新課標(biāo)高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)：考點(diǎn)6導(dǎo)數(shù)、定積分含解析

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1、 考點(diǎn)6 導(dǎo)數(shù)、定積分 1.（20xx ·海南高考理科·T3）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）（A） （B） （C） （D）【命題立意】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行求解.【思路點(diǎn)撥】先求出導(dǎo)函數(shù)，解出斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方程.【規(guī)范解答】選A.因?yàn)?，所以，在點(diǎn)處的切線斜率，所以，切線方程為，即，故選A.2.（20xx·山東高考文科·8）已知某生產(chǎn)廠家的年利潤（單位：萬元）與年產(chǎn)量（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為（ ）(A) 13萬件 (B) 11萬件(C) 9萬件 (D) 7萬件【命

2、題立意】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，考查了考生的分析問題解決問題的能力和運(yùn)算求解能力.【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.【規(guī)范解答】選C.,令得或（舍去），當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)函數(shù)有極大值，也是最大值，故選C.3.（20xx·山東高考理科·7）由曲線y=,y=圍成的封閉圖形面積為（ ）（A）(B) (C) (D) 【命題立意】本題考查定積分的基礎(chǔ)知識，由定積分求曲線圍成封閉圖形的面積,考查了考生的想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.【思路點(diǎn)撥】先求出曲線y=,y=的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用定積分求面積.【規(guī)范解答】選A.由題意得: 曲線y=,y=的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，(

3、1,1)，故所求封閉圖形的面積為,故選A.4.（20xx·遼寧高考理科·10）已知點(diǎn)P在曲線y=上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（ ）(A)0,) (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了基本等式，函數(shù)的值域，直線的傾斜角與斜率.【思路點(diǎn)撥】先求導(dǎo)數(shù)的值域，即tan的范圍，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)求的范圍.【規(guī)范解答】選D.，5.（20xx·湖南高考理科·4）等于（ ）(A) (B) (C) (D)【命題立意】考查積分的概念和基本運(yùn)算.【思路點(diǎn)撥】記住的原函數(shù).【規(guī)范解答】選D .=(lnx+c) =(ln4+c)

4、-(ln2+c)=ln2.【方法技巧】關(guān)鍵是記住被積函數(shù)的原函數(shù).6.（20xx·江蘇高考·8）函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,，若a1=16，則a1+a3+a5的值是_.【命題立意】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的切線方程以及數(shù)列的通項(xiàng)等內(nèi)容.【思路點(diǎn)撥】先由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線的斜率，然后求得切線方程，再由，即可求得切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).【規(guī)范解答】由y=x2(x>0)得，所以函數(shù)y=x2(x>0)在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線方程為：當(dāng)時(shí)

5、，解得，所以.【答案】217.（20xx·江蘇高考·4）將邊長為1m正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,則S的最小值是_ _.【命題立意】 本題考查函數(shù)中的建模在實(shí)際問題中的應(yīng)用，以及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.【思路點(diǎn)撥】可設(shè)剪成的小正三角形的邊長為，然后用分別表示梯形的周長和面積，從而將S用x表示出來，利用函數(shù)的觀點(diǎn)解決.【規(guī)范解答】設(shè)剪成的小正三角形的邊長為，則：方法一：利用導(dǎo)數(shù)的方法求最小值.，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；故當(dāng)時(shí)，S取最小值是.方法二：利用函數(shù)的方法求最小值令，則：故當(dāng)時(shí)，S取最小值是.【答案】【方法技巧】函數(shù)的最值是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一，

