精校版高中數(shù)學(xué)人教A版選修44學(xué)案:第1講2 極坐標(biāo)系 Word版含解析

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1、最新資料最新資料最新資料最新資料最新資料二極坐標(biāo)系1理解極坐標(biāo)系的概念2能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置,體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別(難點(diǎn))3掌握極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式,能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理1極坐標(biāo)系閱讀教材P8P10,完成下列問題1極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系的建立:在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn);自極點(diǎn)O引一條射線Ox,叫做極軸;再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向),這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系(2)極坐標(biāo):設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑,記為

2、;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角,記為.有序數(shù)對(duì)(,)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記為M(,)一般地,不作特殊說明時(shí),我們認(rèn)為0,可取任意實(shí)數(shù)2點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系一般地,極坐標(biāo)(,)與(,2k)(kZ)表示同一個(gè)點(diǎn)特別地,極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,)(R)如果規(guī)定>0,0<2,那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)可用惟一的極坐標(biāo)(,)表示;同時(shí),極坐標(biāo)(,)表示的點(diǎn)也是惟一確定的在極坐標(biāo)系中,12,且12是兩點(diǎn)M(1,1)和N(2,2)重合的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【解析】前者顯然能推出后者,但后者不一定推出前者,因?yàn)?與2可相差2的整數(shù)倍【

3、答案】A教材整理2極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化閱讀教材P11,完成下列問題1互化背景:把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,如圖1­2­1所示圖1­2­12互化公式:設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是(x,y),極坐標(biāo)是(,),于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表:點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x,y)極坐標(biāo)(,)互化公式2x2y2,tan (x0)將點(diǎn)M的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)是()A(5,5)B(5,5)C(5,5)D(5,5)【解析】xcos 10 cos5,ysin 10sin5.【答案】A質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后,請(qǐng)將

4、你的疑問記錄,并與“小伙伴們”探討交流:疑問1: 解惑: 疑問2: 解惑: 疑問3: 解惑: 小組合作型將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)寫出下列各點(diǎn)的直角坐標(biāo),并判斷所表示的點(diǎn)在第幾象限(1);(2);(3);(4)(2,2)【思路探究】點(diǎn)的極坐標(biāo)(,)點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x,y)判定點(diǎn)所在象限【自主解答】(1)由題意知x2cos2×1,y2sin2×,點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,是第三象限內(nèi)的點(diǎn)(2)x2cos 1,y2sin ,點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,),是第二象限內(nèi)的點(diǎn)(3)x2cos1,y2sin,點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,),是第四象限內(nèi)的點(diǎn)(4)x2cos (2)2cos 2,y2sin(2)2s

5、in 2,點(diǎn)(2,2)的直角坐標(biāo)為(2cos 2,2sin 2),是第三象限內(nèi)的點(diǎn)1點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的三個(gè)前提條件:(1)極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合;(2)極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合;(3)兩種坐標(biāo)系的長(zhǎng)度單位相同2將點(diǎn)的極坐標(biāo)(,)化為點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x,y)時(shí),運(yùn)用到求角的正弦值和余弦值,熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值,靈活運(yùn)用三角恒等變換公式是關(guān)鍵再練一題1分別把下列點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo):(1);(2);(3)(,)【解】(1)xcos 2cos,ysin 2sin1,點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(,1)(2)xcos 3cos0,ysin 3sin3,點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐

6、標(biāo)為(0,3)(3)xcos cos ,ysin sin 0,點(diǎn)的極坐標(biāo)(,)化為直角坐標(biāo)為(,0)將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)分別把下列點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(限定0,0<2):(1)(2,2);(2)(,);(3).【思路探究】利用公式2x2y2,tan (x0),但求角時(shí),要注意點(diǎn)所在的象限【自主解答】(1)4,tan ,0,2),由于點(diǎn)(2,2)在第二象限,點(diǎn)的直角坐標(biāo)(2,2)化為極坐標(biāo)為.(2)2,tan ,0,2),由于點(diǎn)(,)在第四象限,點(diǎn)的直角坐標(biāo)(,)化為極坐標(biāo)為.(3),tan 1,0,2),由于點(diǎn)在第一象限,點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)為.1將直角坐標(biāo)(x,y)化為極坐標(biāo)(

7、,),主要利用公式2x2y2,tan (x0)進(jìn)行求解,先求極徑,再求極角2在0,2)范圍內(nèi),由tan (x0)求時(shí),要根據(jù)直角坐標(biāo)的符號(hào)特征判斷出點(diǎn)所在的象限如果允許R,再根據(jù)終邊相同的角的意義,表示為2k(kZ)即可再練一題2已知下列各點(diǎn)的直角坐標(biāo),求它們的極坐標(biāo):(1)A(3,);(2)B(2,2); (3)C(0,2);(4)D(3,0)【解】(1)由題意可知:2,tan ,所以,所以點(diǎn)A的極坐標(biāo)為.(2)4,tan ,又由于為第三象限角,故,所以B點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(3)2,為,在y軸負(fù)半軸上,所以C點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(4)3,tan 0,故0,所以D點(diǎn)的極坐標(biāo)為(3,0)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的

