《新課標(biāo)高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí):考點14等比數(shù)列含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新課標(biāo)高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí):考點14等比數(shù)列含解析(12頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 考點14 等比數(shù)列 1.(20xx·遼寧高考文科·3)設(shè)為等比數(shù)列的前n項和,已知,則公比q = ( ) (A)3(B)4(C)5(D)6【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式,考查等比數(shù)列的通項公式.【思路點撥】兩式相減,即可得到相鄰兩項的關(guān)系,進而可求公比q.【規(guī)范解答】選B.兩式相減可得:,.故選B.2.(20xx·遼寧高考理科·6)設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,為其前n項和.已知a2a4=1, ,則( )(A) (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的前n項和公式.【思路點撥】列出關(guān)于a1,q 的方程
2、組,解出a1,q,再利用前n項和公式求出.【規(guī)范解答】選B.根據(jù)題意可得:3.(20xx·安徽高考理科·10)設(shè)是任意等比數(shù)列,它的前項和,前項和與前項和分別為,則下列等式中恒成立的是( )(A)(B)(C)(D)【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查考生的觀察、分析、推理能力. 【思路點撥】從整體觀察,分析與,與的關(guān)系,即可得出結(jié)論. 【規(guī)范解答】選 D.設(shè)等比數(shù)列的公比為,由題意,所以,故D正確.4.(20xx·浙江高考理科·3)設(shè)為等比數(shù)列的前項和,則( )(A)11 (B)5 (C) (D)【命題立意】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式與前n
3、項和公式.【思路點撥】抓等比數(shù)列的基本量可解決本題.【規(guī)范解答】選D.設(shè)等比數(shù)列的公式為,則由得,.5.(20xx·山東高考理科·9)設(shè)是等比數(shù)列,則“”是數(shù)列是遞增數(shù)列的( )(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件【命題立意】本題考查等比數(shù)列及充分必要條件的基礎(chǔ)知識,考查了考生的推理論證能力和運算求解能力.【思路點撥】分清條件和結(jié)論再進行判斷.【規(guī)范解答】選C.若已知,則設(shè)數(shù)列的公比為,因為,所以有,解得且,所以數(shù)列是遞增數(shù)列;反之,若數(shù)列是遞增數(shù)列,則,即,所以是數(shù)列是遞增數(shù)列的充分必要條件.6.(20xx·
4、;北京高考理科·2)在等比數(shù)列中,公比.若,則m =( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)12【命題立意】本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識. 【思路點撥】利用等比數(shù)列的通項公式即可解決. 【規(guī)范解答】選C.方法一:由得.又因為,所以.因此.方法二:因為,所以.又因為,所以所以,即.7.(20xx·山東高考文科·7)設(shè)是首項大于零的等比數(shù)列,則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的( )(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件【命題立意】本題考查等比數(shù)列及充分必要條件的基礎(chǔ)知識,考查了考生的推理論證能力和運算求解能力.【思路
5、點撥】分清條件和結(jié)論再進行判斷.【規(guī)范解答】選C.若已知,則設(shè)數(shù)列的公比為,因為,所以有,又,解得所以數(shù)列是遞增數(shù)列;反之,若數(shù)列是遞增數(shù)列且,則公比,所以,即,所以是數(shù)列是遞增數(shù)列的充分必要條件.8.(20xx·廣東高考文科·4)已知數(shù)列為等比數(shù)列,是它的前n項和若=2a1,且與2的等差中項為,則S5=( )(A)35 (B)33 (C)31 (D)29【命題立意】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)以及等比數(shù)列的前項和公式.【思路點撥】由等比數(shù)列的性質(zhì)及已知條件 得出,由等差數(shù)列的性質(zhì)及已知條件得出,從而求出及.【規(guī)范解答】選.由,又 得 .所以, , .故選.9.(
6、20xx·福建高考理科·11)在等比數(shù)列 中,若公比q=4,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式= .【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的通項和前n項和公式.【思路點撥】由前3項之和等于21求出 ,進而求出通項公式.【規(guī)范解答】, 【答案】【方法技巧】另解:,10.(20xx ·海南寧夏高考·理科T17)設(shè)數(shù)列滿足,an+1-an=3·22n-1. (1)求數(shù)列的通項公式. (2)令,求數(shù)列的前n項和.【命題立意】本題主要考查了數(shù)列通項公式以及前項和的求法,解決本題的關(guān)鍵是仔細觀察形式,找到規(guī)律,利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題.【思路點撥】由給出的遞
