ②連接AE,交OB于點(diǎn)M.若△AMF與△BGF的面積相等,則m的值是________. 第7題圖 類型四 與三角形相似有關(guān)的綜合題 8.(2017寧波25題12分)如圖,拋物線y=x2+x+c與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,連接AB,點(diǎn)C(6,)在拋物線上,直線AC與y軸交于點(diǎn)D. (1)求c的值及直線AC的函數(shù)表達(dá)式; (2)點(diǎn)P在x軸正半軸上,點(diǎn)Q在y軸正半軸上,連接P

7、Q與直線AC交于點(diǎn)M,連接MO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)N,若M為PQ的中點(diǎn). ①求證:△APM∽△AON; ②設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,求AN的長(zhǎng)(用含m的代數(shù)式表示). 第8題圖 答案 1.解:∵點(diǎn)C在一次函數(shù)y2=x+n的圖象上,線段OC長(zhǎng)為8, ∴n=8;(2分) ①當(dāng)n=8時(shí)一次函數(shù)為y2=x+8,y=0時(shí),x=-6,求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(-6,0), 第1題解圖① ∵拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A,B在原點(diǎn)O兩側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C,且線段AB長(zhǎng)為16, ∴這時(shí)拋物線開口向下,B(10,0), 如解圖①所示,拋物線的

8、對(duì)稱軸是x=2,由圖象可知:當(dāng)y1隨著x的增大而減小時(shí),自變量x的取值范圍是x≥2;(5分) ②當(dāng)n=-8時(shí)一次函數(shù)為y2=x-8,y=0時(shí),x=6,求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(6,0), ∵拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A,B在原點(diǎn)O兩側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C,且線段AB長(zhǎng)為16, ∴這時(shí)拋物線開口向上,B(-10,0), 如解圖②所示,拋物線的對(duì)稱軸是x=-2,由圖象可知:當(dāng)y1隨著x的增大而減小時(shí),自變量x的取值范圍是x≤-2;(8分) 第1題解圖② 綜上所述,當(dāng)y1隨著x的增大而減小時(shí),自變量x的取值范圍是x≥2或x≤-2.(10分) 2.解:①

9、是真命題;②是假命題;③是假命題;④是真命題.(2分) 理由如下: ①當(dāng)k=0時(shí),原函數(shù)變形為y=-x+1,當(dāng)x=1時(shí),y=0,即存在函數(shù)y=-x+1,其圖象過(1,0)點(diǎn),故是真命題; ②當(dāng)k=0時(shí),原函數(shù)變形為y=-x+1,圖象為直線且過第一、二、四象限,與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)不同的交點(diǎn),與總有三個(gè)不同交點(diǎn)矛盾,故是假命題;(5分) ③由題可知當(dāng)k=1時(shí),函數(shù)解析式為y=2x2-5x,又x=-=>1時(shí),由圖象可知當(dāng)x>1時(shí),y隨x先減小再增大,故是假命題;(8分) ④當(dāng)k≠0時(shí),y==-, 當(dāng)k>0時(shí),函數(shù)圖象開口向上,y有最小值,最小值為負(fù)數(shù); 當(dāng)k<0時(shí),函數(shù)圖象開口向下,y有

10、最大值,最大值為正數(shù),故是真命題.(12分) 3.(1)解:由題意,得, 解得, ∴a=1,b=1;(3分) (2)①證明:∵函數(shù)y1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-,-), ∴a(-)+b=,即b=, ∵ab≠0,∴-b=2a, 即證2a+b=0;(7分) ②解:∵b=-2a,∴y1=ax(x-2),y2=a(x-2), ∴y1-y2=a(x-2)(x-1), ∵1<x<, ∴x-2<0,x-1>0,∴(x-2)(x-1)<0, ∴當(dāng)a>0時(shí),a(x-2)(x-1)<0,即y1<y2, 當(dāng)a<0時(shí),a(x-2)(x-1)>0,即y1>y2.(12分) 4.解:(1)∵函數(shù)y