8、綜合應(yīng)用在極坐標(biāo)系中,如果A,B為等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn),求頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)(>0,0<2)【思路探究】解答本題可以先利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),再根據(jù)等邊三角形的定義建立方程組求解點(diǎn)C的直角坐標(biāo),進(jìn)而求出點(diǎn)C的極坐標(biāo)【自主解答】對(duì)于點(diǎn)A有2,x2cos,y2sin,則A(,)對(duì)于B有2,x2cos,y2sin,B(,)設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),由于ABC為等邊三角形,故|AB|BC|AC|4,有解之得或C點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)或(,),2,tan 1,或.故點(diǎn)C的極坐標(biāo)為或.1本例綜合考查了點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式以及等邊三角形的意義和性質(zhì)結(jié)合幾何圖形可知,點(diǎn)C的坐標(biāo)有兩解,設(shè)出點(diǎn)

9、的坐標(biāo)尋求等量關(guān)系建立方程組求解是關(guān)鍵2若設(shè)出C(,),利用余弦定理亦可求解再練一題3本例中,如果點(diǎn)的極坐標(biāo)仍為A,B,且ABC為等腰直角三角形,如何求直角頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)?【解】對(duì)于點(diǎn)A,直角坐標(biāo)為(,),點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為(,),設(shè)點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(x,y),由題意得ACBC,且|AC|BC|,·0,即(x,y)·(x,y)0,x2y24.又|A|2|B|2,于是(x)2(y)2(x)2(y)2,yx,代入,得x22,解得x±,或點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(,)或(,),2,tan 1,或,點(diǎn)C的極坐標(biāo)為或.探究共研型極坐標(biāo)探究1如圖1­2­2是某校園的

10、平面示意圖假設(shè)某同學(xué)在教學(xué)樓處,請(qǐng)回答下列問題:他向東偏北60°方向走120 m后到達(dá)什么位置?該位置惟一確定嗎?如果有人打聽體育館和辦公樓的位置,他應(yīng)如何描述?圖1­2­2【提示】以A為基點(diǎn),射線AB為參照方向,利用與A的距離、與AB所成的角,就可以刻畫平面上點(diǎn)的位置到達(dá)圖書館,該位置惟一確定;體育館在正東方向60 m處,辦公樓在西北方向50 m處探究2在極坐標(biāo)系中,表示的點(diǎn)有什么關(guān)系?你能從中體會(huì)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)在刻畫點(diǎn)的位置時(shí)的區(qū)別嗎?【提示】由終邊相同的角的定義可知,上述極坐標(biāo)表示同一個(gè)點(diǎn)實(shí)際上,(kZ)都表示這個(gè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A,直線l為過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線

11、,分別求點(diǎn)A關(guān)于極軸,直線l,極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定>0,<)【思路探究】欲寫出點(diǎn)的極坐標(biāo),首先應(yīng)確定和的值 【自主解答】如圖所示,關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為B2,關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C,關(guān)于極點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為D.四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D都在以極點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓上1點(diǎn)的極坐標(biāo)不是惟一的,但若限制>0,0<2,則除極點(diǎn)外,點(diǎn)的極坐標(biāo)是惟一確定的2寫點(diǎn)的極坐標(biāo)要注意順序:極徑在前,極角在后,不能顛倒順序再練一題4在極坐標(biāo)系中與點(diǎn)A關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是()A.B.C. D.【解析】與點(diǎn)A關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)可以表示為(kZ)【答案】B構(gòu)建·

12、體系極坐標(biāo)系1極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(1,0)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為()A(1,0)B(1,)C(1,)D(1,2)【解析】(,)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(,),M(1,0)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(1,)【答案】C2點(diǎn)A的極坐標(biāo)是,則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為()A(1,)B(,1)C(,1)D(,1)【解析】xcos 2cos,ysin 2sin1.【答案】C3點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為,則點(diǎn)M的極坐標(biāo)可以為()A. B.C. D.【解析】,且,M的極坐標(biāo)為.【答案】C4將極軸Ox繞極點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到射線OP,在OP上取點(diǎn)M,使|OM|2,則>0,0,2)時(shí)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為_,它關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(>0,0

13、,2). 【解析】|OM|2,與OP終邊相同的角為2k(kZ)0,2),k1,M,M關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為.【答案】5在極軸上求與點(diǎn)A距離為5的點(diǎn)M的坐標(biāo)【解】設(shè)M(r,0),A, 5,即r28r70,解得r1或r7,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)或(7,0)我還有這些不足:(1) (2) 我的課下提升方案:(1) (2) 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(二)(建議用時(shí):45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1下列各點(diǎn)中與不表示極坐標(biāo)系中同一個(gè)點(diǎn)的是()A.B.C. D.【解析】與極坐標(biāo)相同的點(diǎn)可以表示為(kZ),只有不適合【答案】C2將點(diǎn)的極坐標(biāo)(,2)化為直角坐標(biāo)為()A(,0)B(,2)C(,0)D(2,0)【解析】xcos(