7、推關(guān)系,求出數(shù)列的通項公式,再求數(shù)列的前n項和.【規(guī)范解答】(1)由已知,當(dāng)時,而,滿足上述公式,所以的通項公式為.(2)由可知,S 從而 得 即 .【方法技巧】利用累加法求數(shù)列的通項公式,利用錯位相減法求數(shù)列的和.11.(20xx·陜西高考理科·6)已知是公差不為零的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)求數(shù)列的前n項和.【命題立意】本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式和前項和公式的應(yīng)用,考查考生的運算求解能力【思路點撥】已知關(guān)于d的方程d【規(guī)范解答】,【方法技巧】1.在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時,“基本量法”是常用的方法,但有時靈活地運用性質(zhì),可
8、使運算簡便,而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解.2數(shù)列求通項的常見類型與方法:公式法、由遞推公式求通項,由求通項,累加法、累乘法等.3.數(shù)列求和的常用方法:公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組法、倒序相加法等.4解綜合題的成敗在于審清題目,弄懂來龍去脈,透過給定信息的表象,抓住問題的本質(zhì),揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件,明確解題方向,形成解題策略12.(20xx·北京高考文科·6)已知為等差數(shù)列,且,.(1)求的通項公式.(2)若等比數(shù)列滿足,求的前n項和公式.【命題立意】本題考查等差數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的前n項和,熟練掌握數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵.【
9、思路點撥】(1)由a3,a6可列方程解出,從而可求出通項公式;(2)求出,再求出公比q.代入等比數(shù)列的前n項和公式即可.【規(guī)范解答】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差.因為, 所以解得,所以. (2)設(shè)等比數(shù)列的公比為, 因為 所以,即=3.所以的前項和公式為.13.(20xx·福建高考文科·7)數(shù)列 中1,前n項和滿足-(n). (1)求數(shù)列的通項公式以及前n項和. (2)若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差數(shù)列,求實數(shù)t的值.【命題立意】本題考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想. 【思路點撥】第一步先
10、求的通項,可知為等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的前n項和求解出;第二步利用等差中項列出方程求出t.【規(guī)范解答】 ( 1 ) 由得,又,故,從而.(2)由( 1 ) 從而由S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差數(shù)列可得解得.【方法技巧】要求數(shù)列通項公式,由題目提供的是一個遞推公式,如何通過遞推公式來求數(shù)列的通項.題目要求的是項的問題,這就涉及有關(guān)“項”與“和”如何轉(zhuǎn)化的問題.一般地,含有的遞推關(guān)系式,常利用化“和”為“項”.14.(20xx·湖南高考文科·20)給出下面的數(shù)表序列:其中表n(n=1,2,3 )有n行,第1行的n個數(shù)是1,3,5,2n-1,從第2
11、行起,每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.(1)寫出表4,驗證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列,并將結(jié)論推廣到表n(n3)(不要求證明).(2)每個數(shù)列中最后一行都只有一個數(shù),它們構(gòu)成數(shù)列1,4,12,記此數(shù)列為 求和:【命題立意】以數(shù)列為背景考查學(xué)生的觀察、歸納和總結(jié)的能力.【思路點撥】在第(2)問中首先應(yīng)得到數(shù)列的通項公式,再根據(jù)通項公式?jīng)Q定求和的方法.【規(guī)范解答】 (1) 表4為1 3 5 74 8 1212 2032它的第1,2,3,4行中的平均數(shù)分別是4,8,16,32,它們構(gòu)成首項為4,公比為2的等比數(shù)列.將這一結(jié)論推廣到表n(n3),即表n(n3)各行中的數(shù)的平