6、高考不但在填空題中考查，還會在應(yīng)用題、函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合解答題中考查.高中階段，常見的求函數(shù)的最值的常用方法有：換元法、有界性法、數(shù)形結(jié)合法、導(dǎo)數(shù)法和基本不等式法.8.（20xx·陜西高考理科·3）從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M（x,y）,則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為 .【命題立意】本題考查積分、幾何概型概率的簡單運(yùn)算，屬送分題.【思路點(diǎn)撥】由積分求出陰影部分的面積即可求解.【規(guī)范解答】陰影部分的面積為所以點(diǎn)M取自陰影部分的概率為.【答案】9（20xx ·海南高考理科·T13）設(shè)y=f(x)為區(qū)間0,1上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0f(x) 1,可以用隨機(jī)模擬方

7、法近似計(jì)算積分,先產(chǎn)生兩組（每組N個(gè)）區(qū)間0,1上的均勻隨機(jī)數(shù),和,由此得到N個(gè)點(diǎn)（i=1,2,N）,再數(shù)出其中滿足（i=1,2,N）的點(diǎn)數(shù)，那么由隨機(jī)模擬方法可得積分的近似值為 .【命題立意】本題主要考查了定積分的幾何意義以及幾何概型的計(jì)算公式.【思路點(diǎn)撥】由隨機(jī)模擬想到幾何概型，然后結(jié)合定積分的幾何意義進(jìn)行求解.【規(guī)范解答】由題意可知，所有取值構(gòu)成的區(qū)域是一個(gè)邊長為1的正方形，而滿足的點(diǎn)落在y=f(x)、以及、圍成的區(qū)域內(nèi)，由幾何概型的計(jì)算公式可知的近似值為.【答案】10.（20xx·北京高考理科·8）已知函數(shù)()=ln(1+)-+， (0).(1)當(dāng)=2時(shí)，求曲線=(

8、)在點(diǎn)(1，(1)處的切線方程；(2)求()的單調(diào)區(qū)間.【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程及單調(diào)區(qū)間.解決本題時(shí)一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是忽視定義域.【思路點(diǎn)撥】（1）求出，再代入點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；（2）由討論的正負(fù)，從而確定單調(diào)區(qū)間.【規(guī)范解答】（1）當(dāng)時(shí)， 由于， 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為 , 即 .（2），.當(dāng)時(shí)，.所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，由，得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，故的單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，得，.所以在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是【方法

9、技巧】（1）過的切線方程為.（2）求單調(diào)區(qū)間時(shí)要在定義域內(nèi)討論的正負(fù).11.（20xx·安徽高考文科·20）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.【命題立意】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的方法，考查考生運(yùn)算能力、綜合分析問題能力和問題的化歸轉(zhuǎn)化能力.【思路點(diǎn)撥】對函數(shù)求導(dǎo)，分析導(dǎo)數(shù)的符號情況，從而確定的單調(diào)區(qū)間和極值.【規(guī)范解答】, +-0+極大值極小值,.【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值是解決函數(shù)單調(diào)性、極值問題的常用方法，簡單易行，具體操作流程如下：（1）求導(dǎo)數(shù)；（2）求方程的全部實(shí)根；（3）列表，檢查在方程的根左、右的值的符號；（4）判斷

10、單調(diào)區(qū)間和極值.12.（20xx·北京高考文科·8） 設(shè)函數(shù)，且方程的兩個(gè)根分別為1，4.（1）當(dāng)a=3且曲線過原點(diǎn)時(shí)，求的解析式；（2）若在無極值點(diǎn)，求a的取值范圍.【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的極值，二次函數(shù)等知識.【思路點(diǎn)撥】(1)由的兩個(gè)根及過原點(diǎn)，可解出；（2）是開口向上的二次函數(shù)，無極值點(diǎn)，則恒成立.【規(guī)范解答】由 得 ,因?yàn)榈膬蓚€(gè)根分別為1,4，所以（*）（1）當(dāng)時(shí)，（*）式為解得,又因?yàn)榍€過原點(diǎn)，所以,故.（2）由于a>0,所以在（-，+）內(nèi)無極值點(diǎn)等價(jià)于在（-，+）內(nèi)恒成立.由（*）式得.又,解 得即的取值范圍為【方法技巧】（1）當(dāng)在的左

