高中數(shù)學(xué) 312空間向量的基本定理課件 新人教B版選修21

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1、 1知識(shí)與技能 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)理解向量共線的條件，共面向量定理和空間向量基本定理 能夠判定空間向量是否共面 了解基向量、基底的概念、空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底 2過(guò)程與方法 通過(guò)對(duì)空間向量基本定理的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生、形成過(guò)程，體驗(yàn)定理所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想 3情感態(tài)度與價(jià)值觀 事物之間可以相互轉(zhuǎn)化，滲透由特殊到一般的思想，通過(guò)對(duì)空間向量基本定理的運(yùn)用，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí) 重點(diǎn)：共線向量定理、共面向量定理和空間向量分解定理 難點(diǎn)：空間向量分解定理 1共線向量定理 (1)在前面，我們學(xué)習(xí)了平面向量共線的充要條件，這個(gè)條件在空間也是成立的，即有：共線向量定理：對(duì)空間兩個(gè)向量

2、a、b(b0)，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，使axb. (2)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a、b(b0)，共線向量定理可分解為以下兩個(gè)命題：ab存在唯一實(shí)數(shù)x使axb；存在唯一實(shí)數(shù)x，使axbab. 是共線向量的性質(zhì)定理，是空間向量共線的判定定理，若要作此結(jié)論判定a、b的基線平行，還需a(或b)上有一點(diǎn)不在b(或a)上 說(shuō)明：在此定理中必須要有b0這個(gè)條件，在axb中，對(duì)于確定的x和b，axb表示空間與b平行的且長(zhǎng)度為|xb|的所有向量，利用共線向量定理可以證明兩線平行，或三點(diǎn)共線 2共面向量基本定理 a是指a的基線在平面內(nèi)或平行平面.共面向量是指這些向量的基線平行或在同一平面內(nèi)，共面向量的基線可能相

3、交、平行或異面 在證明充要條件問(wèn)題時(shí)，要證明兩個(gè)方面充分性和必要性共面向量的充要條件給出了平面的向量表示，說(shuō)明任意一個(gè)平面可以由兩個(gè)不共線的平面向量表示出來(lái)，它既是判斷三個(gè)向量是否共面的依據(jù)，又是已知共面條件的另一種形式，可以借此已知共面條件化為向量式，以便于我們對(duì)向量進(jìn)行運(yùn)算 利用共面向量定理可證明點(diǎn)線共面、線面平行等 三個(gè)向量共面，又稱做三個(gè)向量線性相關(guān)反之，如果三個(gè)向量不共面，則稱做三個(gè)向量線性無(wú)關(guān) 可用此結(jié)論證明四點(diǎn)共面問(wèn)題 三個(gè)非零向量a、b、c，其中無(wú)二者共線，則它們共面的充要條件是存在三個(gè)非零實(shí)數(shù)l、m、n，使lambnc0 . 3空間向量基本定理 用空間三個(gè)不共面的已知向量組a

4、，b，c可以線性表示出空間任意一個(gè)向量，而且表示的結(jié)果是唯一的 空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底 由于0可看作是與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以三個(gè)向量不共面，就隱含它們都不是0. 要明確：一個(gè)基底是一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念 1共線向量定理 對(duì)于空間兩個(gè)向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，使_ 2共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線，則向量c與向量a，b共面的充要條件是，存在惟一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使_ 3空間向量分解定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)惟一的有序?qū)崝?shù)組x，

5、y，z，使p_. 表 達(dá) 式 x a y b z c ， 叫 做 a ， b ， c 的_ 4如果三個(gè)向量a，b，c是三個(gè)不共面的向量，則a，b，c的線性組合x(chóng)ayb zc能生成所有的空間向量，a，b，c叫做空間的一個(gè)_，記作_，其中a，b，c都叫做_ 5空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底 答案1.axb 2cxayb 3xaybzc線性表達(dá)式或線性組合 說(shuō)明判斷向量a，b共線的方法有兩種： (1)定義法 即證明ab先證明a，b所在基線平行或重合 (2)利用“axbab”判斷此種方法依據(jù)題目條件分為兩類(lèi)題型： ax1e1y1e2z1e3，bx2e1y2e2z2e3(其中e1，e2

6、，e3不共面)，令ab，即(x1x2)e1(y1y2)e2(z1z2)e3 a，b為立體圖形中的有向線段，一般方法是選擇一個(gè)(或多個(gè))含有a，b的空間封閉多邊形建立向量等式，并將其化簡(jiǎn)求得關(guān)系式ab即可 說(shuō)明(1)判斷三個(gè)以上空間向量共面的一般方法，先選擇其中兩個(gè)向量(或依題意選擇適當(dāng)?shù)囊唤M基底)，另外向量(或所有向量)用這兩向量(基向量)表示成axbyc形成即可完成 分析本題是空間向量分解定理的應(yīng)用，注意結(jié)合已知和所求，觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，就表示所需向量，再對(duì)照目標(biāo)即基底a，b，c，將不符合的向量化作新的所需向量，如此反復(fù)，直到所涉及向量都可用基底表示 說(shuō)明用基底表示空間向

7、量，一般要用向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算法則，及加法的平行四邊形法則、加法、減法的三角形法則 AA、B、DBA、B、C CB、C、D DA、C、D 分析要證明三點(diǎn)共線，需證明從同一點(diǎn)發(fā)出的兩個(gè)向量共線 答案A 已知a3m2n4p0，b(x1)m8n2yp，且m，n，p不共面，若ab，則x_，y_. 答案138 解析ab，ba. (x1)m8n2yp3m2n4p， 辨析利用向量共面的充要條件，也可考慮利用向量共面的定義來(lái)證明 一、選擇題 1下列命題中正確的是() A若a與b共線，b與c共線，則a與c共線 B向量a、b、c共面即它們所在的直線共面 C零向量沒(méi)有確定的方向 D若ab，則存在惟一的實(shí)數(shù)

8、，使ab 答案C 解析由零向量定義知選C. 2若e1，e2是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則() A平面內(nèi)任一向量a，都有ae1e2(，R) B若存在實(shí)數(shù)1，2，使1e12e20，則120 C若e1，e2不共線，則空間任一向量a，都有ae1e2(，R) D若e1，e2不共線，則平面內(nèi)任一向量a，都有ae1e2(，R) 答案D 解析由共面向量定理知選D. 答案D 5已知a，b，c不共面，且m3a2bc，nx(ab) y ( b c ) 2 ( c a ) ， 若 mn ， 則 x y _. 答案4 解析n(x2)a(yx)b(y2)c， 三、解答題 6對(duì)于任意空間四邊形，試證明它的一對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)的連線段與另一對(duì)對(duì)邊平行于同一平面 解析如圖所示，空間四邊形ABCD，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，利用多邊形加法法則可得，