14、2),ysin(2)0,所以點(diǎn)的極坐標(biāo)(,2)化為直角坐標(biāo)為(,0)【答案】A3若120,12,則點(diǎn)M1(1,1)與點(diǎn)M2(2,2)的位置關(guān)系是()A關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱B關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱C關(guān)于過極點(diǎn)垂直于極軸的直線對(duì)稱D兩點(diǎn)重合【解析】因?yàn)辄c(diǎn)(,)關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱的點(diǎn)為(,)由此可知點(diǎn)(1,1)和(2,2)滿足120,12,是關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱【答案】A4在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P1、P2,則|P1P2|等于()A9B10 C14D2【解析】P1OP2,P1OP2為直角三角形,由勾股定理可得|P1P2|10.【答案】B5在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,)若以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正

15、半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則點(diǎn)P的極坐標(biāo)可以是() A. B.C. D.【解析】極徑2,極角滿足tan ,點(diǎn)(1,)在第四象限,.【答案】A二、填空題6平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)P經(jīng)過伸縮變換后的點(diǎn)為Q,則極坐標(biāo)系中,極坐標(biāo)為Q的點(diǎn)到極軸所在直線的距離等于_【解析】點(diǎn)P經(jīng)過伸縮變換后的點(diǎn)為Q,則極坐標(biāo)系中,極坐標(biāo)為Q的點(diǎn)到極軸所在直線的距離等于63.【答案】37已知點(diǎn)P在第三象限角的平分線上,且到橫軸的距離為2,則當(dāng)>0,0,2)時(shí),點(diǎn)P的極坐標(biāo)為_【解析】點(diǎn)P(x,y)在第三象限角的平分線上,且到橫軸的距離為2,x2,且y2,2,又tan 1,且0,2),.因此點(diǎn)P的極坐標(biāo)為.【答案】8極坐

16、標(biāo)系中,點(diǎn)A的極坐標(biāo)是,則(1)點(diǎn)A關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是_;(2)點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是_;(3)點(diǎn)A關(guān)于過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是_(本題中規(guī)定>0,0,2)【解析】點(diǎn)A關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為;點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為;點(diǎn)A關(guān)于過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為.【答案】(1)(2)(3)三、解答題9(1)已知點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A,B,C,D,求它們的直角坐標(biāo)(2)已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3,),B,C(2,2),求它們的極坐標(biāo)(0,0<2)【解】(1)根據(jù)xcos ,ysin ,得A,B(1,),C,D(0,4)(2)根據(jù)2x2y

17、2,tan 得A,B,C.10在極坐標(biāo)系中,已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A,B(2,),C.(1)判斷ABC的形狀;(2)求ABC的面積【解】(1)如圖所示,由A,B(2,),C,得|OA|OB|OC|2,AOBBOCAOC,AOBBOCAOC,ABBCCA,故ABC為等邊三角形(2)由上述可知,AC2OAsin2×2×2.SABC×(2)23.能力提升1已知極坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)P,則P關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)分別為 ()A.,(1,)B.,(1,)C.,(1,)D.,(1,)【解析】點(diǎn)P關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,即,且x2cos2cos1,y2sin2si

18、n.【答案】D2已知極坐標(biāo)系中,極點(diǎn)為O,02,M,在直線OM上與點(diǎn)M的距離為4的點(diǎn)的極坐標(biāo)為_【解析】如圖所示,|OM|3,xOM,在直線OM上取點(diǎn)P、Q,使|OP|7,|OQ|1,xOP,xOQ,顯然有|PM|OP|OM|734,|QM|OM|OQ|314.【答案】或3直線l過點(diǎn)A,B,則直線l與極軸夾角等于_【解析】如圖所示,先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個(gè)銳角),然后根據(jù)點(diǎn)A,B的位置分析夾角大小因?yàn)閨AO|BO|3,AOB,所以O(shè)AB,所以ACO.【答案】4某大學(xué)校園的部分平面示意圖如圖1­2­3:用點(diǎn)O,A,B,C,D,E,F(xiàn),G分別表示校門,器材室,操場(chǎng),公寓,教學(xué)樓,圖書館,車庫,花園,其中|AB|BC|,|OC|600 m建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系,寫出除點(diǎn)B外各點(diǎn)的極坐標(biāo)(限定0,0<2且極點(diǎn)為(0,0)圖1­2­3【解】以點(diǎn)O為極點(diǎn),OA所在的射線為極軸Ox(單位長(zhǎng)度為1 m),建立極坐標(biāo)系,由|OC|600 m,AOC,OAC,得|AC|300 m,|OA|300 m,又|AB|BC|,所以|AB|150 m.同理,得|OE|2|OG|300 m,所以各點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為O(0,0),A(300,0),C,D,E,F(xiàn)(300,),G.最新精品資料

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