11、側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)時(shí)，為極大值點(diǎn)；當(dāng)在的左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正時(shí)，為極小值點(diǎn).（2）二次函數(shù)恒成立問題可利用開口方向與判別式來解決. （0）恒大于0，則；（0）恒小于0，則；13.（20xx·安徽高考理科·17）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù). (1)求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)且時(shí)，.【命題立意】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極值、證明不等式，考查考生運(yùn)算能力、綜合分析問題能力和問題的化歸轉(zhuǎn)化能力.【思路點(diǎn)撥】(1)先分析的導(dǎo)數(shù)的符號情況，從而確定的單調(diào)區(qū)間和極值；(2) 設(shè)，把問題轉(zhuǎn)化為：求證：當(dāng)且時(shí)，.【規(guī)范解答】（1），,令，得，極小值在上單調(diào)遞減，在

12、上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，取得極小值為.（2）設(shè)，,由（1）問可知，恒成立，當(dāng)時(shí)，則0恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，即當(dāng)且時(shí)，.【方法技巧】1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決函數(shù)單調(diào)性問題的常用方法，簡單易行；2、證明不等式問題，如證，通常令，轉(zhuǎn)化為證明：.14.（20xx·天津高考文科·20）已知函數(shù)f（x）=，其中a>0. （1）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2）處的切線方程；（2）若在區(qū)間上，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.【命題立意】本小題主要考查曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力及分類討論的思

13、想方法.【思路點(diǎn)撥】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識求解曲線的切線方程及函數(shù)最值.【規(guī)范解答】（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=，f（2）=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2）處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9.（2）f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x=.以下分兩種情況討論：若，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f（x）的變化情況如下表：x0f(x)+0-f(x)極大值 當(dāng)?shù)葍r(jià)于 解不等式組得-5<a<5.因此.若a>2，則.當(dāng)x變化時(shí)，f(x),f（x）的變化情況如下表：x0f(x)+0-0+f(x)極大值極小值當(dāng)時(shí)，f（x）>0等價(jià)于即解不等式組

14、得或.因此2<a<5. 綜合（1）和（2），可知a的取值范圍為0<a<5.15.（20xx·山東高考文科·21）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性.【命題立意】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力.考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價(jià)變換思想.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；（2）直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)應(yīng)注意分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇.【規(guī)范解答】（1） 當(dāng)所以 , 因此， ,即曲線又所以曲線（2）因?yàn)?所以 , ,令當(dāng)時(shí)，所以 當(dāng)時(shí)，>

15、;0，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，<0，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，由，即 ，解得. 當(dāng)時(shí)， ， 恒成立，此時(shí)，函數(shù)在（0，+）上單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí)， ，時(shí)，,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，<0,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，由于,時(shí)，,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，<0,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減;函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù) 在上單調(diào)遞增； 函數(shù)在上單調(diào)遞減.【方法技巧】1、分類討論的原因(1)某些概念、性質(zhì)、法則、公式分類定義或分類給出；(2)數(shù)的運(yùn)算：如除法運(yùn)算中除式不為零，在實(shí)數(shù)集內(nèi)偶次方根的被

16、開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)還是負(fù)數(shù)等；(3)含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題，由參數(shù)值的不同而導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生改變；(4)在研究幾何問題時(shí)，由于圖形的變化(圖形位置不確定或形狀不確定)，引起問題的結(jié)果有多種可能.2、分類討論的原則(1)要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)；(2)對討論對象分類時(shí)要不重復(fù)、不遺漏；(3)當(dāng)討論的對象不止一種時(shí)，應(yīng)分層次進(jìn)行.3、分類討論的一般步驟(1)明確討論對象，確定對象的范圍；(2)確定統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類，做到不重不漏；(3)逐段逐類討論，獲得階段性結(jié)果；(4)歸納總結(jié)，得出結(jié)論.16. （20xx·陜西高考文科·

