3、故選A.
3.(20xx重慶市部分重點(diǎn)中學(xué)高三聯(lián)考)已知p=a+1a-2(a>2),q=
（12）x2-2(x∈R),則p,q的大小關(guān)系為( A )
(A)p≥q (B)p>q (C)p0,y>0),
則3x
4、+4y=15(3x+4y)3x+1y
=1513+12yx+3xy
≥1513+212yx3xy
=15(13+12)=5.
當(dāng)且僅當(dāng)12yx=3xy,
即x=2y時(shí),等號(hào)成立,
此時(shí)由x=2y,x+3y=5xy,
解得x=1,y=12.故選C.
5.(20xx湖北省黃岡中學(xué)高三二模)設(shè)x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=2,a2+b=4,則2x+1y的最大值為( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:由題意得:1x=log2a,1y=log2b,
2x+1y=2log2a+log2b=log2(a2b)≤log2（a2+b2）2=2,當(dāng)且僅當(dāng)b=a
5、2時(shí)等號(hào)成立,故選B.
6.(20xx山東師大附中高三三模)設(shè)a>0,b>0.若3是3a與3b的等比中項(xiàng),則1a+1b的最小值是( C )
(A)2 (B)14 (C)4 (D)8
解析:由題意知3a3b=(3)2,即3a+b=3,
所以a+b=1.
所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2baab
=4,
當(dāng)且僅當(dāng)ba=ab,即a=b=12時(shí),取等號(hào),所以最小值為4.故選C.
7.(20xx深圳一調(diào))已知x>0,y>0,且4xy-x-2y=4,則xy的最小值為( D )
(A)22 (B)22 (C)2 (D)2
解析:依題意得4xy=x+2y+4≥22
6、xy+4,
即2(xy)2-2xy-2≥0,(2xy+2)(xy-2)≥0;又2xy+2>0,
因此xy-2≥0,即xy≥2,
當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào),因此xy的最小值是2,故選D.
二、填空題
8.(20xx湖北黃州模擬)已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列{an}中,a4與a14的等比中項(xiàng)為22,則2a7+a11的最小值為 .
解析:由已知a4a14=(22)2=8.
再由等比數(shù)列的性質(zhì)有a4a14=a7a11=8.
又∵a7>0,a11>0.
∴2a7+a11≥22a7a11=8.
當(dāng)且僅當(dāng)2a7=a11時(shí)等號(hào)成立.
答案:8
9.已知直線ax-2by=2(a>0,b>
7、0)過圓x2+y2-4x+2y+1=0的圓心,ab的最大值為 .
解析:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+1)2=4,
所以圓心為(2,-1),
因?yàn)橹本€過圓心,
所以2a+2b=2,即a+b=1.
所以ab≤（a+b2）2=14,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)取等號(hào),
所以ab的最大值為14.
答案:14
10.(20xx北京朝陽質(zhì)檢)某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn),據(jù)市場(chǎng)分析,每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位:萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位:年)的關(guān)系為y=-x2+18x-25(x∈N*),則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn) 年時(shí),年平均利潤最大,最大值是 萬元.
解析:每臺(tái)機(jī)
8、器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為yx=18-(x+25x),而x>0,故yx≤18-225=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)年平均利潤最大,最大值為8萬元.
答案:5 8
11.(20xx山師大附中高三第四次模擬)已知向量a=(x,-2),b=(y,1),其中x,y都是正實(shí)數(shù),若a⊥b,則t=x+2y的最小值是 .
解析:因?yàn)閍⊥b,
所以ab=(x,-2)(y,1)=0,
即xy=2.
又t=x+2y≥22xy=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2時(shí),等號(hào)成立,
所以t=x+2y的最小值是4.
答案:4
三、解答題
12.已知函數(shù)f(x)=lg x,若x1,x2>0,判斷12[f(x
9、1)+f(x2)]與fx1+x22的大小,并加以證明.