11、1=(x+a)(x-a-1)圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,-2), ∴把x=1,y=-2代入y1=(x+a)(x-a-1)得,-2=(1+a)(-a),(2分) 化簡(jiǎn)得,a2+a-2=0,解得,a1=-2,a2=1, ∴y1=x2-x-2;(4分) (2)函數(shù)y1=(x+a)(x-a-1)圖象在x軸的交點(diǎn)為(-a,0),(a+1,0), ①當(dāng)函數(shù)y2=ax+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-a,0)時(shí), 把x=-a,y=0代入y2=ax+b中, 得a2=b;(6分) ②當(dāng)函數(shù)y2=ax+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(a+1,0)時(shí), 把x=a+1,y=0代入y2=ax+b中, 得a2+a=-b;(8分) (3)∵拋

12、物線y1=(x+a)(x-a-1)的對(duì)稱軸是直線x==,m

13、于點(diǎn)H(如解圖①), 第5題解圖① 由已知得∠ACP=∠BCH=90, ∴∠ACH=∠PCB, 又∵∠AHC=∠PBC=90, ∴△ACH∽△PCB, ∴=. ∵拋物線y=-x2+2mx的對(duì)稱軸為直線x=m,其中m>1, 又∵B,C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱, ∴BC=2(m-1), ∵B(1,2m-1),P(1,m), ∴BP=m-1, 又∵A(2m,0),C(2m-1,2m-1), ∴H(2m-1,0), ∵AH=1,CH=2m-1, ∴=, ∴m=;(7分) (3)∵B,C不重合,∴m≠1. (Ⅰ)當(dāng)m>1時(shí),BC=2(m-1),PM=m, BP=m-1.

14、 (ⅰ)若點(diǎn)E在x軸上(如解圖①), ∵∠CPE=90, ∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90, ∴∠BPC=∠MEP. 又∵∠CBP=∠PME=90,PC=EP, ∴△BPC≌△MEP, ∴BC=PM, ∴2(m-1)=m, ∴m=2,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,0); (ⅱ)若點(diǎn)E在y軸上(如解圖②), 第5題解圖② 過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N, 易證△BPC≌△NPE, ∴BP=NP=OM=1, ∴m-1=1, ∴m=2, 此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(0,4);(11分) (Ⅱ)當(dāng)0<m<1時(shí),BC=2(1-m),PM=m,BP=1-m, (ⅰ)若點(diǎn)E在x

15、軸上(如解圖③), 第5題解圖③ 易證△BPC≌△MEP, ∴BC=PM, ∴2(1-m)=m, ∴m=,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(,0);(12分) (ⅱ)若點(diǎn)E在y軸上(如解圖④), 第5題解圖④ 過點(diǎn)P作PN⊥y軸上點(diǎn)N, 易證△BPC≌△NPE,∴BP=NP=OM=1, ∴1-m=1, ∴m=0(舍去). 綜上所述,當(dāng)m=2時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,0)或(0,4), 當(dāng)m=時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)是(,0).(14分) 6.解:(1)∵拋物線y=(x-3)(x+1)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)), ∴當(dāng)y=0時(shí),(x-3)(x+1)=0, 解得x=3或-1,

16、 ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0). ∵y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4);(4分) (2)①∵拋物線y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3與y軸交于點(diǎn)C, ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3). ∵對(duì)稱軸為直線x=1, ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,0). 連接BC,過點(diǎn)C作CH⊥DE于H,如解圖①所示,則H點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3), 第6題解圖① ∴CH=DH=1, ∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45, ∴CD=,CB=3,BD=2,∴△BCD為直角三角形. 分別延長(zhǎng)PC、DC,與x軸相交于點(diǎn)Q,R. ∵∠BDE=∠DCP=∠QCR

17、, ∠CDB=∠CDE+∠BDE=45+∠DCP, ∠QCO=∠RCO+∠QCR=45+∠DCP, ∴∠CDB=∠QCO, ∴△BCD∽△QOC, ∴==, ∴OQ=3OC=9,即Q(-9,0). ∴直線CQ的解析式為y=-x-3, 直線BD的解析式為y=2x-6, 由方程組, 解得, ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,-);(9分) ②(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí), 若點(diǎn)N在射線CD上,如解圖②所示,延長(zhǎng)MN交y軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G. 第6題解圖② ∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90, ∴△MCN∽△DBE, ∴==, ∵M(jìn)N=2CN, 設(shè)C