17、;2）已知函數(shù)（1）若曲線與曲線相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求的值及該切線的方程；（2）設(shè)函數(shù),當(dāng)存在最小值時(shí)，求其最小值的解析式；（3）對（2）中的，證明：當(dāng)時(shí)，【命題立意】本題將導(dǎo)數(shù)、不等式知識有機(jī)地結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力.【思路點(diǎn)撥】曲線與在交點(diǎn)處有相同的切線交點(diǎn)坐標(biāo)的值及該切線的方程；利用導(dǎo)數(shù)法求的最小值的解析式利用單調(diào)性證明（3）.【規(guī)范解答】（1） 兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（e2,e），切線的斜率為所以切線的方程為（2）由已知條件知當(dāng)>0

18、時(shí)，令,解得=,所以當(dāng)0 < < 時(shí)，h(x)在（0，）上遞減；當(dāng)x>時(shí)，在上遞增.所以x=是在（0， + ）上的唯一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是的最小值點(diǎn).當(dāng)a  0時(shí)，在（0，+）遞增，無最小值.故（3）由（2）知由由所以所以又所以當(dāng)時(shí)，17.（20xx·陜西高考理科·2）已知函數(shù) （1）若曲線與曲線相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求的值及該切線的方程；（2）設(shè)函數(shù),當(dāng)存在最小值時(shí)，求其最小值的解析式；（3）對（2）中的和任意的，證明：【命題立意】本題將導(dǎo)數(shù)、不等式知識有機(jī)地結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)

19、的最值問題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力.【思路點(diǎn)撥】曲線與在交點(diǎn)處有相同的切線交點(diǎn)坐標(biāo)的值及該切線的方程；由利用導(dǎo)數(shù)法求的最小值的解析式利用基本不等式證明（3）.【規(guī)范解答】（1） 兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為（e2,e），切線的斜率為所以切線的方程為（2）由已知條件知當(dāng)>0時(shí)，令,解得=,所以當(dāng)0 < < 時(shí)，h(x)在（0，）上遞減；當(dāng)x>時(shí)，在上遞增.所以x=是在（0， + ）上的唯一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是的最小值點(diǎn).當(dāng)a0時(shí)，在（0，+）遞增，無最小值.故（3）由（2）知綜上可得：【方法技巧】不

20、等式的證明方法1證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法要依據(jù)題設(shè)、結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)2在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法通過等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過一系列的運(yùn)算而導(dǎo)出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч?，為溝通?lián)系的途徑，證明時(shí)往往聯(lián)合使用分析法綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達(dá)到欲證的目的18.（20xx·

21、;湖南高考理科·4）已知函數(shù)對任意的，恒有.（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若對滿足題設(shè)條件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.【命題立意】以二次函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)，不等式的證明，消元等知識.考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想.【思路點(diǎn)撥】（1）在對任意的，恒有下可以得到b,c的關(guān)系，目標(biāo)是證明當(dāng)時(shí)，其實(shí)是尋找條件和目標(biāo)的關(guān)系，連接的紐帶是b和c的關(guān)系.（2）恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，而且是二元函數(shù)的最值的求法，沒有等式的條件下常常用整體消元.【規(guī)范解答】（1）易知f(x)=2x+b.由題設(shè)，對任意的x恒成立，所以(b-2)2-4(c-b)0,從而c于是c1，且c|b|,因此2c-b=c+(c

22、-b)>0.故當(dāng)x0時(shí)，有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)0.即當(dāng)x0時(shí)，.(2)由（1）知，c|b|時(shí)，有M當(dāng)c=|b|時(shí)，由（1）知，b=±2,c=2.此時(shí)f(c)-f(b)=-8或0，c2-b2=0,從而f(c)-f(b)0，M無最小值.綜上所述，M的最小值為.【方法技巧】求最值是高考中重點(diǎn)也是難點(diǎn).解題的思路是，首先看變量的個(gè)數(shù)，如果是三個(gè)變量常有三條路，一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元轉(zhuǎn)化為二元再轉(zhuǎn)化為一元，三是有時(shí)利用幾何背景解題.如果是兩個(gè)變量常常有三條路可走，一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，三是如果