12、均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n,公比為2的等比數(shù)列.簡證如下(對考生不作要求):首先,表n(n3)各行中的第一行,1,3,5,2n-1是等差數(shù)列,其平均數(shù)為;其次,若表n的第k(1kn-1)行a1 ,a2 ,an-k+1 是等差數(shù)列,則它的第k+1行a1+a2,a2+a3,an-k+an-k+1,也是等差數(shù)列.由等差數(shù)列的性質(zhì)知,表n的第k行中的數(shù)的平均數(shù)與第k+1行中的數(shù)的平均數(shù)分別是由此可知,表n(n3)各行中的數(shù)都成等差數(shù)列,且各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n,公比為2的等比數(shù)列.(2)表n的第一行是1,3,5,2n-1,其平均數(shù)是由(1)知,它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上
13、到下的順序構(gòu)成首項為n,公比為2的等比數(shù)列,于是,表n中最后一行的唯一一個數(shù)為bn=n·2n-1.因此,故.【方法技巧】研究數(shù)列要抓住變化規(guī)律.15.(20xx·天津高考理科·22)在數(shù)列中,且對任意.,成等差數(shù)列,其公差為.(1)若=,證明,成等比數(shù)列().(2)若對任意,成等比數(shù)列,其公比為.設(shè)q11,證明是等差數(shù)列;若a2=2,證明【命題立意】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項公式,前n項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識,考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.【思路點撥】利用等差、等比數(shù)列的定義證明.【規(guī)范解答】
14、(1)由題設(shè),可得.所以=2k(k+1),由=0,得于是.所以成等比數(shù)列.(2)方法一:由成等差數(shù)列,及成等比數(shù)列,得,當(dāng)1時,可知1,k所以是等差數(shù)列,公差為1.,可得,從而=1.由有所以因此,以下分兩種情況進行討論:(i)當(dāng)n為偶數(shù)時,設(shè)n=2m()若m=1,則.若m2,則+所以(ii)當(dāng)n為奇數(shù)時,設(shè)n=2m+1()所以從而···綜合(i)(ii)可知,對任意,有.方法二:由題設(shè),可得所以由可知.可得,所以是等差數(shù)列,公差為1.因為所以.所以,從而,.于是,由(1)可知是公差為1的等差數(shù)列.由等差數(shù)列的通項公式可得= ,故.從而.所以由,可得.于是,由(1)
15、可知以下同方法一.16.(20xx·湖南高考理科·21)數(shù)列中,是函數(shù)的極小值點.(1)當(dāng)a=0時,求通項. (2)是否存在a,使數(shù)列是等比數(shù)列?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.【命題立意】以三次函數(shù)為載體引出數(shù)列再考查數(shù)列,考查分類討論思想.【思路點撥】由一元三次函數(shù)極小值的求法,引出數(shù)列,進一步研究數(shù)列. 【規(guī)范解答】(1)易知令若3an<n2,則 當(dāng)x<3an時,fn(x)>0, fn(x)單調(diào)遞增;當(dāng)3an<x<n2時,fn(x)<0, fn(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>n2時,fn(x)>0, fn(x)單調(diào)遞
16、增.故fn(x)在x=n2取得極小值.若3an>n2,仿可得,fn(x)在x=3an取得極小值.若3an=n2,則f n(x)0, fn(x)無極值.當(dāng)a=0時,a1=0,則3a1<12.由知, a2=12=1.因3a2=3<22,則由知,a3=22=4.因為3a3=12>32,則由知,a4=3a3=3×4.又因為3a4=36>42,則由知,a5=3a4=32×4.由此猜測:當(dāng)n3時,an=4×3n-3.下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n3時,3an>n2.事實上,當(dāng)n=3時,由前面的討論知結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k3)時,3ak&g
17、t;k2成立,則由知,ak+1=3ak>k2,從而3ak+1-(k+1)2>3k2-(k+1)2=2k(k-2)+2k-1>0,所以3ak+1>(k+1)2.故當(dāng)n3時,3an>n2成立.于是由知,當(dāng)n3時,an+1=3an,而a3=4,因此an=4×3n-3.綜上所述,當(dāng)a=0時,a1=0,a2=1, an=4×3n-3(n3).(2)存在a,使數(shù)列an是等比數(shù)列.事實上,由知,若對任意的n,都有3an>n2,則an+1=3an.即數(shù)列an是首項為a,公比為3的等比數(shù)列,且an=a·3n-1.而要使3an>n2,即a·3n>n2對一切n記bn=令y=在2,+)上單調(diào)遞減.故當(dāng)n2時,數(shù)列bn單調(diào)遞減,即數(shù)列bn中最大項為b2=當(dāng)a<綜上所述,存在a,使數(shù)列an是等比數(shù)列,且a的取值范圍是(【方法技巧】處理復(fù)雜函數(shù)的常用步驟:求導(dǎo)數(shù),解方程,列表,求函數(shù)在關(guān)鍵點的極限,作出圖象,按要求解題.證明一個數(shù)列是等比數(shù)列,要使一個數(shù)列是等比數(shù)列,判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列常用的方法有:定義法,前三項再檢驗法等.