18、N=a,則MN=2a, ∵∠CDE=∠DCF=45, ∴△CNF,△MGF均為等腰直角三角形, ∴NF=CN=a,CF=a, ∴MF=MN+NF=3a, ∴MG=FG=a, ∴CG=FG-FC=a, ∴M(a,-3+a), 代入拋物線y=(x-3)(x+1),解得a=, ∴M(,-), 若點(diǎn)N在射線DC上,如解圖③所示,MN交y軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)M作MG⊥y軸于點(diǎn)G. 第6題解圖③ ∵∠CMN=∠BDE,∠CNM=∠BED=90, ∴△MCN∽△DBE, ∴==, ∴MN=2CN, 設(shè)CN=a,則MN=2a. ∵∠CDE=45, ∴△CNF,△MGF均為等腰

19、直角三角形, ∴NF=CN=a,CF=a, ∴MF=MN-NF=a, ∴MG=FG=a, ∴CG=FG+FC=a, ∴M(a,-3+a), 代入拋物線y=(x-3)(x+1), 解得a=5, ∴M(5,12); (Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí), ∵∠CMN=∠BDE<45, ∴∠MCN>45, 而拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K,都有∠KCN<45, ∴點(diǎn)M不存在. 綜上可知,點(diǎn)M坐標(biāo)為(,-)或(5,12).(14分) 7.解:(1)∵拋物線的對(duì)稱軸是x=, ∴AC=m, ∴BE=2AC=2m;(3分) (2)當(dāng)m= 時(shí),點(diǎn)D落在拋物線上,理由如下: ∵m=, ∴AC

20、=,BE=2,y=x2-x-3, 把x=2代入y=x2-x-3,得 y=(2)2-2-3=3, ∴OE=3=OC, ∵∠DEO=∠ACO=90,∠DOE=∠AOC, ∴△OED≌△OCA, ∴DE=AC=, ∴D(-,3), ∴把x=-代入y=x2-x-3,得y=(-)2-(-)-3=3, ∴點(diǎn)D落在拋物線上;(7分) (3)①由(1)得BE=2m,則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2m,如解圖①,當(dāng)x=2m時(shí),y=2m2-3,則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2m2-3, ∴OE=2m2-3. 第7題解圖① ∵AG∥y軸, ∴EG=AC=BE, ∴FG=OE, ∵S△DOE=S△BGF,

21、即DEOE=BGFG, ∴DE=BG=AC. ∵∠DOE=∠AOC, ∴tan∠DOE=tan∠AOC, ∵∠DEO=∠ACO=90, ∴=, ∴OE=OC=, ∴2m2-3=,∴m=, 又∵m>0, ∴m=;(8分) ②.(10分) 【解法提示】由①知B(2m,2m2-3),E(0,2m2-3),A(m,-3), ∵G是BE的中點(diǎn), ∴GF=m2-,則AF=m2+, 易得直線BO的解析式為y=x, 設(shè)直線AE的解析式為y=k1x+b, 則, 解得, ∴直線AE的解析式為y=-2mx+2m2-3. 聯(lián)立得, 解得x=, ∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為. 如解圖②,

22、過點(diǎn)M作MN⊥AG于點(diǎn)N, 第7題解圖② 則MN=m-=, 由S△BGF=S△AMF得MNAF=GBGF, 即(m2+)=m(m2-), 解得m=,或m=0(舍去),或m=-(舍去). 8.解:(1)把點(diǎn)C(6,)代入y=x2+x+c,得=9++c, 解得c=-3,(1分) ∴y=x2+x-3, 當(dāng)y=0時(shí),x2+x-3=0, 解得x1=-4,x2=3, ∴A(-4,0),(2分) 設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b(k≠0), 把A(-4,0),C(6,)代入,得,解得, ∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y=x+3;(4分) (2)①∵在Rt△AOB中,tan∠OAB==. 在Rt△AOD中,tan∠OAD==, ∴∠OAB=∠OAD,(6分) ∵在Rt△POQ中,M為PQ中點(diǎn), ∴OM=MP, ∴∠MOP=∠MPO, ∵∠MOP=∠AON, ∴∠APM=∠AON, ∴△APM∽△AON;(8分) ②如解圖,過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E. 第8題解圖 又∵OM=MP, ∴OE=EP, ∵點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m, ∴AE=m+4,AP=2m+4,(9分) ∵tan∠OAD=, ∴cos∠EAM=cos∠OAD=, ∴AM=AE=,(10分) ∵△APM∽△AON, ∴=,(11分) ∴AN==.(12分)

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