23、條件是不等式，常常也可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃.如果是一個(gè)變量，常用方法：基本函數(shù)模型，單調(diào)性法和導(dǎo)數(shù)法.19.（20xx·遼寧高考文科·21）已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)a-2，證明：對任意x1,x2(0,+)，|f(x1)-f(x2)|4|x1-x2|.【命題立意】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，考查了分類討論、轉(zhuǎn)化等思想方法以及運(yùn)算推理能力.【思路點(diǎn)撥】（1）求導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)分類，討論導(dǎo)數(shù)的符號，判斷單調(diào)性， （2）轉(zhuǎn)化為等價(jià)命題，構(gòu)造新函數(shù)g(x)=f(x)+4x,通過g(x)的單調(diào)性證明.【規(guī)范解答】

24、【方法技巧】1.討論函數(shù)的單調(diào)性要明確函數(shù)的定義域，一般用導(dǎo)數(shù)的方法，對參數(shù)分類做到不重不漏.2、直接證明一個(gè)命題，不好證時(shí)可考慮證明它的等價(jià)命題.20.（20xx·遼寧高考理科·21）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè).如果對任意，求的取值范圍.【命題立意】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，考查了分類討論、轉(zhuǎn)化等思想方法以及運(yùn)算能力.【思路點(diǎn)撥】（1）求導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)分類，討論導(dǎo)數(shù)的符號，判斷單調(diào)性， （2）轉(zhuǎn)化為等價(jià)命題，構(gòu)造新函數(shù)g(x)=f(x)+4x,分離參數(shù)，求a的范圍.【規(guī)范解答】【方法技巧】討論函數(shù)的單調(diào)性首先要明確函數(shù)的定義域，一般用導(dǎo)

25、數(shù)的方法，對參數(shù)分類做到不重不漏.求參數(shù)的取值范圍往往要分離變量，分離時(shí)一定要使分離后的式子有意義，如分母不為0等.直接證明一個(gè)命題，不好證時(shí)可考慮證明它的等價(jià)命題.21.（20xx·天津高考理科·2）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明當(dāng)時(shí)，.（3）如果，且，證明.【命題立意】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力.【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)解題.【規(guī)范解答】（1）f，令f(x)=0,解得x=1，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表

26、x()1()f(x)+0-f(x)極大值所以f(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù).函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=.（2）由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x),令F(x)=f(x)-g(x),即,于是,當(dāng)x>1時(shí)，2x-2>0,從而(x)>0,從而函數(shù)F（x）在1,+)是增函數(shù).又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).(3)若若根據(jù)得由（2）可知，>,又=，所以>,從而>.因?yàn)椋?，又由?）可知函數(shù)f(x)在區(qū)間（-，1）內(nèi)是增函數(shù)，所以>,即>2.22.（20xx&

27、#183;江蘇高考·20）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì).(1)設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).(i)求證：函數(shù)具有性質(zhì)； (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)，給定設(shè)為實(shí)數(shù)，且，若|<|，求的取值范圍.【命題立意】本題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力.【思路點(diǎn)撥】(1)求出，并將其表示為的形式，注意.(2)利用(1)的結(jié)論求解.【規(guī)范解答】（1）(i)，時(shí)，恒成立，函數(shù)具有性質(zhì).(ii)（方法一）設(shè)，與的符號相同

