高中數(shù)學(xué) 312空間向量的基本定理課件 新人教B版選修21

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1、 1知識與技能 通過本節(jié)學(xué)習(xí)理解向量共線的條件，共面向量定理和空間向量基本定理 能夠判定空間向量是否共面 了解基向量、基底的概念、空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底 2過程與方法 通過對空間向量基本定理的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生、形成過程，體驗定理所蘊含的數(shù)學(xué)思想 3情感態(tài)度與價值觀 事物之間可以相互轉(zhuǎn)化，滲透由特殊到一般的思想，通過對空間向量基本定理的運用，增強學(xué)生的應(yīng)用意識 重點：共線向量定理、共面向量定理和空間向量分解定理 難點：空間向量分解定理 1共線向量定理 (1)在前面，我們學(xué)習(xí)了平面向量共線的充要條件，這個條件在空間也是成立的，即有：共線向量定理：對空間兩個向量

2、a、b(b0)，ab的充要條件是存在實數(shù)x，使axb. (2)對于空間任意兩個向量a、b(b0)，共線向量定理可分解為以下兩個命題：ab存在唯一實數(shù)x使axb；存在唯一實數(shù)x，使axbab. 是共線向量的性質(zhì)定理，是空間向量共線的判定定理，若要作此結(jié)論判定a、b的基線平行，還需a(或b)上有一點不在b(或a)上 說明：在此定理中必須要有b0這個條件，在axb中，對于確定的x和b，axb表示空間與b平行的且長度為|xb|的所有向量，利用共線向量定理可以證明兩線平行，或三點共線 2共面向量基本定理 a是指a的基線在平面內(nèi)或平行平面.共面向量是指這些向量的基線平行或在同一平面內(nèi)，共面向量的基線可能相

3、交、平行或異面 在證明充要條件問題時，要證明兩個方面充分性和必要性共面向量的充要條件給出了平面的向量表示，說明任意一個平面可以由兩個不共線的平面向量表示出來，它既是判斷三個向量是否共面的依據(jù)，又是已知共面條件的另一種形式，可以借此已知共面條件化為向量式，以便于我們對向量進行運算 利用共面向量定理可證明點線共面、線面平行等 三個向量共面，又稱做三個向量線性相關(guān)反之，如果三個向量不共面，則稱做三個向量線性無關(guān) 可用此結(jié)論證明四點共面問題 三個非零向量a、b、c，其中無二者共線，則它們共面的充要條件是存在三個非零實數(shù)l、m、n，使lambnc0 . 3空間向量基本定理 用空間三個不共面的已知向量組a

4、，b，c可以線性表示出空間任意一個向量，而且表示的結(jié)果是唯一的 空間任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基底 由于0可看作是與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含它們都不是0. 要明確：一個基底是一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念 1共線向量定理 對于空間兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實數(shù)x，使_ 2共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，則向量c與向量a，b共面的充要條件是，存在惟一的一對實數(shù)x，y，使_ 3空間向量分解定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個惟一的有序?qū)崝?shù)組x，

5、y，z，使p_. 表 達 式 x a y b z c ， 叫 做 a ， b ， c 的_ 4如果三個向量a，b，c是三個不共面的向量，則a，b，c的線性組合xayb zc能生成所有的空間向量，a，b，c叫做空間的一個_，記作_，其中a，b，c都叫做_ 5空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底 答案1.axb 2cxayb 3xaybzc線性表達式或線性組合 說明判斷向量a，b共線的方法有兩種： (1)定義法 即證明ab先證明a，b所在基線平行或重合 (2)利用“axbab”判斷此種方法依據(jù)題目條件分為兩類題型： ax1e1y1e2z1e3，bx2e1y2e2z2e3(其中e1，e2

6、，e3不共面)，令ab，即(x1x2)e1(y1y2)e2(z1z2)e3 a，b為立體圖形中的有向線段，一般方法是選擇一個(或多個)含有a，b的空間封閉多邊形建立向量等式，并將其化簡求得關(guān)系式ab即可 說明(1)判斷三個以上空間向量共面的一般方法，先選擇其中兩個向量(或依題意選擇適當?shù)囊唤M基底)，另外向量(或所有向量)用這兩向量(基向量)表示成axbyc形成即可完成 分析本題是空間向量分解定理的應(yīng)用，注意結(jié)合已知和所求，觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運算法則和公式等，就表示所需向量，再對照目標即基底a，b，c，將不符合的向量化作新的所需向量，如此反復(fù)，直到所涉及向量都可用基底表示 說明用基底表示空間向

7、量，一般要用向量的加法、減法、數(shù)乘的運算法則，及加法的平行四邊形法則、加法、減法的三角形法則 AA、B、DBA、B、C CB、C、D DA、C、D 分析要證明三點共線，需證明從同一點發(fā)出的兩個向量共線 答案A 已知a3m2n4p0，b(x1)m8n2yp，且m，n，p不共面，若ab，則x_，y_. 答案138 解析ab，ba. (x1)m8n2yp3m2n4p， 辨析利用向量共面的充要條件，也可考慮利用向量共面的定義來證明 一、選擇題 1下列命題中正確的是() A若a與b共線，b與c共線，則a與c共線 B向量a、b、c共面即它們所在的直線共面 C零向量沒有確定的方向 D若ab，則存在惟一的實數(shù)

8、，使ab 答案C 解析由零向量定義知選C. 2若e1，e2是同一個平面內(nèi)的兩個向量，則() A平面內(nèi)任一向量a，都有ae1e2(，R) B若存在實數(shù)1，2，使1e12e20，則120 C若e1，e2不共線，則空間任一向量a，都有ae1e2(，R) D若e1，e2不共線，則平面內(nèi)任一向量a，都有ae1e2(，R) 答案D 解析由共面向量定理知選D. 答案D 5已知a，b，c不共面，且m3a2bc，nx(ab) y ( b c ) 2 ( c a ) ， 若 mn ， 則 x y _. 答案4 解析n(x2)a(yx)b(y2)c， 三、解答題 6對于任意空間四邊形，試證明它的一對對邊中點的連線段與另一對對邊平行于同一平面 解析如圖所示，空間四邊形ABCD，E、F分別為AB、CD的中點，利用多邊形加法法則可得，