解:12[f(x1)+f(x2)]≤fx1+x22.
證明如下:
∵f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2),
fx1+x22=lg x1+x22,
且x1,x2>0,x1x2≤x1+x222,
∴l(xiāng)g(x1x2)≤lgx1+x222,
∴12lg(x1x2)≤lg x1+x22,
即12(lg x1+lg x2)≤lg x1+x22.
∴12[f(x1)+f(x2)]≤fx1+x22,
當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí),等號(hào)成立.
13.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求
(1)xy的最小
10、值;
(2)x+y的最小值.
解:(1)由2x+8y-xy=0,得8x+2y=1,
又x>0,y>0,
則1=8x+2y≥28x2y=8xy,
得xy≥64,
當(dāng)且僅當(dāng)x=16,y=4時(shí),等號(hào)成立.
所以xy的最小值為64.
(2)由2x+8y-xy=0,得8x+2y=1,
則x+y=（8x+2y）(x+y)
=10+2xy+8yx
≥10+22xy8yx
=18.
當(dāng)且僅當(dāng)x=12且y=6時(shí)等號(hào)成立,
∴x+y的最小值為18.
B組
14.(20xx廣州市畢業(yè)班綜合測(cè)試(二))某輛汽車購買時(shí)的費(fèi)用是15萬元,每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、路橋費(fèi)、汽油費(fèi)等約為1.5萬元.年
11、維修保養(yǎng)費(fèi)用第一年3000元,以后逐年遞增3000元,則這輛汽車報(bào)廢的最佳年限(即使用多少年的年平均費(fèi)用最少)是( B )
(A)8年 (B)10年 (C)12年 (D)15年
解析:當(dāng)這輛汽車使用n年時(shí),相應(yīng)的年平均費(fèi)用為15+1.5n+0.3n+n(n-1)20.3n=12（30n+0.3n+3.3）≥12（230n0.3n+3.3）,當(dāng)且僅當(dāng)30n=0.3n,即n=10時(shí)取等號(hào),因此這輛汽車使用10年時(shí),相應(yīng)的年平均費(fèi)用最少,故選B.
15(20xx河北省普通高中高三質(zhì)檢)已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)(不含邊界),且AB→AC→=23,∠BAC=30,若△MBC,△MCA和△MAB的面
12、積分別為x,y,z,則1x+y+4z的最小值是 .
解析:可得AB→AC→=|AB→||AC→|cos ∠BAC=23,
則|AB→||AC→|=4,
∴△ABC的面積為12|AB→||AC→|sin ∠BAC=1,
則x+y+z=1,
∴1x+y+4z=x+y+zx+y+4(x+y+z)z=5+zx+y+
4(x+y)z≥5+2zx+y4(x+y)z=9,
當(dāng)且僅當(dāng)z=2(x+y)=23時(shí),等號(hào)成立.
答案:9
16.某商店預(yù)備在一個(gè)月內(nèi)分批購入每張價(jià)值為20元的書桌共36張,每批都購入x張(x是正整數(shù)),且每批均需付運(yùn)費(fèi)4元,儲(chǔ)存購入的書桌一個(gè)月所付的保管費(fèi)與每批購
13、入書桌的總價(jià)值(不含運(yùn)費(fèi))成正比,若每批購入4張,則該月需用去運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)共52元,現(xiàn)在全月只有48元資金可以用于支付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi).
(1)求該月需用去的運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)的總費(fèi)用f(x);
(2)能否恰當(dāng)?shù)匕才琶颗M(jìn)貨的數(shù)量,使資金夠用?寫出你的結(jié)論,并說明理由.
解:(1)設(shè)題中比例系數(shù)為k,若每批購入x張書桌,
則共需分36x批,每批價(jià)值為20x元,
由題意得f(x)=36x4+k20x.
由x=4時(shí),f(x)=52,
得k=1680=15.
∴f(x)=144x+4x(0
高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第4節(jié) 基本不等式