28、.當(dāng)時(shí)，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，對于，有，所以此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，圖像開口向上，對稱軸，而，所以當(dāng)x>1時(shí)，所以此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而 當(dāng)時(shí)，故此時(shí)在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增； 當(dāng)時(shí)，在上遞減；在上遞增.（方法二）當(dāng)時(shí)，對于， 所以，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而, 當(dāng)時(shí)，故此時(shí)在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增； 當(dāng)時(shí)，在上遞減；在上遞增.(2)（方法一）由題意，得：又對任意的都有>0，所以對任意的都有，在上遞增.又.當(dāng)時(shí)，且，若

29、，（不合題意）.綜合以上討論，得所求的取值范圍是（0，1）.（方法二）由題設(shè)知，的導(dǎo)函數(shù)，其中函數(shù)對于任意的都成立.所以，當(dāng)時(shí)，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，有，得，同理可得，所以由的單調(diào)性知、，從而有|<|，符合題設(shè).當(dāng)時(shí)，于是由及的單調(diào)性知，所以|，與題設(shè)不符.當(dāng)時(shí)，同理可得，進(jìn)而得|，與題設(shè)不符.因此綜合、得所求的的取值范圍是（0，1）23.（20xx·浙江高考文科·21）已知函數(shù)（-b）<b).（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求曲線在點(diǎn)（2，）處的切線方程.（2）設(shè)是的兩個(gè)極值點(diǎn)，是的一個(gè)零點(diǎn)，且，證明：存在實(shí)數(shù)，使得 按某種順序排列后得等差數(shù)列，并求【命題立意

30、】本題主要考查函數(shù)的極值概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、切線方程、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查抽象概括、推理論證能力和創(chuàng)新意識.【思路點(diǎn)撥】（1）先求出再代入點(diǎn)斜式方程；（2）先找到，觀察它們之間的關(guān)系，從而確定在等差數(shù)列中的位置.【規(guī)范解答】(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí)，,因?yàn)?x)=(x-1)(3x-5)，故 (2)=1，f(2)=0,所以f(x)在點(diǎn)（2,0）處的切線方程為y=x-2.（2）因?yàn)椋▁）3（xa）（x），由于a<b.故a<.所以f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為xa,x.不妨設(shè)x1a，x2，因?yàn)閤3x1，x3x2，且x3是f（x）的零點(diǎn)，故x3b.又因?yàn)閍2（b），所以成等差數(shù)列

31、.所以4（a），所以存在實(shí)數(shù)x4滿足題意，且x4.【方法技巧】（1）函數(shù)在處的切線方程為；（2）在函數(shù)的極值點(diǎn)處.24.（20xx·廣東高考文科·21）已知曲線，點(diǎn)是曲線上的點(diǎn).（1）試寫出曲線在點(diǎn)處的切線的方程，并求出與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若原點(diǎn)到的距離與線段的長度之比取得最大值，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)與為兩個(gè)給定的不同的正整數(shù)，與是滿足（2）中條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，證明：.【命題立意】本題為一道綜合題，主要考查解析幾何、導(dǎo)數(shù)、不等式等的綜合應(yīng)用.【思路點(diǎn)撥】(1)利用導(dǎo)數(shù)求解；（2）利用不等式的性質(zhì)求解；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明.【規(guī)范解答】（1） ， ， 切線的方程為：，

32、即：，令，得 ， .（2）設(shè)原點(diǎn)到的距離為，則 ， ,所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，此時(shí)， 所以， .（3）要證成立，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明成立.當(dāng)時(shí)，左邊=1，右邊，不等式成立.假設(shè)時(shí)，不等式成立，即成立,當(dāng)時(shí)， ， ,當(dāng)時(shí)，有成立，綜上，成立，又 、，且 < ,所以，原不等式成立.25.（20xx·浙江高考理科·22）已知是給定的實(shí)常數(shù)，設(shè)函數(shù)，是的一個(gè)極大值點(diǎn)(1)求的取值范圍；(2)設(shè)是的3個(gè)極值點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)，可找到，使得的某種排列(其中=)依次成等差數(shù)列?若存在，求所有的及相應(yīng)的；若不存在，說明理由【命題立意】本題主要考查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、

33、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識.【思路點(diǎn)撥】（1）利用函數(shù)取得極大值的條件，求的范圍；（2）可先求出，利用等差數(shù)列的相關(guān)知識來求.由于的排列有多種情況，因此要注意討論.【規(guī)范解答】（1）f(x)=ex(x-a) 令于是，假設(shè)當(dāng)x1=a 或x2=a時(shí)，則x=a不是f(x)的極值點(diǎn)，此時(shí)不合題意.當(dāng)x1a且x2a時(shí)，由于x=a是f(x)的極大值點(diǎn)，故x1<a<x2.即，即所以，所以的取值范圍是.（2）由（1）可知，假設(shè)存在及滿足題意，解方程得，.當(dāng)時(shí)，則或，于是，即.此時(shí)或-.當(dāng)或時(shí)，(i)若，則，于是，即，于是或（舍）.此時(shí).若，

34、則，于是（舍）或.此時(shí)，綜上所述，存在b滿足題意，當(dāng)b=-a-3時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【方法技巧】1、函數(shù)在處取得極大值的條件是，在的左側(cè)，在的右側(cè)；2、由于本題的的3個(gè)極值點(diǎn)間存在關(guān)系x1<a<x2，所以可能有四種情況：或或或.討論時(shí)要做到不重不漏.26.（20xx·福建高考文科·22）已知函數(shù)f（x）=的圖像在點(diǎn)P（0,f(0)）處的切線方程為y=3x-2.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值；(2)設(shè)g（x）=f(x)+是上的增函數(shù).求實(shí)數(shù)m的最大值；當(dāng)m取最大值時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使得過點(diǎn)Q的直線若能與曲線y=g(x)圍成兩個(gè)封閉圖形，則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等?若

35、存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【命題立意】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、分類與整合的思想.【思路點(diǎn)撥】第一步利用切線方程列出兩個(gè)方程求解a,b的值；第二步（1）利用導(dǎo)數(shù)的符號與單調(diào)性的關(guān)系，把單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求最值的問題進(jìn)行解決；（2）利用函數(shù)圖像的中心對稱，得兩個(gè)封閉圖形的面積總是相等的.【規(guī)范解答】(1)由，及題設(shè)得 （2）由得，是上的增函數(shù)，在上恒成立，設(shè)，即不等式在上恒成立.當(dāng)時(shí)，不等式在上恒成立；當(dāng)時(shí)，不等式，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增；因此，又，故，綜上所述，

36、m的最大值為3；由得，其圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱.證明如下：，因此，上式表明，若點(diǎn)為函數(shù)的圖像上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)也一定在函數(shù)的圖像上，而線段的中點(diǎn)恒為，由此即知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱.這也表明，存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)的直線若能與函數(shù)的圖像圍成兩個(gè)封閉的圖形，則這兩個(gè)封閉的圖形的面積總相等.【方法技巧】函數(shù)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容在歷年高考中主要集中在切線方程、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等問題，以及與不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等知識相聯(lián)系的綜合題目，類型有交點(diǎn)個(gè)數(shù)、恒成立問題等,其中滲透并充分利用構(gòu)造函數(shù)、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等重要的思想方法，主要考查導(dǎo)數(shù)的工具性作用.

37、27.（20xx·山東高考理科·22）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）設(shè)當(dāng)時(shí)，若對任意，存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【命題立意】本題將導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識有機(jī)地結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學(xué)們分類討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力.【思路點(diǎn)撥】（1）直接利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)應(yīng)注意分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值、利用二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出在閉區(qū)間1,2上的最大值，然后解不等式求參數(shù).【規(guī)范解答】（1

38、）因?yàn)椋?所以， 令，. 當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增. 當(dāng)時(shí)，由， 即 ，解得 ,時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.(iii)當(dāng)時(shí)，由于, 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增 綜上所述： 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞減； 函數(shù)在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞減； 函數(shù)在上單調(diào)遞增； 函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)?，由?）知，當(dāng)時(shí)， 函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以在 （0 , 2）上的最小值為， 由于“對任意，存在，使”等價(jià)于 “在上的最小值不大于在（0 ，2）上的最

39、小值” 【方法技巧】1、分類討論的原因(1)某些概念、性質(zhì)、法則、公式分類定義或分類給出；(2)數(shù)的運(yùn)算：如除法運(yùn)算中除式不為零，在實(shí)數(shù)集內(nèi)偶次方根的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)還是負(fù)數(shù)等；(3)含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題，由參數(shù)值的不同而導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生改變；(4)在研究幾何問題時(shí)，由于圖形的變化(圖形位置不確定或形狀不確定)，引起問題的結(jié)果有多種可能.2、分類討論的原則(1)要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)；(2)對討論對象分類時(shí)要不重復(fù)、不遺漏；(3)當(dāng)討論的對象不止一種時(shí)，應(yīng)分層次進(jìn)行.3、分類討論的一般步驟(1)明確討論對象，確定對象的范圍；(2)確定統(tǒng)一的

40、分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類，做到不重不漏；(3)逐段逐類討論，獲得階段性結(jié)果；(4)歸納總結(jié)，得出結(jié)論.28.（20xx ·海南高考理科·T21）設(shè)函數(shù)=.（1)若,求的單調(diào)區(qū)間;（2）若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【命題立意】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后再利用單調(diào)性求參數(shù)的取值.【規(guī)范解答】（1) 時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.（2）.由（1)知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故，從而當(dāng)，即時(shí)，而，于是，當(dāng)時(shí).由可得，從而，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，而，所以當(dāng)時(shí)，綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

41、，再利用函數(shù)的單調(diào)性，列出參數(shù)需滿足的不等式（組）進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.29.（20xx·福建高考理科·20）(1)已知函數(shù)f(x)=x3-x，其圖像記為曲線C. 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； 證明：若對于任意非零實(shí)數(shù)x1，曲線C與其在點(diǎn)P1（x1,f(x1）)處的切線交于另一點(diǎn)P2（x2,f(x2)）.曲線C與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3 （x3,f(x3)），線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1,S2，則為定值.（2）對于一般的三次函數(shù)g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，請給出類似于(1) 的正確命題，并予以證明.【命題立意】本小題主要考查

42、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般的思想.【思路點(diǎn)撥】第一步（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）利用導(dǎo)數(shù)求解切線的斜率，寫出切線方程，并利用定積分求解及其比值；第二步利用合情推理的方法對問題進(jìn)行推廣得到相關(guān)命題，并利用平移的方法進(jìn)行證明.【規(guī)范解答】（1) ，令得到，令得，因此原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為）和(；單調(diào)遞減區(qū)間為；，因此過點(diǎn)的切線方程為：，即，由得，所以或，故，進(jìn)而有，用代替，重復(fù)上面的計(jì)算，可得和，又，因此有.（2）命題:若對于任意函數(shù)的圖像為曲線，其類似于(1) 的命題為：若對任意不等于的實(shí)數(shù)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另外一點(diǎn)，線段、與曲線所圍成圖形的面積為，則.證明:對于曲線，無論如何平移，其要求面積值是恒定的，所以這里僅考慮的情形，因此過點(diǎn)的切線方程為：化簡：得到所以同樣運(yùn)用(1)中的方法便可以得到， 所以.【方法技巧】函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容在歷屆高考中主要考查切線方程、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等問題，試題還與不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解不等式等知識聯(lián)系，類型有交點(diǎn)個(gè)數(shù)、恒成立問題等,其中滲透并充分利用構(gòu)造函數(shù)、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等重要的思想方法，主要考查導(dǎo)數(shù)的工具性作用.